-
V tomto videu bych rád zkusil
spočítat derivaci y podle x,
-
a to pro y rovná se
inverzní sinus v bodě x.
-
Jako vždy doporučuji, abyste si zastavili
video a zkusili to vyřešit sami.
-
Dám vám
dvě nápovědy.
-
První nápovědou je, že sice neznáme
derivaci inverzního sinu v bodě x,
-
ale víme, čemu se rovná
derivace sinu něčeho.
-
Když tohle tedy nějak upravíte
a zkusíte použít implicitní derivování,
-
tak možná budete schopni zjistit,
čemu se rovná dy lomeno dx.
-
Naším cílem je totiž
spočítat dy lomeno dx,
-
neboli chceme spočítat
derivaci tohoto podle x.
-
Předpokládám, že už jste si to zkusili,
teď to pojďme spočítat společně.
-
Když je y rovno
inverznímu sinu v bodě x,
-
tak je to totéž jako když řekneme,
že sin(y) se rovná x.
-
Tyto výrazy už nám
jsou více povědomé.
-
Nyní můžeme použít
implicitní derivování.
-
Obě strany
zderivujeme podle x,
-
takže derivace levé strany podle x
a derivace pravé strany podle x.
-
Čemu se rovná derivace
levé strany podle x?
-
Použijeme vzorec pro
derivaci složené funkce.
-
Je to derivace sin(y)
podle y, což je cos(y),
-
a tohle musíme vynásobit
derivací y podle x,
-
tedy krát
dy lomeno dx.
-
Na pravé straně máme
derivaci x podle x, což se rovná 1.
-
Nyní osamostatníme
dy lomeno dx.
-
Obě strany rovnice
vydělíme cos(y), čímž dostaneme,
-
že derivace y podle x
se rovná 1 lomeno cos(y).
-
Tohle ale ještě není úplně ono, protože
máme derivaci vyjádřenou pomocí y.
-
Zkusme ji tedy nějak
vyjádřit pomocí x.
-
Jak to
můžeme udělat?
-
Už víme, že
x se rovná sin(y).
-
Znovu to
napíšu.
-
Víme, že x se
rovná sin(y).
-
Když v tomto výrazu dole
namísto cos(y) napíšeme...
-
Když použijeme nějakou goniometrickou
identitu a přepíšeme to pomocí sin(y),
-
tak už budeme na dobré cestě,
protože x se rovná sin(y).
-
Tak jak to
uděláme?
-
Jednou z
goniometrických identit je,
-
že sinus na druhou v bodě y plus kosinus
na druhou v bodě y se rovná 1.
-
Když chceme vyjádřit cos(y), tak od obou
stran odečteme sinus na druhou v bodě y.
-
Dostaneme, že kosinus na druhou v bodě y
se rovná 1 minus sinus na druhou v bodě y,
-
tedy že cos(y), když na obě strany
použijeme druhou odmocninu,
-
se rovná odmocnina z
(1 minus sinus na druhou v bodě y).
-
Tento výraz tedy můžeme
přepsat jako 1 lomeno…
-
Namísto cos(y) napíšeme odmocninu z
(1 minus sinus na druhou v bodě y).
-
Proč to takto
přepisujeme?
-
Víme, že sin(y)
se rovná x,
-
takže tohle se bude rovnat,
když dosadíme...
-
Zapíšu to jinak,
ať je to trošku jasnější.
-
Tohle můžeme zapsat
jako sin(y) to na druhou.
-
Víme, že tohle je x,
-
takže tohle
se rovná…
-
Teď bychom si zasloužili
menší oslavnou fanfáru.
-
...se rovná 1 lomeno
odmocnina z (1 minus…
-
Namísto sin(y) napíšeme x,
protože víme, že x se rovná sin(y).
-
...1 minus x na druhou.
-
A je to.
-
Derivace podle x z inverzního
sinu v bodě x se rovná
-
1 lomeno odmocnina z
(1 minus x na druhou).
-
Ještě jednou
to objasním.
-
Kdybyste obě strany této
rovnosti zderivovali podle x,
-
dostali byste, že
dy lomeno dx se rovná tomuto.
-
Tohle by bylo
na pravé straně.
-
Nebo můžeme říct, že derivace podle x
z inverzního sinu v bodě x se rovná
-
1 lomeno odmocnina z
(1 minus x na druhou).
-
Tohle si vždy můžete znovu odvodit,
kdyby vám paměť přestávala sloužit.
-
Vlastně je to nejlepší způsob,
jak to opravdu vstřebat.
-
Tohle je ale
zkrátka dobré znát,
-
obzvlášť až půjdeme hloub
a hloub do diferenciálního počtu,
-
tak můžete vidět tento
výraz a jen si řeknete:
-
„Vida, tohle je přece
derivace inverzního sinu,“
-
což se vám bude
hodit vědět.
