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Part 2 of the Proof of Heron's Formula

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    在上一段影片中我說過這樣一個式子
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    來求一個三邊長分別爲a b c的三角形的面積
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    它的結果等同於海倫公式
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    在這段影片中我要講的是
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    通過一些最基本的代數運算
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    來證明上式與海倫公式相等
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    首先我們來處理一下1/2 c
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    把它放到根號中去
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    可得根號下c的平方分之四
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    去掉根號等於1/2 c
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    我用sqrt來代替根號 整個表達式就變成了這樣
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    那麽可以得到c的平方除以4的平方根
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    乘以剩下的這些項
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    我將它們複製並粘貼
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    乘上這個表達式 再把它展開
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    所以用4分之c的平方 乘以括號裏面的這些項
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    在末尾加一個括號
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    把4分之c的平方乘進括號 得到的結果與公式相等
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    這將是一個很複雜的過程
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    當這個式子會被簡化成像海倫公式那樣淺顯的時候
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    你會覺得很有成就感
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    根號下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方
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    除以4 減去4分之c的平方乘以括號中的項
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    展開括號
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    並把它寫成分子的平方除以分母的平方的形式
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    c的平方加上a的平方減去b的平方 括號外的平方
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    除以分母的平方 即4c方
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    於是可以將這個c方和這個c方
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    一並消去
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    像這樣把所有的括號閉合
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    這個分母中的4 乘以另一個分母中的4
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    讓我這樣寫下結果
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    這和4的平方相等
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    接下來你會發現爲什麽我用4的平方代替16
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    現在我可以重新寫下這個式子
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    我隨機地變換了一下顏色
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    這個式子等於根號下ca/2 括號外的平方
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    我要把它寫成c/4的平方的形式
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    如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方
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    即4 再減去
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    把這個長的表達式也寫成平方的形式
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    即c的平方 加上a的平方 減去b的平方除以4
  • 2:44 - 2:48
    將分子和分母同時平方
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    將分子和分母同時平方
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    現在看起來好像很有趣
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    用另一個不同的顏色來表示這個括號
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    也許你還記得多項式的因式分解
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    x方減去y方
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    可以寫成(x+y)(x-y)
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    現在我們要一遍遍地運用這個公式
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    把ca/2當作x 把這個當成y
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    那麽便構成了x方減y方這個式子
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    分解這個式子 可寫成
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    根號下 x+y即ca/2+y
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    乘以 x-y
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    其中y等於c方加a方x是 ca/2
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    減去這一串式子
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    或者讓我們用一種更好的方式 把減號寫成加號
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    加上負的c方 減去a方 加上b方 除以4
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    這一切等同於
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    這個與這個的和 再乘以這個與這個的差
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    像我剛剛說的那樣 加上它的相反數
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    即負的c方 減a方 加b方
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    運用這個式子
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    看看是否能夠將其簡化
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    我們可以通分得到公分母
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    ca/2 等於2ca/4
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    這個也是 ca/2 即2ca/4
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    將分子和分母同時乘以2
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    我們可以把分子相加
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    我們的整個表達式等於根號下
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    我要把第一項寫成這樣的形式
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    c方 加2ca 加a方 減b方
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    用這些項除以四
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    得到第一個表達式
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    下一個表達式
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    寫下它的分母是4
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    我們可以這樣寫
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    我們可以寫成 b方減去
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    括號 c方減2ca 加a方
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    只是爲了確保我在這裡有一個負a方
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    負負得正 在這裡有一個正的2ca
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    這裡有一個負的c方 這裡有減去括號內的c方
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    這兩個是等效的
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    現在我們需要來辨認一下
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    圈出來的這部分 可能有點亂
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    這部分等於a與c和的平方
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    這個等於根號下 括號
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    c與a和的平方 減去b的平方 除以4
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    這是第一項
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    接下來是第二項也就是a與c和的平方
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    因此 整個式子可簡化爲
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    b方減去a與c和的平方 再除以4
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    這是一個複雜的問題 我們取得了一些進展
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    但是我們可以看到一些 簡潔的分解因式的方法
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    而且 我們可以把這樣一個奇怪的式子
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    化簡成更簡單的形式
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    現在我們可以運用同樣的公式
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    一項的平方減去另一項的平方
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    一項的平方減去另一項的平方
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    接著分解它 把過程寫在同一行
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    我將縮小字體以便能寫下
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    這將等於根號下
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    這個因式可以分解成 這個加上這個
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    即 (c+a+b)(c+a-b)
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    和這個因式分解是相同的 這是x的平方 這是y的平方
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    乘以 (c+a+b)/4
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    來分解下一項 乘以 (b+c-a)
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    讓我稍微往右移一下屏幕
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    乘以(b+c-a)
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    這是X+Y即b-(c-a)
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    等同於(b-c+a)
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    這等同於
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    除以4
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    現在我可以重新來寫整個表達式了
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    將這個表達式
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    改寫一下
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    將4寫成22
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    這個化簡過程終於要結束了
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    我們的表達式被簡化爲 根號下
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    寫成(a+b+c)/2
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    這是這一項 乘以這項 乘以這項
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    讓我在這把它簡化一下
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    c+a-b 等於 a+b+c-2b
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    這兩項是相等的
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    這是a 這是c
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    b-2b 等於 -b
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    對吧 這是-b
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    下一項是(a+b+c-2b)/2
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    或者可以拆開 寫成這樣的形式
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    接下來第三項也是同樣的思路
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    等於 a+b+c-2a
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    再除以2
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    如果我們用a加上-2a 就能得到-a
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    即可得 b+c-a他們是相同的
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    這些除以2 或者將分子分開
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    像這樣 除以2
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    到了最後一項
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    也許你已經可以從中分辨出海倫公式
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    但是我沒有在考慮海倫公式
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    那項很顯然與
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    a+b+c-2c 是相等的
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    用c減去2c 得到-c
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    依然是 a+b-c 然後除以2
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    把這個除以二減去那個除以二
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    而且 在這一整串式子上還要加上一個根號
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    現在如果我們設 S=(a+b+c)/2
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    那麽這個式子會變得更簡潔
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    這是S這也是S這個也是S
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    那個也是S
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    確實簡化了許多
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    -2b/2 等同於-b
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    -2a/2 等同於-a
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    -2c/2 同樣的道理 是-c
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    現在 重新寫上根號
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    這個式子等於
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    根號下 S乘以
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    我將用相同的顏色寫接下來的這些式子
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    乘以(S-b)(S-a)
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    再乘以最後一項 (S-c)
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    現在我們證明了 上一個影片中我們得到的式子
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    和海倫公式是一回事
  • 11:59 - 12:03
    它變得非常簡潔
  • 12:03 - 12:07
    我們只需要做一些複雜的推導就能夠證明它
Title:
Part 2 of the Proof of Heron's Formula
Description:

Showing that the expression in part 1 is identical to Heron's Formula
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Video Language:
English
Duration:
12:08
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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