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Part 2 of the Proof of Heron's Formula

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    在上一段视频中我说过这样一个式子
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    来求一个三边长分别为a b c的三角形的面积
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    它的结果等同于海伦公式
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    在这段视频中我要讲的是
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    通过一些最基本的代数运算
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    来证明上式与海伦公式相等
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    首先我们来处理一下1/2 c
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    把它放到根号中去
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    可得根号下c的平方分之四
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    去掉根号等于1/2 c
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    我用sqrt来代替根号 整个表达式就变成了这样
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    那么可以得到c的平方除以4的平方根
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    乘以剩下的这些项
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    我将它们复制并粘贴
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    乘上这个表达式 再把它展开
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    所以用4分之c的平方 乘以括号里面的这些项
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    在末尾加一个括号
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    把4分之c的平方乘进括号 得到的结果与公式相等
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    这将是一个很复杂的过程
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    当这个式子会被简化成像海伦公式那样浅显的时候
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    你会觉得很有成就感
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    根号下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方
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    除以4 减去4分之c的平方乘以括号中的项
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    展开括号
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    并把它写成分子的平方除以分母的平方的形式
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    c的平方加上a的平方减去b的平方 括号外的平方
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    除以分母的平方 即4c方
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    于是可以将这个c方和这个c方
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    一并消去
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    像这样把所有的括号闭合
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    这个分母中的4 乘以另一个分母中的4
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    让我这样写下结果
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    这和4的平方相等
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    接下来你会发现为什么我用4的平方代替16
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    现在我可以重新写下这个式子
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    我随机地变换了一下颜色
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    这个式子等于根号下ca/2 括号外的平方
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    我要把它写成c/4的平方的形式
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    如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方
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    即4 再减去
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    把这个长的表达式也写成平方的形式
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    即c的平方 加上a的平方 减去b的平方除以4
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    将分子和分母同时平方
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    将分子和分母同时平方
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    现在看起来好像很有趣
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    用另一个不同的颜色来表示这个括号
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    也许你还记得多项式的因式分解
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    x方减去y方
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    可以写成(x+y)(x-y)
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    现在我们要一遍遍地运用这个公式
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    把ca/2当作x 把这个当成y
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    那么便构成了x方减y方这个式子
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    分解这个式子 可写成
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    根号下 x+y即ca/2+y
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    乘以 x-y
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    其中y等于c方加a方x是 ca/2
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    减去这一串式子
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    或者让我们用一种更好的方式 把减号写成加号
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    加上负的c方 减去a方 加上b方 除以4
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    这一切等同于
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    这个与这个的和 再乘以这个与这个的差
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    像我刚刚说的那样 加上它的相反数
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    即负的c方 减a方 加b方
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    运用这个式子
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    看看是否能够将其简化
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    我们可以通分得到公分母
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    ca/2 等于2ca/4
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    这个也是 ca/2 即2ca/4
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    将分子和分母同时乘以2
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    我们可以把分子相加
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    我们的整个表达式等于根号下
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    我要把第一项写成这样的形式
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    c方 加2ca 加a方 减b方
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    用这些项除以四
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    得到第一个表达式
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    下一个表达式
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    写下它的分母是4
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    我们可以这样写
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    我们可以写成 b方减去
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    括号 c方减2ca 加a方
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    只是为了确保我在这里有一个负a方
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    负负得正 在这里有一个正的2ca
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    这里有一个负的c方 这里有减去括号内的c方
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    这两个是等效的
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    现在我们需要来辨认一下
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    圈出来的这部分 可能有点乱
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    这部分等于a与c和的平方
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    这个等于根号下 括号
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    c与a和的平方 减去b的平方 除以4
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    这是第一项
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    接下来是第二项也就是a与c和的平方
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    因此 整个式子可简化为
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    b方减去a与c和的平方 再除以4
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    这是一个复杂的问题 我们取得了一些进展
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    但是我们可以看到一些 简洁的分解因式的方法
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    而且 我们可以把这样一个奇怪的式子
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    化简成更简单的形式
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    现在我们可以运用同样的公式
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    一项的平方减去另一项的平方
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    一项的平方减去另一项的平方
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    接着分解它 把过程写在同一行
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    我将缩小字体以便能写下
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    这将等于根号下
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    这个因式可以分解成 这个加上这个
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    即 (c+a+b)(c+a-b)
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    和这个因式分解是相同的 这是x的平方 这是y的平方
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    乘以 (c+a+b)/4
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    来分解下一项 乘以 (b+c-a)
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    让我稍微往右移一下屏幕
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    乘以(b+c-a)
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    这是X+Y即b-(c-a)
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    等同于(b-c+a)
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    这等同于
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    除以4
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    现在我可以重新来写整个表达式了
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    将这个表达式
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    改写一下
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    将4写成2*2
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    这个化简过程终于要结束了
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    我们的表达式被简化为 根号下
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    写成(a+b+c)/2
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    这是这一项 乘以这项 乘以这项
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    让我在这把它简化一下
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    c+a-b 等于 a+b+c-2b
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    这两项是相等的
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    这是a 这是c
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    b-2b 等于 -b
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    对吧 这是-b
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    下一项是(a+b+c-2b)/2
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    或者可以拆开 写成这样的形式
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    接下来第三项也是同样的思路
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    等于 a+b+c-2a
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    再除以2
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    如果我们用a加上-2a 就能得到-a
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    即可得 b+c-a他们是相同的
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    这些除以2 或者将分子分开
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    像这样 除以2
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    到了最后一项
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    也许你已经可以从中分辨出海伦公式
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    但是我没有在考虑海伦公式
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    那项很显然与
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    a+b+c-2c 是相等的
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    用c减去2c 得到-c
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    依然是 a+b-c 然后除以2
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    把这个除以二减去那个除以二
  • 10:37 - 10:41
    而且 在这一整串式子上还要加上一个根号
  • 10:41 - 10:49
    现在如果我们设 S=(a+b+c)/2
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    那么这个式子会变得更简洁
  • 10:56 - 11:00
    这是S这也是S这个也是S
  • 11:00 - 11:04
    那个也是S
  • 11:04 - 11:07
    确实简化了许多
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    -2b/2 等同于-b
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    -2a/2 等同于-a
  • 11:14 - 11:17
    -2c/2 同样的道理 是-c
  • 11:17 - 11:21
    现在 重新写上根号
  • 11:21 - 11:25
    这个式子等于
  • 11:25 - 11:31
    根号下 S乘以
  • 11:31 - 11:37
    我将用相同的颜色写接下来的这些式子
  • 11:37 - 11:46
    乘以(S-b)(S-a)
  • 11:46 - 11:52
    再乘以最后一项 (S-c)
  • 11:52 - 11:57
    现在我们证明了 上一个视频中我们得到的式子
  • 11:57 - 11:59
    和海伦公式是一回事
  • 11:59 - 12:03
    它变得非常简洁
  • 12:03 - 12:07
    我们只需要做一些复杂的推导就能够证明它
Title:
Part 2 of the Proof of Heron's Formula
Description:

Showing that the expression in part 1 is identical to Heron's Formula
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Video Language:
English
Duration:
12:08
chezisu1988 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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