Return to Video

บทพิสูจน์เรื่องสูตรของเฮรอน ตอนที่ 2

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:01
    ใน
  • 0:01 - 0:05
    ในวิดีโอที่แล้ว, ผมอ้างไว้ว่า
    ผลที่เราได้ สำหรับพื้นที่
  • 0:05 - 0:10
    ของสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a,b และ c
  • 0:10 - 0:12
    เท่ากับสูตรของเฮรอน
  • 0:12 - 0:14
    และสิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
    คือแสดงให้คุณเห็นว่านี่
  • 0:14 - 0:17
    เท่ากับสูตรของเฮรอน
    โดยการ
  • 0:17 - 0:19
    จัดรูปพีชคณิต.
  • 0:19 - 0:22
    แล้วสิ่งที่เราที่อยากทำ -- แค่โยน
  • 0:22 - 0:24
    1/2 c นี่เข้าไปใต้เครื่องหมายราก.
  • 0:24 - 0:28
    แล้ว 1/2 c, นี่เก็เหมือนกับสแควร์รูท
  • 0:28 - 0:30
    ของ c กำลังสอง ส่วน 4.
  • 0:30 - 0:33
    คุณหาสแควร์รูทของมัน แล้วจะได้ 1/2 c.
  • 0:33 - 0:36
    ดังนั้นพจน์ทั้งหมดนี้ เท่ากับ -- แทนที่จะเขียน
  • 0:36 - 0:41
    เครื่องหมายราก, ผมจะเขียนสแควร์รูทของอันนี้,
  • 0:41 - 0:48
    ของ c กำลังสอง ส่วน 4 คูณทั้งหมดนี่.
  • 0:48 - 0:50
    ผมจะคัดลอกและวางมันลงไป.
  • 0:50 - 0:53
    -
  • 0:53 - 0:56
    คัดลอกและวาง.
  • 0:56 - 0:57
    แล้วคูณทั้งหมดนั่น.
  • 0:57 - 1:01
    และแน่นอน, เราต้องกระจายมันไป.
  • 1:01 - 1:04
    ได้ c กำลังสองส่วน 4 คูณทั้งหมดนั่น.
  • 1:04 - 1:06
    แล้วเราต้องปิดเครื่องหมายสแควร์รูท.
  • 1:06 - 1:09
    -
  • 1:09 - 1:11
    ขอผมกระจาย c กำลังสอง ส่วน 4 นะ.
  • 1:11 - 1:14
    นี่จะเท่ากับสแควร์รูท.
  • 1:14 - 1:16
    มันจะรกหน่อย, แต่ผมว่าคุณจะ
  • 1:16 - 1:19
    รู้สึกพอใจเมื่อเห็นว่านี่กลายเป็นสิ่ง
  • 1:19 - 1:20
    ที่ง่ายดายเหมือนสูตรของเฮรอน
  • 1:20 - 1:25
    สแควร์รูทของ c กำลังสอง
    ส่วน 4 คูณ a กำลังสอง เท่ากับ c
  • 1:25 - 1:33
    กำลังสอง a กำลังสอง ส่วน 4,
    ลบ c กำลังสองส่วน 4,
  • 1:33 - 1:35
    ผมแค่กระจายนี่ไป.
  • 1:35 - 1:38
    แล้วผมจะเขียนมันเป็นตัวเศษกำลังสอง ส่วน
  • 1:38 - 1:39
    ตัวส่วนกำลังสอง.
  • 1:39 - 1:44
    ได้ คูณ c กำลังสอง บวก a กำลังสอง ลบ b
  • 1:44 - 1:46
    กำลังสอง, กำลังสอง.
  • 1:46 - 1:50
    ส่วน -- ถ้าผมกำลังสองตัวส่วน, มันคือ 4c กำลังสอง.
  • 1:50 - 1:53
    -
  • 1:53 - 1:55
    และเราเห็นได้ทันทีว่า c กำลังสอง
    กับ c กำลังสองนั่น
  • 1:55 - 1:56
    จะตัดกัน.
  • 1:56 - 2:00
    ขอผมปิดวงเล็บทั้งหมดแบบนั้น.
  • 2:00 - 2:03
    และ, แน่นอน, 4 นี่คูณ 4 นั่น, มันจะเท่ากับ
  • 2:03 - 2:05
    -- ทีนี้ ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ.
  • 2:05 - 2:06
    นั่นจะเหมือนกับ 4 กำลังสอง.
  • 2:06 - 2:09
    และผม แทนที่จะเขียน 16, คุณจะเห็นเองว่าทำไม
  • 2:09 - 2:10
    ผมถึงเขียนอย่างนั้น.
  • 2:10 - 2:12
    ตอนนี้ผมเขียนนี่ใหม่ได้.
  • 2:12 - 2:15
    -
  • 2:15 - 2:17
    นี่จะเท่ากับสแควร์รูท -- ผม
  • 2:17 - 2:21
    จะเปลี่ยนสีตามใจนะ --
    ของ ca ส่วน 2 กำลังสอง.
  • 2:21 - 2:24
    -
  • 2:24 - 2:26
    นี่ก็เหมือนกับอันนั้น.
  • 2:26 - 2:26
    จริงไหม?
  • 2:26 - 2:28
    ผมแค่เขียนมันเป็น ทั้งหมดนั้นกำลังสอง.
  • 2:28 - 2:30
    ถ้าผมกำลังสองมัน, นั่นคือ c กำลังสอง a กำลังสอง ส่วน 2
  • 2:30 - 2:35
    กำลังสอง ส่วน 4, ลบ -- ผมจะ
    เขียนทั้งหมดนี่
  • 2:35 - 2:37
    เป็นพจน์กำลังสอง.
  • 2:37 - 2:41
    นั่นก็คือ c กำลังสอง บวก a กำลังสอง ลบ
  • 2:41 - 2:45
    b กำลังสอง, ส่วน 4.
  • 2:45 - 2:48
    และเราก็กำลังสองทั้งเศษและส่วน.
  • 2:48 - 2:51
    -
  • 2:51 - 2:54
    ตอนนี้คุณอาจรู้สึกว่ามันน่าสนใจขึ้นหน่อยแล้ว.
  • 2:54 - 2:56
    ขอผมเขียนวงเล็บด้วยสีที่ต่างไปหน่อย
  • 2:56 - 3:01
    คุณอาจทำได้จากเรื่องการแยกตัวประกอบ
    พหุนามว่าถ้าผม
  • 3:01 - 3:03
    มีอะไรสักอย่างในรูป x กำลังสอง ลบ y กำลังสอง, นั่น
  • 3:03 - 3:09
    จะแยกได้เป็น x บวก y คูณ x ลบ y.
  • 3:09 - 3:11
    และเราจะใช้มันซ้ำแล้วซ้ำอีก.
  • 3:11 - 3:16
    ตอนนี้ถ้าคุณเรียก ca ส่วน 2 ว่า x,
    และคูณเรียกก้อนใหญ่ทั้งหมดนี่
  • 3:16 - 3:19
    ว่า y, แล้วเราจะได้ x กำลังสอง ลบ y กำลังสอง.
  • 3:19 - 3:20
    เราก็แยกตัวประกอบมันได้.
  • 3:20 - 3:28
    ทั้งหมดนี้จะเท่ากับสแควร์รูทของ
  • 3:28 - 3:35
    x บวก y, หรือในกรณีนี้ มันคือ
    ca ส่วน 2 บวก y, ซึ่งก็คือ
  • 3:35 - 3:41
    c กำลังสอง บวก a กำลังสอง
    ลบ b กำลังสอง ส่วน 4.
  • 3:41 - 3:44
    คูณ x ลบ y.
  • 3:44 - 3:46
    นี่ก็คือ x ของเรา.
  • 3:46 - 3:51
    ca ส่วน 2, ลบเจ้าพวกนี้ทั้งหมตรงนี้.
  • 3:51 - 3:54
    หรือถ้าจะดีกว่า, ขอผมบอกว่าบวก แล้วขอผม
  • 3:54 - 3:55
    เขียนเป็นลบ.
  • 3:55 - 4:02
    ได้ บวก ลบ c กำลังสอง ลบ a กำลังสอง บวก b กำลังสอง.
  • 4:02 - 4:05
    ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
  • 4:05 - 4:10
    ที่ผมทำไปคือ ผมบอกว่า
    นี่ก็เหมือนกับ นี่
  • 4:10 - 4:15
    บวกนี่, นี่บวกนี่, คูณ นี่ลบนี่, นี่
  • 4:15 - 4:19
    ลบ -- ผมแค่บอกว่า บวก ลบของเจ้านี่.
  • 4:19 - 4:22
    ได้ ลบ c กำลังสอง ลบ a
    กำลังสอง บวก b กำลังสอง.
  • 4:22 - 4:24
    ที่ผมทำก็คือเจ้านั่นตรงนั้น.
  • 4:24 - 4:27
    ทีนี้ลองดูว่าเราจะจัดรูปเจ้านี่ได้ไหม, หรือเราจะ
  • 4:27 - 4:29
    บวกเศษส่วนนี้ได้หรือไม่.
  • 4:29 - 4:31
    ทีนี้, เรามีตัวส่วนร่วมแล้ว.
  • 4:31 - 4:36
    ca ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ 2ca ส่วน 4.
  • 4:36 - 4:39
    ca ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ 2ca ส่วน 4,
  • 4:39 - 4:41
    แค่คูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2.
  • 4:41 - 4:44
    แล้วตอนนี้เราก็บวกตัวเศษได้.
  • 4:44 - 4:50
    พจน์ของเราตอนนี้ จะเท่ากับสแควร์รูท
  • 4:50 - 4:56
    ของพจน์แรกนี้, จะกลายเป็น -- และผมจะ
  • 4:56 - 4:56
    เขียนมันแบบนี้นะ.
  • 4:56 - 5:08
    ผมจะเขียน c กำลังสอง บวก 2ca บวก a กำลังสอง ลบ b
  • 5:08 - 5:12
    กำลังสอง, ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
  • 5:12 - 5:14
    นั่นคือพจน์แรกของเรา.
  • 5:14 - 5:18
    แล้วพจน์ที่สองของเราจะเป็น -- ทีนี้,
  • 5:18 - 5:20
    ทุกอย่างจะมีส่วน 4, ผมจึงจะเขียน
  • 5:20 - 5:21
    มันตรงนี้.
  • 5:21 - 5:22
    ทุกอย่างส่วน 4.
  • 5:22 - 5:27
    -
  • 5:27 - 5:36
    แล้วเราก็เขียนนี่ว่า b กำลังสอง, ลบ c กำลังสอง
  • 5:36 - 5:43
    ลบ 2ca บวก a กำลังสอง.
  • 5:43 - 5:47
    ให้แค่แน่ใจ, ผมมี ลบ a กำลังสองตรงนี้.
  • 5:47 - 5:49
    บวก คูณ ลบ, มันยังเป็น ลบ a กำลังสองอยู่.
  • 5:49 - 5:51
    ผมมี บวก 2ca ตรงนี้.
  • 5:51 - 5:54
    ลบ คูณ ลบ, นั่นคือ บวก 2ca.
  • 5:54 - 5:56
    ผมมีลบ c กำลังสองตรงนี้.
  • 5:56 - 5:57
    ผมมีลบ c กำลังสองตรงนี้.
  • 5:57 - 6:01
    สองตัวนี้เท่ากัน.
  • 6:01 - 6:05
    ตอนนี้สิ่งต่อไปที่เราต้องสังเกต, หรือเรา
  • 6:05 - 6:10
    หวังจะสังเกตพบ, คือว่าเจ้านี่ตรงนี้ --
    มันอาจดู
  • 6:10 - 6:14
    รกหน่อย -- นั่นเหมือนกับ c บวก a กลังสอง.
  • 6:14 - 6:14
    ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ.
  • 6:14 - 6:21
    นี่เท่ากับสแควร์รูท, เปิดวงเล็บ, ของ
  • 6:21 - 6:30
    เจ้านี่ตรงนี้ คือ c บวก a กำลังสอง
    ลบ b กำลังสอง, ส่วน 4.
  • 6:30 - 6:31
    นั่นคือเทอมแรกนั่น.
  • 6:31 - 6:33
    แล้วเทอมที่สอง.
  • 6:33 - 6:36
    นี่ตรงนี้ก็เหมือนกับ
    c ลบ a กำลังสอง.
  • 6:36 - 6:39
    แล้วทั้หงมดนั่นจะจัดรูปเหลือเป็น b กำลังสอง
  • 6:39 - 6:47
    ลบ c ลบ a กำลังสอง, ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
  • 6:47 - 6:49
    เราก้าวหน้าไปอีกแล้ว.
  • 6:49 - 6:52
    อย่างที่ผมบอกคุณไว้, นี่เป็นปัญหาที่ยุ่งยาก.
  • 6:52 - 6:54
    แต่เราจะเห็นการประยุกต์ใช้การแยก
  • 6:54 - 6:57
    พหุนามได้อย่างสวยงาม, และเราจะ
    เห็นว่าสมการประหลาดๆ
  • 6:57 - 7:00
    จะแปลงกายเป็นสมการง่ายๆ ได้อย่างไร
  • 7:00 - 7:02
    ตอนนี้เราสามารถใช้สมบัติเดียวกันนี้ -- เราได้ว่า
  • 7:02 - 7:05
    รูปแบบ -- อะไรสักอย่างกำลังสอง
    ลบอะไรอีกตัวกำลังสอง.
  • 7:05 - 7:07
    -
  • 7:07 - 7:08
    เราก็แยกตัวประกอบมันออกมาได้.
  • 7:08 - 7:10
    และผมจะทำมันในบรรทัดเดียวกัน.
  • 7:10 - 7:12
    นี่จะเท่ากับ -- ผมจะเขียน
  • 7:12 - 7:14
    เล็กหน่ย, ผมจะได้มีที่เหลือ --
  • 7:14 - 7:15
    สแควร์รูท.
  • 7:15 - 7:20
    นี่จะแยกได้เป็น นี่บวกนี่.
  • 7:20 - 7:30
    ได้ c บวก a บวก b คูณ c บวก a ลบ b.
  • 7:30 - 7:30
    จริงไหม?
  • 7:30 - 7:32
    นี่ก็เหมือนกับรูปแบบที่เราทำไว้ตรงนี้.
  • 7:32 - 7:34
    นี่คือ x กำลังสอง, นี่คือ y กำลังสอง.
  • 7:34 - 7:42
    ได้คูณ c บวก a ลบ b, ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
  • 7:42 - 7:43
    แล้วเราก็ได้อันนี้มา.
  • 7:43 - 7:46
    นี่จะเท่ากับ b บวก c ลบ a.
  • 7:46 - 7:51
    -
  • 7:51 - 7:53
    ขอผมเลื่อนไปทางขวาหน่อย.
  • 7:53 - 7:59
    คูณ b บวก c ลบ a --
    นั่นคือ x บวก y -- คูณ
  • 7:59 - 8:03
    b ลบ c ลบ a.
  • 8:03 - 8:09
    หรือมันก็เหมือนกับ b บวก c บวก a.
  • 8:09 - 8:13
    นี่ก็เหมือนกับ b ลบ c ลบ a.
  • 8:13 - 8:14
    จริงไหม?
  • 8:14 - 8:15
    เอาล่ะ.
  • 8:15 - 8:20
    ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
  • 8:20 - 8:24
    ตอนนี้, ผมเขียนพจน์ทั้งหมดนี้ได้ใหม่.
  • 8:24 - 8:26
    ผมไม่อยากให้ที่หมด.
  • 8:26 - 8:30
    ผมเขียนพจน์นี้ทั้งหมดใหม่ว่า, ทีนี้ 4
  • 8:30 - 8:33
    คือผลคูณของ 2 กับ 2.
  • 8:33 - 8:36
    -
  • 8:36 - 8:41
    พจน์ทั้งหมดของเรา, จึงจัดรูป
  • 8:41 - 8:45
    ได้ว่า มันเท่ากับสแควร์รูท -- นี่ใกล้ถึง
  • 8:45 - 8:51
    เส้นชัยแล้ว -- ของเจ้านี่ตรงนี้,
    ซึ่งผมเขียนมันได้เป็น
  • 8:51 - 8:56
    a บวก b บวก c ส่วน 2.
  • 8:56 - 8:58
    นั่นคือเทอมนั่นตรงนั้น.
  • 8:58 - 9:01
    คูณเทอมนี้.
  • 9:01 - 9:02
    คูณเทอมนั้น.
  • 9:02 - 9:05
    แล้วผมลดรูปตรงนี้หน่อย. c บวก a
  • 9:05 - 9:13
    ลบ b, มันก็เหมือนกับ
    a บวก b บวก c ลบ 2b.
  • 9:13 - 9:14
    สองอย่างนี้เหมือนกัน.
  • 9:14 - 9:15
    จริงไหม?
  • 9:15 - 9:19
    คุณมี a, คุณมี c, แล้ว b ลบ 2b จะ
  • 9:19 - 9:23
    เท่ากับ ลบ b.
  • 9:23 - 9:25
    จริงไหม? b ลบ 2b, นั่นคือ ลบ b.
  • 9:25 - 9:30
    แล้วเทอมต่อไปนี้ จะเป็น
    a บวก b บวก
  • 9:30 - 9:34
    c ลบ 2b, ส่วน 2.
  • 9:34 - 9:36
    หรือแทนที่จะเขียนแบบนั้น, ขอผมเขียนนี่
  • 9:36 - 9:41
    เป็นส่วน 2 ลบ นี่ส่วน 2.
  • 9:41 - 9:44
    แล้วเทอมต่อไปของเราตรงนี้.
  • 9:44 - 9:46
    เหตุผลเดียวกัน.
  • 9:46 - 9:55
    มันก็เหมือนกับ a
    บวก b บวก c ลบ 2a,
  • 9:55 - 9:56
    ทั้งหมดนั่นส่วน 2.
  • 9:56 - 9:57
    จริงไหม?
  • 9:57 - 10:00
    ถ้าเราบวกลบ 2a เข้ากับ a เราจะได้ลบ a.
  • 10:00 - 10:02
    เราจึงได้ b บวก c ลบ a.
  • 10:02 - 10:04
    พวกนี้เท่ากัน.
  • 10:04 - 10:07
    แล้วทั้งหมดนี่ส่วน 2, หรือเราแยกตัวส่วน
  • 10:07 - 10:09
    แบบนั้น ส่วน 2.
  • 10:09 - 10:11
    แล้วเทอมสุดท้าย.
  • 10:11 - 10:14
    คุณคงเห็นกฎ หรือสูตร
  • 10:14 - 10:16
    ของเฮรอนโผล่ขึ้นมาแล้ว.
  • 10:16 - 10:20
    ผมคิดว่ามันไม่ใช่กฎของเฮรอนนะ
    -- สูตรของเฮรอนมากกว่า
  • 10:20 - 10:23
    เทอมนั่นตรงนั้น ก็เหมือนกับ a
  • 10:23 - 10:28
    บวก b บวก c ลบ 2c.
  • 10:28 - 10:28
    จริงไหม?
  • 10:28 - 10:31
    คุณหัก 2c ออกไปจาก c, แล้วคุณ
  • 10:31 - 10:33
    จะได้ a กับ b.
  • 10:33 - 10:35
    แล้วทั้งหมดนั่นส่วน 2.
  • 10:35 - 10:38
    คุณก็เขียนนั่น ส่วน 2 ลบ นั่นส่วน 2.
  • 10:38 - 10:40
    และ, แน่นอน, เราต้องใส่สแควร์รูท
  • 10:40 - 10:42
    ของก้อนทั้งหมดนี้.
  • 10:42 - 10:52
    ทีนี้, ถ้าเรากำหนด S ให้เท่ากับ a บวก b บวก c ส่วน
  • 10:52 - 10:56
    2, แล้วสมการนี้ก็จะลดรูปไปได้หน่อย.
  • 10:56 - 10:58
    เจ้านี่ตรงนี้คือ S.
  • 10:58 - 11:00
    เจ้านั่นตรงนั้นคือ S.
  • 11:00 - 11:02
    นั่นตรงนั้นคือ S.
  • 11:02 - 11:04
    แล้วนั่นตรงนั้นคือ S.
  • 11:04 - 11:08
    และนี่ก็จะลดรูปไปได้ด้วย.
  • 11:08 - 11:12
    ลบ 2b ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ ลบ b.
  • 11:12 - 11:15
    ลบ 2a ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ ลบ a.
  • 11:15 - 11:17
    ลบ 2c ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ ลบ c.
  • 11:17 - 11:24
    ดังนั้สมการทั้งหมดนี้ สำหรับพื้นที่
    ของเราตอนนี้เท่ากับ -- ผมจะ
  • 11:24 - 11:25
    เขียนสแควร์รูทใหม่นะ.
  • 11:25 - 11:31
    ราก, สแควร์รูท, ของ S -- นั่นก็คือเจ้านั่นตรงนั้น.
  • 11:31 - 11:34
    -
  • 11:34 - 11:34
    ผมจะใช้สีเดิมนะ.
  • 11:34 - 11:47
    คูณ S ลบ b, คูณ นี่คือ S ลบ a, คูณ -- แล้วเรา
  • 11:47 - 11:50
    ก็มาที่ตัวสุดท้าย -- S ลบ c.
  • 11:50 - 11:52
    -
  • 11:52 - 11:57
    แล้วเราก็พิสูจน์สูตรของเฮรอนได้แล้วว่า มันเท่ากับ
  • 11:57 - 11:59
    สิ่งที่เราพิสูจน์ไว้ในวิดีโอก่อนจริงๆ
  • 11:59 - 12:02
    มันเนี๊ยบมาก.
  • 12:02 - 12:06
    และเราแค่ต้องคิดเลขยุ่งๆ หน่อย
  • 12:06 - 12:08
    เพื่อพิสูจน์ออกมา.
Title:
บทพิสูจน์เรื่องสูตรของเฮรอน ตอนที่ 2
Description:

การแสดงว่าพจน์ในตอนที่ 1 เท่ากับสูตรของเฮรอนจริง
more » « less
Video Language:
English
Duration:
12:08

Thai subtitles

Revisions

  • Revision 1 Edited (legacy editor)
    Umnouy Ponsukcharoen
Our website uses cookies for analysis purposes.