Part 2 of the Proof of Heron's Formula

Showing that the expression in part 1 is identical to Heron's Formula

И снова привет!

В предыдущем видео я говорил, что результат, который мы получили для вычисления

площади треугольника со сторонами a, b и c, равнозначен формуле Герона.

В этом видео я хочу доказать Вам с помощью некоторых алгебраических преобразований,

что это - то же, что формула Герона.

Прежде всего, давайте внесем 1/2 под знак корня.

То есть, 1/2с – это то же самое, что √с²/4.

Вы извлекаете из этого квадратный корень и получаете ½ с.

Значит, все это выражение равно…

Вместо того, чтобы рисовать знак квадратного корня, я просто напишу словами -

квадратный корень из вот этого - с²/4, умноженного на все это.

Я просто скопирую это выражение. То есть, умножить на это.

Конечно, это нужно разложить на множители - и все это под корнем.

Давайте раскроем скобки. Это будет равняться квадратному корню…

Это будет довольно запутанно, но я думаю, Вы будете довольны, когда увидите,

как все это, в конце концов, придет к простой формуле Герона.

Квадратный корень из с²/4*а²=с²а²/4 минус с²/4, умножить на…

Сейчас я запишу это, как числитель в квадрате, разделенный на знаменатель в квадрате.

Значит, умножить на (с²+а²-b²)², разделенное на – если я возведу знаменатель в квадрат – 4с².

Мы сразу же видим, что это с² и это с² сократятся. Теперь я вот так закрою скобки.

Разумеется, это 4 умножить на это 4, будет -

давайте я запишу это таким образом - это то же самое, что 4 в квадрате.

Вместо того, чтобы написать 16, я запишу это вот так. Скоро Вы увидите, зачем я это делаю.

Теперь я могу переписать это как…

Это будет равняться – я произвольно меняю цвет – квадратному корню из (са/2)².

Это - то же самое, что это, правильно? Я просто возвожу всю дробь в квадрат.

Если я возведу в квадрат все по отдельности, получится с²а², деленные на - 2²=4 - минус -

сейчас я запишу все это выражение в квадрате - получится: (с²+а²-b²)/4.

Мы возводим в квадрат и числитель, и знаменатель.

Интересненько выглядит, да? Давайте я обозначу скобки другим цветом.

Вы должны помнить из разложения многочленов на множители, что х²-у² можно разложить на (х+у)(х-у).

Мы будем пользоваться этим правилом и дальше.

Допустим, са/2, - это «х», а вот это длинное выражение – это «у», тогда у нас получается х²-у².

Значит, мы можем разложить это выражение на множители.

Следовательно, все это будет равняться: √(х+у) или в этом случае из (са/2) плюс у,

которое у нас равняется (с²+а²-b²)/4 умножить на х-у. Это наш х – са/2, минус все это

выражение, или давайте лучше поменяем знаки – плюс -с²-а²+b². Все это делить на 4.

То есть, я здесь сделал следующее: я сказал, что это выражение - то же самое, что это плюс это,

умножить на это минус это – но я поменял знак, и получилось: плюс это выражение с отрицательным знаком, т.е. -с²-а²+b².

Вот, что я сделал. Давайте теперь попробуем это упростить.

Давайте посмотрим, сможем ли мы сложить эти дроби. Мы можем прийти здесь к общему знаменателю.

са/2, - это то же самое, что 2са/4. Мы просто умножаем числитель и знаменатель на 2.

Теперь мы можем сложить числители. Теперь все это выражение будет у нас равняться квадратному корню из…

Это первоначальное выражение превратится в – я запишу это таким образом – (с²+2са+а²-b²)/4.

Это наше первое выражение, а вот наше второе выражение.

Оно тоже будет со знаменателем 4. Так я и запишу.

Значит, мы можем записать это как b²-с²-2са+а².

Давайте проверим: у нас здесь минус а² - плюс умножить на минус, получается минус а².

Здесь у нас плюс 2са – минус умножить на минус дает плюс 2са. Здесь у нас минус с² и здесь минус с².

Значит, эти два выражения равнозначны.

Следующее, что нам нужно понять, - это то, что это выражение здесь – что-то я тут начёркал – это то же самое, что (с+а)².

Давайте я это запишу. Это равняется квадратному корню из - открываем скобки – ((с+а)²-b²)/4.

Это первая часть. Теперь вторая часть. Вот это то же самое, что (с-а)². Все это упростится до (b²-(с-а)²)/4.

Мы двигаемся вперед. Я Вам говорил, что это непростая задача.

Здесь мы видим наглядные примеры разложения многочленов на множители.

А также то, как это сложное и странное на вид уравнение может быть упрощено.

Здесь мы можем использовать тот же принцип.

У нас такой же точно случай – какое-то выражение в квадрате минус еще одно выражение в квадрате, и то же самое - здесь.

То есть, мы можем разложить это на множители.

Это будет равняться квадратному корню из – это разложится на это плюс это, то есть, (с+а+b)(с+а-b).

Это точно такой же пример, как тот, что я делал ранее. Это – х², а это – у².

Итак, умножить на (с+а-b) и все это делить на 4. Теперь это. Тут у нас будет b+с-а.

Давайте я немного передвинусь вправо. Умножить на b+с-а – это х+у – умножить на b-(с-а).

Или - это то же самое, что b-с+а, это ведь то же самое, что и b-(с-а), верно? Все это разделить на 4.

Теперь я могу переписать все это выражение.

Не хочу, чтобы у меня закончилось место, где писать.

Я могу переписать все это выражение как - я могу написать, что 4 – это 2 умножить 2.

Значит, все наше уравнение было упрощено до – выходим на финишную прямую –

до квадратного корня из вот этого выражения, которое я могу просто записать как (а+b+с)/2.

Умножить на эту часть. Давайте упростим это. с+а-b – это то же, что а+b+с-2b.

Эти два выражения равнозначны. У Вас есть а, с, а затем b-2b=-b.

Значит, следующее выражение будет таким: (а+b+с-2b)/2

либо вместо того, чтобы писать это так,

я могу записать это, как это, деленное на 2 минус это, деленное на 2.

Теперь наше следующее выражение. Точно такая же логика.

Это то же самое, что (а+b+с-2а), деленное на 2.

Если мы сложим минус 2а и а, мы получим минус а - значит, у нас b+с-а. Это одно и то же.

Все это разделить на 2, или мы можем разделить знаменатели таким образом.

Теперь последнее выражение. Вы, наверно, уже узнаете вырисовывающуюся здесь формулу Герона

Эта часть – то же самое, что а+b-2с. Вы вычитаете 2с из с и получаете минус с, и у Вас также есть а и b.

Все это делить на 2. Это разделить на 2, и это разделить на 2.

И, конечно, мы извлекаем квадратный корень из всего этого – закрываем скобочку.

Пусть площадь S будет равна (а+b+с)/2, тогда это уравнение сильно упрощается.

Это у нас S. Это тоже S. Вот это S и это S. Эти выражения тоже сильно упрощаются.

Минус 2b/2, - это то же самое, что минус b. Минус 2а/2, - это то же самое, что минус а. Минус 2с/2 - это то же самое, что минус с.

Теперь все наше уравнение для нахождения площади треугольника будет равняться следующему -

я перепишу квадратный корень из S – я напишу это теми же цветами -

умножить на S-b, умножить на S-а, умножить на – мы уже на последнем S-с.

Мы доказали, что формула Герона – это то же, что и то, к чему мы пришли в конце последнего видео.

У нас неплохо получилось.

Просто нужно было сделать немного мудреных алгебраических преобразований для того, чтобы это доказать.