Part 2 of the Proof of Heron's Formula

I den forrige videoen

påstod vi, at det resultatet vi fikk

av arealet av en trekant, som har sidene med lengdene

a, b og c svarer til

Herons formel.

Det vi skal gjøre i den her videoen er å vise,

at det her er tilsvarende til Herons formel ved i bunn og grunn

å anvende en masse algebraisk manipulasjon.

Først skriver vi at en halv c

onder rottegnet.

Nå har vi en halv c, som er det samme som kvadratroten

av c i andre over 4.

Tar vi kvadratroten av det her, får vi en halv c.

Vi skriver kvadratroten av c i andre over 4 ganger alt det her i stedet for å tegne rottegnet.

.

La oss sette kopiere uttrykket inn her.

På den har tavlen kan man heldigvis kopiere det,

man har skrevet.

.

Vi ganger det med alt det her.

Det skal vi selvfølgelig gange ut.

Vi har altså x i andre over 4 ganger alt det her.

Nå skal vi lukke kvadratroten.

.

Nå ganger vi c i andre over 4 ut.

Det skal bli lik kvadratroten.

Det her blir en smule stort, men vis kal nok klare det,

når det på et tidspunkt kommer til å

ligne noe så simpelt som Herons formel.

Kvadratroten av c i andre over 4 ganger med a i andre

er lik med c i andre over 4 minus c i andre over 4.

Det her flytter vi bare rundt på.

Vi skriver det som telleren i andre

over nevneren i andre.

Gange c i andre pluss a i andre minus b

i andre i andre.

Hvis vi kjenner nevneren, får vi

4c i andre,

og så kan vi med det samme se, at c i andre og den her c i andre

utligner hverandre.

Vi lukker parentesen her.

Vi har også de her 4 ganger de her 4,

og det vil bli

det samme som 4 i andre.

Vi skriver altså 4 i andre

i stedet for å skrive 16.

Vi kan omskrive det her.

.

Det her vil være lik kvadratroten

av c over 2 i andre.

.

Det her er det samme som det her,

ikke sant?

Vi skriver det som det hele i andre.

Vi setter det her i andre, altså c i andre a i andre over 2 i andre

over 4 minus c i andre

pluss a i andre

minus b i andre,

og det hele står over 4.

Vi setter både nevner og teller

i andre.

Det her ser en smule interessant ut.

Vi lager parentesene i en annen farge.

Vi kan huske fra videoene om faktorisering, at hvis vi

har noe på formen x i andre minus y i andre,

kan det faktoriseres til x pluss y ganger x minus y.

Den viten kommer vi til å bruke mange ganger.

Hvis vi kan kalle c a over 2 for x, og vi kan kalle alt det her over for y,

har vi x i andre minus y i andre,

og så kan vi faktorisere det.

Alt det her er altså lik med kvadratroten av

x pluss y, eller i det her tilfelle er det c a over 2 pluss y, som er

c i andre pluss a i andre minus b i andre over 4.

Ganger x minus y.

Det her er våres x.

c a over 2 minus alt det vi har her.

Eller enda bedre kan vi bare skrive pluss og så

skrive det negative.

Vi har pluss minus c i andre minus a i andre pluss b i andre.

Alt sammen over 4.

Det eneste vi gjorde her var å si, at det her er det samme som det her

pluss det her, det her pluss det her, ganger det her minus det her.

.

c i andre minus a i andre pluss b i andre.

Det eneste vi har gjort er det rett her.

Nå vil vi gjerne redusere det her,

eller, hvis vi kan, legge de her brøkene sammen.

Vi kan godt finne en fellesnevner.

c a over 2 er det samme som 2ca over 4.

c a over 2 er det samme som 2ca over 4, når vi

ganger både teller og nevner med 2.

Nå kan vi legge tellerne sammen.

Hele våres uttrykk vil nå være lik med

kvadratroten av det første uttrykket.

Vi kan skrive det sånn her.

Vi skriver c i andre pluss 2ca pluss a i andre minus b i andre,

alt sammen over 4.

Det her er våres første uttrykk.

Nå til vårt andre uttrykk.

Først er alt det her over 4,

så det skriver vi med en gang.

Alt sammen over 4.

.

Det her kan vis skrive som b i andre minus c i andre

minus 2ca pluss a i andre.

Bare for å være sikre, så har vi fremdeles a i andre her.

Pluss ganger minus. Det er fremdeles noe med minus a i andre.

Vi har pluss 2ca her.

Minus ganger minus. Det gir pluss 2ca.

Her har vi minus c i andre.

Her har vi minus c i andre.

De her 2 svarer altså til hverandre.

Forhåpentligvis kan vi gjenkjenne,

at det her over

er det samme som c pluss a i andre.

Vi skrivet det.

Det her er lik med kvadratroten av det her,

c pluss a i andre minus b i andre over 4.

Det er det første uttrykket.

Nå det andre uttrykket.

Det vi har her er det samme som c minus a i andre.

Det hele kan forkortes til b i andre

minus c minus a i andre, alt sammen over 4.

Nå kan vi se fremskritt.

Som vi tidligere fant ut av, kan det her godt være litt vanskelig.

Men her har vi fått bruk for

faktorisering av polynomer, og nå ser vi, at den merkelige likningen

er laget om til en enklere likning.

Nå kan vi bruke den samme fremgangsmåten,

når vi har noe i andre minus noe annet i andre.

.

Vi kan altså faktorisere det.

.

Det her er nå

lik med

kvadratroten.

Den her vil faktoriseres til det her pluss det her.

Vi har nå c pluss a pluss b ganger c pluss a minus b,

ikke sant?

Det er den samme fremgangsmåten, som vi brukte her.

Det her er x i andre, og det her er y i andre.

Det skal ganges med c pluss a minus b, alt sammen over 4.

Nå har vi den her.

Den er b pluss c minus a.

.

Vi ruller litt ned.

Gange b pluss c minus a,

ganger b minus c minus a.

Det er det samme som b minus c pluss a.

Det her er det samme som b minus c minus a,

ikke sant?

Okay.

Alt sammen over 4.

Nå kan vi omskrive hele uttrykket.

.

Vi kan omskrive hele uttrykket. 4 er

produktet av 2 ganger 2.

.

Hele uttrykket for våres areal er nå, formentlig, blitt redusert,

så det er lik med kvadratroten

av det rett her, som vi kan skrive som

a pluss b pluss c over 2.

Det er det leddet, vi har rett her.

Ganger det her leddet.

Ganget det leddet.

Vi reduserer det litt.

c pluss s minus b er det samme som a pluss b pluss c minus 2b.

De her 2 svarer til hverandre.

.

Vi har en a, vi har en c, og så b minus 2b,

som er lik med minus b.

b minus 2b er minus b.

Det neste leddet er lik med a pluss b pluss c

minus 2b, over 2.

Vi skriver det sånn her.

Over 2 minus det her over 2.

Nå til vårt neste ledd.

Samme fremgangsmåte.

Det er det samme som a pluss b pluss c minus 2a,

alt sammen over 2.

.

Hvis vi tilføyer minus 2a til vår a, får vi minus a.

Vi får b pluss c minus a.

De her er identiske.

Alt det her er over 2, eller vi kan dele nevnerne

sånn her over 2.

Nå til vårt siste ledd.

Vi kan allerede se regelen

fra Herons formel komme frem her.

.

Uttrykket rett her er nøyaktig det samme som

a pluss b pluss c minus 2c.

.

Vi fjerner 2c fra c, og nå har vi minus c.

Vi har fremdeles a og b,

og det hele er over 2.

Vi kan skrive det her over 2 minus det her over 2.

Etterpå tar vi selvfølgelig kvadratroten

av det hele.

Hvis vi definerer en S til å være lik med a pluss b pluss c

over 2, skal den her likningen reduseres litt.

Det vi har her er S.

Det her er S.

Det vi har her er S.

Det vi har her er også S.

De kan også reduseres.

Minus 2b over 2 er det samme som minus b.

Minus 2a over 2 er det samme som minus a.

Minus 2c over c er det samme som minus c.

Nå kan vi finne likningen for hele våres areal.

Vi omskriver kvadratroten.

Rottegnet, kvadratroten av S, er det, vi har rett her.

.

Vi lager det i noen fine farger.

Ganger S minus b, ganger den her S minus a,

ganger S minus c.

.

Vi har nå bevist, at Herons formel er den nøyaktig samme tingen,

som hva vi beviste til slutt i den siste videoen.

Det er gøy.

Det eneste vi skulle bruke var en smule innviklet algebra

for å bevise det.