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Nell'ultimo video ho affermato che questo risultato che abbiamo ottenuto per l'area
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di un triangolo con i lati a, b e c e'
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equivalente alla formula di Erone.
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E quello che voglio fare in questo video e' mostrarti che questa
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e' equivalente alla formula di Erone essenzialmente facendo
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un po' di manipolazioni algebriche.
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Quindi la prima cosa che voglio fare --- piazziamo questo
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1/2 c sotto a una radice.
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Allora 1/2 c e' come dire la radice quadrata
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di c^2 / 4.
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Ne prendi la radice quadrata e ottieni 1/2 c.
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Quindi tutta questa espressione e' uguale a --- invece di disegnare
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la radice, scrivo la radice quadrata di questo,
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di c^2 / 4 per tutto questo.
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Lo copio e incollo.
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Copia e incolla.
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Quindi per tutto questo.
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E naturalmente deve essere distribuito.
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Quindi c^2 su 4 per tutto questo.
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E poi dobbiamo chiudere la radice quadrata.
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Fammi distribuire la c^2 / 4.
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Questo sara' uguale alla radice quadrata.
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Questo sara' peloso, ma penso che troverai
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soddisfacente come questo possa diventare una cosa
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semplice come la formula di Erone.
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La radice quadrata di c^2 / 4 per a^2 e'
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c^2 a^2 su 4, meno c^2 su 4.
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Sto solo distribuendo questo.
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E lo scrivo come il numeratore al quadrato fratto
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il denominatore al quadrato.
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Quindi per c^2 piu' a^2 meno
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b^2, al quadrato.
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Fratto --- se elevo al quadrato il denominatore e' 4c^2.
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E vediamo immediatamente che quel c^2 e quel c^2
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si annullano.
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Fammi chiudere la parentesi.
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E, ovviamente, questo 4 per quel 4, questo
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diventa --- beh fammelo scrivere in questo modo.
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Questo e' come 4^2.
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E invece di scrivere 16, vedrai perche'
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faccio cosi'.
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Ora questo lo posso riscrivere.
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Questo sara' uguale alla radice quadrata --- cambio
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colore arbitrariamente --- di ca su 2 al quadrato.
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Questo e' come questo.
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Giusto?
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Sto solo scrivendo tutta questa cosa al quadrato.
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Se elevo questo al quadrato, fa c^2 a^2 fratto
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2^2 su 4, meno --- e scrivo tutta questa cosa
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come un'espressione al quadrato.
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Quindi e' c^2 piu' a^2 meno
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b^2, su 4.
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E stiamo elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore.
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Ora questo potrebbe risultarti interessante.
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Fammi fare le parentesi in un colore un po' diverso.
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Potresti ricordarti dalla fattorizzazione dei polinomi che se
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ho qualcosa nella forma x^2 - y^2, si
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fattorizza in (x + y) * (x - y).
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E useremo questa cosa piu' e piu' volte.
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Ora se chiami ca / 2 "x" e chiami tutta questa grossa cosa qui
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"y", hai x^2 - y^2.
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Quindi lo possiamo fattorizzare.
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Quindi tutta questa cosa sara' uguale alla radice quadrata di
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x + y, o in questo caso e' ca / 2 piu' la y, che e'
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c^2 + a^2 - b^2 su 4.
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Per x - y.
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Quindi questa e' la nostra x.
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ca / 2, meno tutta questa faccenda qui.
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O meglio ancora, fammi dire semplicemente piu' e poi fammi
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scrivere il negativo.
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Quindi piu' meno c^2 meno a^2 piu' b^2.
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Tutto fratto 4.
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Quindi tutto quello che ho fatto e' dire che questo e' come
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questo piu' questo, questo piu' questo, per questo meno questo, questo
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meno --- ho solo detto piu' il negativo di questo.
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Quindi meno c^2 meno a^2 piu' b^2.
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E tutto quello che ho fatto sta qui.
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Ora vediamo se possiamo semplificare, o se
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possiamo sommare queste frazioni.
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Beh, possiamo ottenere un denominatore comune.
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ca / 2, questo e' come dire 2ca / 4.
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ca / 2, questo e' come 2ca / 4, sto solo
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moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2.
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E ora possiamo sommare i numeratori.
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Quindi tutta la nostra esperssione sara' uguale alla radice
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quadrata di questa prima espressione, diventera' --- e
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lo scrivo cosi'.
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Lo scrivo come c^2 + 2ca + a^2
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meno b^2, tutto fratto 4.
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Questa e' la nostra prima espressione.
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E poi la seconda espressione diventa --- beh,
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sara' tutto fratto 4, quindi scrivo solo
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questo per adesso.
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Tutto su 4.
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E poi potremmo scrivere questo come b^2 meno c^2
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meno 2ca piu' a^2.
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Giusto per stare sicuri, qui ho un -a^2.
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Piu' per meno, e' ancora un -a^2.
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Qui ho un piu' 2ca.
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Meno per meno, fa piu' 2ca.
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Qui ho a meno c al quadrato.
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Qui ho a meno c al quadrato.
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Quindi queste due cose sono equivalenti.
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Ora la prossima cosa che dobbiamo riconoscere, o si spera
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che possiamo riconoscere, e' che questo qui --- questo potrebbe diventare un po'
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incasinato -- questo e' come dire c + a ^2.
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Fammelo scrivere.
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Questo e' uguale alla radice quadrata, aperta parentesi, di questo
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qui e' c piu' a^2 meno b^2, su 4.
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Questo e' il primo termine.
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E poi il secondo termine.
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Questo qui e' come c - a ^2.
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Quindi tutta questa cosa si semplifica in
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b^2 - c - a^2, tutto fratto 4.
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Quindi stiamo facendo progressi.
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Come ti ho detto e' un problema peloso.
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Ma vediamo delle applicazioni carine della fattorizzazione
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di polinomi e vediamo come equazioni piuttosto bizzarre
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possono essere trasformate in qualcosa di piu' semplice.
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Ora possiamo usare questa identica proprieta' --- abbiamo questo
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schema --- qualcosa al quadrato meno qualcosaltro al quadrato.
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Quindi possiamo fattorizzarlo.
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E lo faccio sulla stessa riga.
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Quindi questo sara' uguale a --- lo scrivo un po'
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piu' piccolo, cosi' non finisco lo spazio ---
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la radice quadrata.
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Questo si fattorizza in questo piu' questo.
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Quindi c + a + b per c + a - b.
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Giusto?
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E' lo stesso identico problema che abbiamo usato qui.
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Questo e' x^2 questo e' y^2.
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Quindi per c + a - b, tutto fratto 4.
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E poi abbiamo questo qui.
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Questo sara' b + c - a.
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Fammi scorrere un po' verso destra.
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Per b piu' c meno a --- questo e' x + y --- per
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b - c - a.
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O e' come dire b - c + a.
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Questo e' come b - c - a.
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Giusto?
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Bene.
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E tutto questo fratto 4.
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Ora posso riscrivere tutta questa espressione.
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Non voglio finire lo spazio.
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Posso riscrivere tutta questa espressione come, beh 4 e'
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il prodotto di 2 per 2.
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Quindi la nostra espressione dell'area e' stata indiscutibilmente semplificata
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a questo uguale la radice quadrata --- e questo e' davvero
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lo scatto finale --- di questo qui, che posso scrivere come
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a + b + c su 2.
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Questo e' questo termine qui.
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Per questo termine.
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Per questo termine.
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E qui fammi scrivere una semplificazione. c + a
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meno b, questo e' come dire a + b + c - 2b.
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Queste due cose sono equivalenti.
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Giusto?
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Quindi hai una a, hai una c e poi b - 2b diventa
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uguale a meno b.
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Giusto? b - 2b, fa meno b.
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Quindi qesto prossimo termine sara' uguale ad a + b +
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c - 2b, fratto 2.
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O invece di scriverlo cosi', fammelo scrivere
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su 2 meno questo su 2.
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E poi il nostro termine successivo qui/
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Stessa identica logica.
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Questo e' come a + b + c - 2a,
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tutto fratto 2.
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Giusto?
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Se sommiamo 2a alla a otteniamo meno a.
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Quindi otteniamo b + c - a.
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Queste sono cose identiche.
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Quindi tutto questo fratto 2, o possiamo separare i denominatori
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cosi' su 2.
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E poi l'ultimo termine.
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E potresti gia' riconoscere la regola
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della formula di Erone che sta uscendo fuori.
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Pensavo non la regola di Erone --- la formula di Erone.
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Questo termine qui e' la stessa identica cosa di
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a + b + c - 2c.
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Giusto?
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Quando porti via 2c dalla c ottieni meno c, poi
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hai ancora a e b.
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E poi tutto fratto 2.
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Puoi scrivere quello fratto 2 meno quello fratto 2.
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E, ovviamente, prendiamo la radice quadrata
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di tutta questa roba.
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Ora, se definiamo S come a + b + c fratto
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2, la nostra equazione si semplifica di un bel po'.
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Questo qui e' S.
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Questo qui e' S.
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Questo qui e' S.
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E questo qui e' S.
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E anche questi si semplificano di un bel po'.
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Meno 2b su 2, questo e' come dire meno b.
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Meno 2a su 2, e' come dire meno a.
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Meno 2c su 2, e' come dire meno c.
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Quindi tutta questa equazione per l'area adesso e' uguale a ---
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riscrivo la radice quadrata.
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La radice, la radice quadrata, di S --- che e' questo qui.
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Lo faccio nello stesso colore.
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Per S - b, per questo e' S - a, per ---- e
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siamo all'ultimo --- S - c.
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E abbiamo dimostrato che la formula di Erone e' la stessa cosa
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di quello che avevamo dimostrato nell'ultimo video.
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Quindi e' stato piuttosto carino.
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E in realta' abbiamo fatto solo un po' di calcoli algebrici
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pelosi per dimostrarlo.
