Del 2 af beviset for Herons formel

I videoen beskrives, hvordan udtrykket fra den første video er identisk med Herons formel.

I den forrige video

påstod vi, at det resultat vi fik

af arealet af en trekant, som har siderne med længderne

a, b og c svarer til

Herons formel.

Det vi skal gøre i den her video er at vise,

at det her er tilsvarende til Herons formel ved i bund og grund

at anvende en masse algebraisk manipulation.

Først skriver vi en halv c

under rodtegnet.

Nu har vi en halv c, som er det samme som kvadratroden

af c i anden over 4.

Tager vi kvadratroden af det her, får vi en halv c.

Vi skriver kvadratroden af c i anden over 4 gange alt det her i stedet for at tegne rodtegnet.

.

Lad os sætte kopiere udtrykket ind her.

På den her tavle kan man heldigvis kopiere det,

man har skrevet.

.

Vi ganger det med alt det her.

Det skal vi selvfølgelig gange ud.

Vi har altså c i anden over 4 gange alt det her.

Nu skal vi lukke kvadratroden.

.

Nu ganger vi c i anden over 4 ud.

Det skal blive lig med kvadratroden.

Det her bliver en smule svært, men vi skal nok blive glade,

når det på et tidspunkt kommer til at

ligne noget så simpelt som Herons formel.

Kvadratroden af c i anden over 4 gange med a i anden

er lig med c i anden over 4 minus c i anden over 4.

Det her flytter vi bare rundt på.

Vi skriver det som tælleren i anden

over nævneren i anden.

Gange c i anden plus a i anden minus b

i anden i anden.

Hvis vi kvadrerer nævneren, får vi

4c i anden,

og så kan vi med det samme se, at c i anden og den her c i anden

udligner hinanden.

Vi lukker lige alle parenteserne her.

Vi har også de her 4 gange de her 4,

og det vil blive

det samme som 4 i anden.

Vi skriver altså 4 i anden

i stedet for at skrive 16.

Vi kan omskrive det her.

.

Det her vil være lig med kvadratroden

af c a over 2 i anden.

.

Det her er det samme som det her,

ikke sandt?

Vi skriver det som det hele i anden.

Vi sætter det her i anden, altså c i anden a i anden over 2 i anden

over 4 minus c i anden

plus a i anden

minus b i anden,

og det hele står over 4.

Vi sætter altså både nævner og tæller

i anden.

Det her ser en smule interessant ud.

Vi laver lige parenteserne i en anden farve.

Vi kan huske fra videoerne om faktorisering, at hvis vi

har noget på formen x i anden minus y i anden,

kan det faktoriseres til x plus y gange x minus y.

Den viden kommer vi til at bruge mange gange.

Hvis vi kan kalde c a over 2 for x, og vi kan kalde alt det herovre for y,

har vi x i anden minus y i anden,

og så kan vi faktorisere det.

Alt det her er altså lig med kvadratroden af

x plus y, eller i det her tilfælde er det c a over 2 plus y, som er

c i anden plus a i anden minus b i anden over 4.

Gange x minus y.

Det her er vores x.

c a over 2 minus alt der vi har herovre.

Eller endnu bedre kan vi bare skrive plus og så

skrive det negative.

Vi har plus minus c i anden minus a i anden plus b i anden.

Alt sammen over 4.

Det eneste vi gjorde her var at sige, at det her er det samme som det her

plus det her, det her plus det her, gange det her minus det her.

.

c i anden minus a i anden plus b i anden.

Det eneste vi har gjort er det lige her.

Nu vil vi gerne reducere det her,

eller, hvis vi kan, lægge de her brøker sammen.

Vi kan godt finde en fællesnævner.

c a over 2 er det samme som 2ca over 4.

c a over 2 er det samme som 2ca over 4, når vi

ganger både tæller og nævner med 2.

Nu kan vi lægge tællerne sammen.

Hele vores udtryk vil nu være lig med

kvadratroden af det første udtryk.

Vi kan skrive det sådan her.

Vi skriver c i anden plus 2ca plus a i anden minus b i anden,

alt sammen over 4.

Det her er vores første udtryk.

Nu til vores andet udtryk.

Først er alt det her over 4,

så det skriver vi lige med det samme.

Alt sammen over 4.

.

Det her kan vi skrive som b i anden minus c i anden

minus 2ca plus a i anden.

Bare for at være sikre, så har vi stadig minus a i anden her.

Plus gange minus. Det er stadig noget med minus a i anden.

Vi har plus 2ca herovre.

Minus gange minus. Det giver plus 2ca.

Her har vi minus c i anden.

Her har vi minus c i anden.

De her 2 svarer altså til hinanden.

Forhåbentlig kan vi genkende,

at det herovre

er det samme som c plus a i anden.

Vi skriver det lige.

Det her er lig med kvadratroden af det herovre,

c plus a i anden minus b i anden over 4.

Det er det første udtryk.

Nu det andet udtryk.

Det vi har her er det samme som c minus a i anden.

Det hele kan forkortes til b i anden

minus c minus a i anden, alt sammen over 4.

Nu kan vi se fremskridt.

Som vi tidligere fandt ud af, kan det her godt være en smule svært.

Men her har vi gjort godt brug af

faktorisering af polynomier, og nu ser vi, at den mærkelige ligning

er lavet om til en simplere ligning.

Nu kan vi bruge den samme fremgangsmåde,

når vi har noget i anden minus noget andet i anden.

.

Vi kan altså faktorisere det.

.

Det her er nu

lig med

kvadratroden.

Den her vil faktoriseres til det her plus det her.

Vi har nu c plus a plus b gange c plus a minus b,

ikke sandt?

Det er den samme fremgangsmåde, som vi brugte herovre.

Det her er x i anden, og det her er y i anden.

Det skal ganges med c plus a minus b, alt sammen over 4.

Nu har vi den her.

Den er b plus c minus a.

.

Vi ruller lige en smule ned.

Gange b plus c minus a,

gange b minus c minus a.

Det er det samme som b minus c plus a.

Det her er det samme som b minus c minus a,

ikke sandt?

Okay.

Alt sammen er over 4.

Nu kan vi omskrive hele udtrykket.

.

Vi kan omskrive hele udtrykket. 4 er

produktet af 2 gange 2.

.

Hele udtrykket for vores areal er nu, formentlig, blevet reduceret,

så det er lig med kvadratroden

af det lige her, som vi kan skrive som

a plus b plus c over 2.

Det er det led, vi har lige her.

Gange det her led.

Gange det det led.

Vi reducerer det lige.

c plus s minus b er det samme som a plus b plus c minus 2b.

De her 2 svarer til hinanden.

.

Vi har et a, vi har et c, og så b minus 2b,

som er lig med minus b.

b minus 2b er minus b.

Det næste led er lig med a plus b plus c

minus 2b, over 2.

Vi skriver det sådan her.

Over 2 minus det her over 2.

Nu til vores næste led.

Samme fremgangsmåde.

Det er det samme som a plus b plus c minus 2a,

alt sammen over 2.

.

Hvis vi tilføjer minus 2a til vores a, får vi minus a.

Vi får b plus c minus a.

De her er identiske.

Alt det her er over 2, eller vi kan dele nævnerne

sådan her over 2.

Nu til vores sidste led.

Vi kan allerede se reglen

fra Herons formel komme frem her.

.

Udtrykket lige her er præcis det samme som

a plus b plus c minus 2c.

.

Vi fjerner 2c fra c, og nu har vi minus c.

Vi har stadig a og b,

og det hele er over 2.

Vi kan skrive det her over 2 minus det her over 2.

Bagefter tager vi selvfølgelig kvadratroden

af det hele.

Hvis vi definerer et S til at være lig med a plus b plus c

over 2, skal den her ligning reduceres lidt.

Det vi har her er S.

Det her er S.

Det vi har her er S.

Det vi har her er også S.

De kan også reduceres.

Minus 2b over 2 er det samme som minus b.

Minus 2a over 2 er det samme som minus a.

Minus 2c over c er det samme som minus c.

Nu kan vi finde ligningen for hele vores areal.

Vi omskriver lige kvadratroden.

Rodtegnet, kvadratroden af S, er det, vi har lige her.

.

Vi laver det lige i nogle flotte farver.

Gange S minus b, gange det her er S minus a,

gange S minus c.

.

Vi har nu bevist, at Herons formel er den præcist samme ting,

som hvad vi beviste til sidst i den sidste video.

Det er ret sejt.

Det eneste vi skulle bruge var en smule indviklet algebra

for at bevise det.