-
g a h jsou navzájem
inverzní funkce.
-
Připomeňme si, co to znamená,
když jsou funkce navzájem inverzní.
-
Znamená to, že když
mám dvě množiny čísel...
-
Jedna množina
bude tady,
-
druhá množina
bude zde.
-
První množina čísel bude
definiční obor funkce g,
-
takže tady budeme
mít nějaké x.
-
Funkce g tohle x zobrazí na
jinou hodnotu, kterou nazýváme g(x).
-
Tohle udělá
funkce g.
-
Pokud je h inverzní
funkcí ke g a naopak,
-
tak h zobrazí bod
g(x) zpět na x.
-
Funkce h to tedy zobrazí zpět
na naši původní hodnotu.
-
Tohle udělá
funkce h.
-
Na tento bod se tak
můžeme dívat jako na x,
-
ale také se na to můžeme dívat
jako na hodnotu h v bodě g(x).
-
Tohle všechno jsem udělal proto,
aby nám to celé dávalo dobrý smysl.
-
Pokud vám někdo řekne, že g a h
jsou navzájem inverzní funkce,
-
tak to znamená, že h v
bodě g(x) se rovná x,
-
ale také na to
můžeme jít opačně.
-
Mohli jsme
tady začít s...
-
Lze to udělat
vícero způsoby.
-
Tohle se také
rovná g v bodě h(x).
-
Mohl jsem tady
prohodit písmena.
-
Pořadí písmen h a g
je v zásadě libovolné.
-
Můžeme tedy také říct,
že g v bodě h(x) se rovná x.
-
Dále máme dány
nějaké informace.
-
V následující tabulce jsou uvedeny
vybrané hodnoty funkcí g, h a g s čárkou.
-
Naším úkolem je spočítat
h s čárkou v bodě 3.
-
V zadání h s čárkou v bodě 3
nemáme, takže jak to spočítáme?
-
Máme dány hodnoty
funkcí g s čárkou, h a g.
-
Jak to tedy
spočítáme?
-
Nyní si něco odvodíme pomocí
pravidla pro derivaci složené funkce.
-
Tento typ příkladu neuvidíte zrovna
často, ale i tak je to zajímavé,
-
takže si to
spolu projdeme.
-
Je možné, že se s tím potkáte i ve
při probírání diferenciálního počtu.
-
Začneme s libovolnou
z těchto dvou rovností nahoře.
-
Začněme tedy
s rovností...
-
Začněme s
touhle rovností.
-
Máme tedy, že g v
bodě h(x) se rovná x.
-
Tady musí
být h(x).
-
Tohle platí z definice, protože
h a g jsou navzájem inverzní.
-
Nyní zderivujme
obě strany rovnice.
-
Spočítejme derivaci
podle x obou stran.
-
Na levé straně použijeme pravidlo
pro derivaci složené funkce,
-
což nám dá g s čárkou v bodě h(x)
krát h s čárkou v bodě x.
-
Jen jsme zderivovali
složenou funkci.
-
Tohle se
bude rovnat...
-
Čemu se rovná
derivace podle x z x?
-
...se bude
rovnat 1.
-
Teď už je to
docela zajímavé.
-
Naším úkolem je spočítat,
kolik je h s čárkou v bodě 3.
-
Umíme zjistit, kolik je h(3) a následně
i kolik je g s čárkou v bodě h(3),
-
takže bychom měli být
schopni určit i h(x) s čárkou.
-
Nebo si to můžeme
takto přepsat.
-
Můžeme napsat, že h s čárkou v bodě x
se rovná 1 lomeno g s čárkou v bodě h(x).
-
Někteří po vás možná budou chtít,
abyste se to naučili nazpaměť,
-
a pro tohle cvičení Khan Academy by se
znalost tohoto vzorce nazpaměť asi hodila.
-
Řeknu vám však, že 20 let po mých hodinách
diferenciálního počtu, už skoro 25 let,
-
si tohle neuchovávám
v dlouhodobé paměti.
-
Zapamatoval jsem si ale, že to jde
odvodit z definice inverzních funkcí.
-
Tento vzorec teď můžeme využít
k výpočtu h s čárkou v bodě 3.
-
h s čárkou v bodě 3 se rovná
1 lomeno g s čárkou v bodě h(3),
-
což hádám, že
známe ze zadání.
-
Takže h(3)...
-
Když je x rovno 3, hodnota h je 4,
takže tomu se rovná h(3).
-
h(3) se rovná 4, takže teď potřebujeme
zjistit g s čárkou v bodě 4.
-
Naštěstí ze zadání víme, že když je
x rovno 4, g s čárkou je 1 lomeno 2.
-
g s čárkou v bodě 4
je tedy 1 lomeno 2,
-
takže h s čárkou v bodě 3 je
1 lomeno (1 lomeno 2).
-
1 lomeno
(1 lomeno 2)...
-
1 děleno (1 lomeno 2)
je totéž jako 1 krát 2,
-
takže to celé bude 2
a máme hotovo.
