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Vamos dizer que eu tenha um triângulo.
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Aqui está meu triângulo.
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E eu sei apenas as medidas dos lados do triângulo.
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Este lado tem medida a, este tem medida b, e
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este tem medida c.
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E pedem para achar a área do triângulo.
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Além do mais eu tenho a ideia de que a área, a
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área do triângulo é igual a 1/2 vezes a base do
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triângulo, vezes a altura dele.
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Então eu desenhei este triângulo, a base dele
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será c, mas a altura nós não sabemos.
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A altura seria este h aqui e nós não sabemos
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o valor dele.
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Então este seria h.
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Então a pergunta é como descobriremos a área
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deste triângulo?
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Se você assistiu o último vídeo sabe que você usa
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a Fórmula de Heron.
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Mas ideia aqui é prová-la.
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Então vamos simplesmente tentar adivinha o valor de h usando
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o Teorema de Pitágoras.
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E daí, saberemos h, podemos aplicar esta fórmula e
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descobrir a área do triângulo.
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Então já nomeamos isto como h.
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Deixe-me definir outra variável aqui.
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Este truque você vai ver frequentemente na geometria.
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Deixe-me definir isto como x, e se este em roxo for x, então
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este lilás, será c - x, certo?
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Esta medida inteira é c - a base inteira é c.
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Então se esta parte é x, esta é c-x.
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O que eu poderia fazer agora, já que ambos são ângulos retos,
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e eu sep disso por causa da altura, eu posso fazer duas
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equações do Teorema de Pitágoras.
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Primeiro, eu posso fazer neste lado esquerdo e eu posso escrever que
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x ao quadrado mais h ao quadrado é igual a ao quadrado.
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Isso é o que tenho pelo lado triângulo esquerdo.
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E por este triângulo no lado direito, eu tenho (c-x) ao quadrado
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mais h ao quadrado é igual a b ao quadrado.
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Então assumindo que conheço a,b e c, eu tenho duas equações
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com duas incógnitas.
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As incógnitas são x e h.
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E lembre-se, h é o que estamos tentando descobrir
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porque já sabemos c.
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Se soubermos h, podemos aplicar a fórmula da área.
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Então como podemos fazer isso?
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Bem, vamos substituir por h e tentar descobrir x.
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Quando digo isso eu quero dizer "vamos resolver para h ao quadrado aqui".
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Se resolvermos para h ao quadrado, só subtraímos x
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ao quadrado em ambos lados.
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Podemos escrever x ao quadrado -desculpe, eu poderia escreve que
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h ao quadrado é igual a "a" ao quadrado menos x ao quadrado.
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Então pegamos essa informação e substituímos
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aqui para h ao quadrado.
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Então esta equação de baixo fica (c-x)
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ao quadrado mais h ao quadrado.
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h ao quadrado sabemos pela equação à esquerda.
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h ao quadrado será igual a -então mais, vou fazer
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naquela cor - "a" ao quadrado menos x ao quadrado é igual a b ao quadrado.
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Apenas substituí o valor daquilo aqui, o
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valor daquilo aqui.
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Agora vamos abrir a expressão.
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(c-x) ao quadrado, isso é c ao quadrado menos
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2cx mais x ao quadrado.
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Então nós temos menos - desculpe, nós temos mais
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"a" ao quadrado menos x ao quadrado igual a b ao quadrado.
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Nós temos um x ao quadrado e um menos x ao quadrado aqui,
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então estes cancelam.
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Vamos somar 2cx a ambos lados da equação.
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Então nossa equação fica c ao quadrado
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mais "a"ao quadrado.
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Estou somando 2cx a ambos lados.
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E se você somar 2cx a isto, você tem 0 é igual a
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b ao quadrado mais 2cx.
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Tudo o que fiz aqui foi cancelar o x ao quadrado e então eu
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somei 2cx aos dois lados da equação.
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Meu objetivo aqui é resolver para x.
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Assim que resolver para x, eu posso resolver para h e
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aplicar aquela fórmula.
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Agora para resolver para x, vamos subtrair b ao quadrado
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de ambos os lados.
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Então nós temos c ao quadrado mais "a" ao quadrado menos b
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ao quadrado é igual a 2cx.
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E se dividirmos os dois lados da equação por 2c, temos c ao quadrado mais "a"
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ao quadrado menos b ao quadrado sobre 2c é igual a x.
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Acabamos de resolver para x aqui.
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Agora, temos que resolver para a altura, então
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poderemos aplicar 1/2 vezes base vezes altura.
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Então para fazermos isso, voltamos para esta equação bem aqui
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e resolvemos para nossa altura.
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Deixa eu abaixar um pouco.
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Sabemos que nossa altura ao quadrado é igual a "a"
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ao quadrado menos x ao quadrado.
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No lugar de simplesmente escrever x ao quadrado, vamos substituir aqui.
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Então fica -x ao quadrado -- x é esta coisa aqui.
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Então c ao quadrado mais "a" ao quadrados menos b ao quadrado
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sobre 2c, ao quadrado.
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É o mesmo que x ao quadrado.
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Acabamos de resolver para isso.
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Então h será a raiz quadrada de toda
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essa coisa aí dentro -- vou só mudar as cores -- de "a"
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ao quadrado menos c ao quadrado mais "a"ao quadrado menos b ao quadrado
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-- tudo isso ao quadrado.
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Deixa eu fazer isso um pouco mais organizado que isso
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porque eu não quero assim--.
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A raíz quadrada --ter certeza que eu tenho espaço suficiente-- de "a" ao quadrado
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menos tudo isso ao quadrado -- nós temos c ao quadrado
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mais "a" ao quadrado menos b ao quadrado, tudo isso sobre 2c.
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Isso é a altura o nosso triângulo.
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O triângulo que nós começamos aqui encima.
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Deixe-me copiar e colar para que eu consiga me lembrar
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com o que estamos lidando.
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Copiar e então colar aqui embaixo.
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Então colei aqui embaixo.
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Então sabemos que a altura é -- é esta grande
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e complicada fórmula.
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A altura em termos de a, b e c é esta aqui.
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Então se quisermos descobrir a área -- a área do nosso
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triângulo -- deixa eu fazer em rosa.
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A área do nosso triângulo será 1/2 vezes a base
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--a nossa base é toda esta medida, c -- vezes c vezes nossa
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altura, que é esta expressão bem aqui.
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Então vou só copiar e colar no lugar de--.
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Vou só copiar e colar.
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Então vezes a altura.
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Então esta agora é nossa expressão para a área.
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Agora você está imediatamente dizendo, vish, isso não se parece muito
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com a Fórmula da Heron, e você está certo.
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Isso não se parece com a fórmula de Heron, mas o que eu vou
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te mostrar no próximo vídeo é que essa é essencialmente
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a Fórmula de Heron.
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Esta é uma versão mais difícil de lembrar da Fórmula de Hron.
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Eu vou aplicar bastante álgebra para essencialmente simplificar
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isto à Fórmula de Heron.
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Mas isto vai funcionar.
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Se você conseguir memorizar isto, eu acho que a de Heron muito
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mais fácil de memorizar.
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Mas se você puder memorizar iso é souber a,b e c
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você aplica esta fórmula aquí e terá
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a área do triângulo.
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Bem, na verdade vamos aplicar só para mostrar que isto
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deixa o mesmo resultado que a de Heron.
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Então no último vídeo nosso triângulo tinha lados 9,11 e
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16, e sua área usando Heron era igual a 18
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vezes a raiz quadrada de 7.
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Vamos ver o que nós obtemos quando aplicamos esta fórmula aqui.
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Nós temos que a área é igual a 1/2 vezes 16 vezes a
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raíz quadrada de "a" ao quadrado.
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Isso é 81 menos --vamos ver, c ao quadrado é 16, então isso é 256.
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256 + "a" ao quadrado, isso é a 81 menos b ao quadrado,
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então menos 121.
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Tudo isso ao quadrado.
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Tudo isso sobre 2 vezes c -- tudo isso sobre 32.
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Vamos ver se consigo simplificar isto um pouco.
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81 - 121, isso é -40.
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Então isto fica 216 sobre 32.
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Então a área é igual a 1/2 vezes 8 é 8.
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Deixa eu trocar as cores.
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1/2 vezes 16 é 8 vezes a raiz quadrada de 81-256
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81 menos 121, isso é -40.
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256 - 40 é 216.
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216 sobre 32 ao quadrado.
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Agora, precisa de muita matemática então deixa
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eu pegar uma calculadora.
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Estou realmente tentando mostrar que estes dois números
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devem dar no mesmo número.
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Então se nós ligarmos a calculadora --.
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Antes de tudo, vamos notar que 18
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raíz quadrada de 7 são.
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18 vezes a raiz quadrada de 7 -- é o que
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temos usando Heron.
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Nós temos 47,62.
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Vamos ver se isto é 47,62.
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Então nós temos 8 vezes a raiz quadrada de 81 menos 216 divido
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por 32 ao quadrado, e se nós fecharmos nossas raízes.
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Nós temos exatamente o mesmo número.
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Eu estava preocupado - eu na verdade não tinha feito esta conta
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antes então eu talvez tivesse cometido um pequeno erro.
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Mas aí está, você tem exatamente o mesmo número.
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Então nossa fórmula acabou de nos dar o mesmo valor
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da Fórmula de Heron.
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Mas o que vou fazer no próximo vídeo é provar que
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isso pode ser reduzido algebricamente para a de Heron.
