Dowód wzoru Herona -- część 1

Pierwsza część dowodu wzoru Herona na pole trójkąta.

Niech dany będzie trójkąt.

Niech dany będzie trójkąt.

To jest mój trójkąt.

Znam tylko długości boków tego trójkąta.

Ten bok ma długość a, ten b,

a ostatni c.

Moim zdaniem jest policzenie pola tego trójkąta.

Na razie jedyne co mam to wiedza, że pole

trójkąta równa się połowie iloczynu

długości podstawy oraz wysokości trójkąta.

Więc w moim trójkącie podstawą będzie

krawędź c. Niestety wysokości nie znamy.

Wysokość oznaczymy przez h,

ale oczywiście na razie jej nie znamy.

Czyli to będzie się nazywać h.

Pytaniem jest, jak obliczyć pole

tego trójkąta.

Jeżeli oglądaliście poprzedni film to wiecie,

że do tego celu używa się wzoru Herona.

Ale tematem tego filmu ma być dowód tego wzoru.

Dlatego spróbujemy po prostu obliczyć h używając

twierdzenia Pitagorasa.

Kiedy już będziemy znać h, aby obliczyć szukane pole

wystarczy podstawić je do znanego wzoru.

Już nazwaliśmy wysokość (h).

Teraz zdefiniuję inną zmienną.

To jest trik,

który zauważycie często w geometrii.

Przez x będziemy rozumieć ten różowy odcinek.

Wtedy fioletowy odcinek będzie mieć długość c minus x.

Te dwa odcinki sumują się do podstawy (c).

Dlatego, jeżeli ta część to x, to ta musi być c minus x.

Ponieważ mamy dwa kąty proste

(wysokość zawsze opada pod kątem prostym)

to mogę ułożyć dwa równania korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Pierwsze równanie (dla lewego trójkąta) będzie wyglądało tak:

x kwadrat plus h kwadrat równe a kwadrat

To otrzymałem dla lewego trójkąta.

Dla trójkąta po prawej stronie otrzymuję:

c - x kwadrat plus h kwadrat równe b kwadrat

Ponieważ a, b i c są danymi to otrzymuję dwa równania

z dwiema niewiadomymi.

Nieznanymi wartościami są x oraz h.

Pamiętajcie: to h próbujemy obliczyć,

wartość c juz znamy.

Jeśli będziemy znać h, to wystarczy nam standardowy wzór na pole trójkąta.

Jak to możemy zrobić?

Podstawmy pod h, aby obliczyć x.

Kiedy to mówię to mam na myśli, że chcemy wyznaczyć h kwadrat z tego równania.

Aby wyznaczyć h kwadrat

odejmujemy od obu stron x kwadrat.

Możemy napisać, że x kwadrat -- przepraszam, możemy napisać,

że h kwadrat równa się a kwadrat minus x kwadrat.

Teraz możemy wykorzystać tę informację

i podstawić tutaj wartość h kwadrat.

Wtedy dolne równanie będzie wyglądać tak:

c minus x kwadrat plus h kwadrat.

Wartość h kwadrat mamy z pierwszego równania.

Podstawiamy wartość h kwadrat (kolor różowy):

a kwadrat minus x kwadrat jest równe b kwadrat.

Ja tylko podstawiłem wartość tego tutaj,

a wartość tamtego tam.

Teraz wykonamy to potęgowanie.

c minus x kwadrat to jest:

c kwadrat minus 2cx plus x kwadrat

Dalej mamy minus -- przepraszam, mamy

plus a kwadrat minus x kwadrat równe b kwadrat.

Mamy x kwadrat tutaj oraz minus x kwadrat tam,

Mamy x kwadrat tutaj oraz minus x kwadrat tam,

więc możemy je pominąć.

Teraz dodamy do dwóch stron równania 2cx.

Teraz dodamy do dwóch stron równania 2cx.

Teraz lewa strona naszego równania będzie wyglądać tak:

c kwadrat plus a kwadrat.

Dodałem 2cx do obu stron równania.

Jeżeli dodamy się 2cx do tego to otrzymamy 0.

To jest równe b kwadrat plus 2cx.

Ja tutaj tylko zredukowałem x kwadrat oraz

dodałem do obu stron równania 2cx.

Moim celem jest znalezienie x.

Jeśli będę miał x to łatwo znajdę h,

a wtedy będę mógł użyć tego wzoru.

Aby znaleźć x odejmijmy b kwadrat

od obu stron równania.

Dostaniemy c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat

równe 2cx.

Teraz wystarczy podzielić obie strony równania przez 2c, otrzymamy:

c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat dzielona przez 2c równe x.

Właśnie wyznaczyliśmy x.

Naszym celem jest znalezienie wysokości, aby policzyć pole ze wzoru:

połowa iloczynu podstawy i wysokości.

Dlatego musimy wrócić do tego równania

i wyznaczyć z niego wysokość.

Pozwólcie, że przesunę trochę naszą tablicę.

Wiemy, że wysokość do kwadratu jest równa

a kwadrat - x kwadrat.

Zamiast napisać x podstawię jego wartość.

Dlatego minus x kwadrat (x to ta wielkość, którą napiszę w nawiasie).

Więc mamy c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat

dzielone przez 2c, wszystko jeszcze raz do kwadratu.

To jest to samo co x kwadrat.

Właśnie pozbyliśmy sie z naszego równania x.

Więc h będzie równe pierwiastkowi kwadratowemu z

tego wszystkiego tutaj -- zmienię kolor --

a kwadrat minus c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat,

to wszystko do kwadratu.

Uporządkujmy tutaj trochę, ponieważ

nie chcę aby ...

Tym razem zadbam o to aby pod pierwiastkiem było wystarczająco dużo miejsca.

Wracamy: a kwadrat minus to wszystko podniesione do kwadratu --

c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat dzielone przez 2c.

To jest wysokość naszego trójkąta.

Trójkąt od którego zaczęliśmy jest tutaj na górze.

Teraz to skopiuję, abyśmy zapamiętali

z czym będziemy teraz pracować.

Skopiuję to, a potem wkleję tutaj.

Wkleiłem to na dole.

Teraz wiemy jaka jest wysokość -- to ten

duży, skomplikowany wzór.

Wysokość w zależności od a, b i c jest tutaj.

Chcemy policzyć nasze pole, pole naszego

trójkąta -- zaznaczę to na różowo.

Pole trójkąta wyniesie połowę iloczynu długości podstawy

(podstawą będzie cały odcinek c) oraz wysokości,

która wyraża się tym wzorem.

Pozwólcie, że po prostu to skopiuję zamiast przepisywać.

kopiuję

razy wysokość

To teraz jest naszym wzorem na pole.

Teraz pewnie powiecie, że to wcale nie wygląda

jak wzór Herona i macie rację.

To nie wygląda jak wzór Herona,

ale w następnym filmie pokaże wam, że to jest

to samo co wzór Herona.

To jest trudniejsza do zapamiętania wersja wzoru Herona.

Uproszczenie tego do wzoru Herona będzie wymagać

dużo algebry.

Ale to zadziała.

Jeżeli jesteście w stanie to zapamiętać, to nie będziecie

mieć problemu z zapamiętaniem wzoru Herona.

Ale jeżeli to zapamiętacie i będziecie znać tylko a, b oraz c

to po zastosowaniu tego wzoru otrzymacie

pole trójkąta.

Użyjmy tego wzoru aby zobaczyć, że w konkretnym przykładzie

otrzymamy to samo co po zastosowaniu wzoru Herona.

W poprzednim filmiku rozważaliśmy trójkąt o bokach długości

9, 11, i 16, a po zastosowaniu wzoru Herona otrzymaliśmy

18 pierwiastków kwadratowych z 7.

Zobaczmy co otrzymamy po zastosowanie tego wzoru.

Dostajemy pole równe połowie iloczynu 16

oraz pierwiastka z

a kwadrat czyli 81 minus c (16) kwadrat, co da 256

plus a kwadrat czyli 81 minus

b kwadrat (121).

Całe to wyrażenie do kwadratu.

A wszystko dzielimy przez 2 razy c (32).

Spróbujmy to trochę uprościć.

81 minus 121 da nam minus 40

Czyli 216 przez 32.

Czyli pole jest równe 16 na dwa to 8

Zmieńmy kolor.

Połowa 16 to 8, razy pierwiastek z

81 minus 121 co daje minus 40.

256 minus 40 to 216.

216 przez 32 do kwadratu.

Teraz jest sporo rachunków,

więc użyję kalkulatora.

Ja tylko staram się wam pokazać, że te dwie wartości

są sobie równe.

Kiedy włączymy kalkulator,

zaczniemy od policzenia ile to jest

18 pierwiastków z 7.

18 razy pierwiastek z 7 -- to jest co

otrzymaliśmy stosując wzór Herona.

Wynik to 47,62.

Sprawdźmy, czy to jest 47,62.

Otrzymaliśmy 8 pierwiastków z 81 minus 216

dzielone przez 32 do kwadratu, zamykamy pierwiastek.

Otrzymaliśmy dokładnie tą samą wartość.

Trochę się niepokoiłem -- nie przygotowałem wcześniej tych rachunków,

więc się obawiałem, że zrobię jakiś głupi błąd.

Ale się udało, to ta sama wartość.

Czyli nasz wzór dał nam to samo pole,

co wzór Herona.

W następnym filmie udowodnię wam,

że ten wzór może być algebraicznie sprowadzony

do wzoru Herona.