Del 1 af beviset af Herons formel

Del 1 af beviset af Herons formel

.

Vi har en trekant.

Det her er vores trekant.

Vi kender kun længderne på trekantens sider.

Den her side har en længde a, den her side har en længde b,

og den her side har en længde c.

Vi skal finde arealet af trekanten.

Det eneste vi ved er, at arealet af en trekant

er lig med en halv gange trekantens grundlinje

gange trekantens højde.

På den måde vi har tegnet trekanten,

er siden c grundlinjen, men vi kender ikke højden.

Højden er det h lige her,

men vi ved ikke, hvad h er.

Hvad er h?

Spørgsmålet er, hvordan vi finder

arealet af trekanten.

I den sidste video så vi,

hvordan vi bruger Herons formel.

I den her video vil vi bevise Herons formel.

Vi finder h ved at bruge

Pythagoras læresætning.

Når vi har fundet h, kan vi bruge formlen til

at udregne arealet af trekanten.

Den her kalder vi h.

Vi definerer endnu en variabel her.

.

Det her ser vi ofte i geometri.

Vi definerer x, som er skrevet med lilla,

og den blå farve er c minus x.

Hele længden er c.

Hvis den her del er x, er den her del c minus x.

Da vi har 2 rette vinkler,

og det ved vi, da det her er højden,

kan vi opstille 2 ligninger med Pythagoras læresætning.

Det første vi kan gøre med den venstre side er, at vi kan skrive

x i anden plus h i anden er lig med a i anden.

Det får vi her fra den venstre trekant.

Fra den højre trekant får vi

c minus x i anden plus h i anden er lig med b i anden.

Vi går ud fra, at vi kender a, b og c,

og derfor har vi 2 ligninger med 2 ubekendte.

De ubekendte er x og h.

Vi skal huske, at det er h, som vi gerne vil finde,

da vi allerede kender længden på c.

Hvis vi kender h, kan vi anvende formlen for en trekants areal.

Hvordan kan vi så gøre det?

Først substituerer vi h for at finde x.

Når vi siger det, så mener vi, at vi løser for h i anden.

Når vi løser for h i anden, trækker vi x i anden fra

på begge sider af ligningen.

Vi skriver,

at h i anden er lig a i anden minus x i anden.

Nu kan vi tage den her information og indsætte

den herovre.

Den nedereste ligning bliver derfor c minus x i anden

plus h i anden.

h i anden kender vi fra den venstre side af ligningen.

h i anden vil være lig med

a i anden minus x i anden er lig med b i anden.

Vi erstatter værdien af det,

vi har herinde.

Vi skriver udtrykket ud.

c minus x i anden. Det er c i anden minus

2cx plus x i anden.

Vi har plus a i anden

minus x i anden er lig med b i anden.

.

Nu har vi x i anden minus x i anden her,

så de udligner hinanden.

.

Vi lægger 2cx til på begge sider af ligningen.

Nu er vores ligning c i anden

plus a i anden.

Vi lægger 2cx til på begge sider.

Når vi lægger 2cx til her, får vi,

at 0 er lig med b i anden plus 2cx.

Det eneste vi har gjort her er at udligne x i anden

og lægge 2cx til på begge sider af ligningen.

Vores mål er at løse for x.

Når vi har løst for x, kan vi løse for h

og bruge formlen.

For at løse for x trækker vi b i anden fra

på begge sider.

Nu har vi c i anden plus a i anden minus b i anden

er lig med 2cx.

Hvis vi dividerer begge sider med 2c, får vi c i anden plus a i anden

minus b i anden over 2c er lig med x.

Her har vi lige løst for x.

Nu vil vi gerne løse for højden,

så vi kan tilføje en halv gange grundlinjen gange højden.

For at gøre det går vi tilbage til den her ligning

og løser den for højden.

.

Vi ved, at højden i anden er lig med

a i anden minus x i anden.

I stedet for, at vi bare skriver x i anden, substituerer vi.

Vi får minus x i anden.

c i anden plus a i anden minus b i anden

over 2c i anden.

Det er det samme som x i anden.

Derfor løser vi det i forhold til det.

h er lig med kvadratroden af alt det her,

.

altså a i anden minus c i anden plus a i anden minus b i anden.

Alt sammen i anden.

.

.

Kvadratroden af

a i anden minus alt der her i anden, altså c i anden

plus a i anden minus b i anden over 2c.

Det er højden på vores trekant.

Den trekant, som vi startede med heroppe.

Vi kigger lige på vores trekant igen,

så vi kan huske, hvad vi snakker om.

.

Vi indsætter den her.

Vi ved, at højden er den her

indviklede formel.

Højden i forhold til a, b og c er det, vi har her.

Hvis vi vil finde trekantens areal,

.

bruger vi formlen en halv gange grundlinjen,

som er hele længden c, gange vores højde,

som er det udtryk, vi har lige her.

Det indsætter vi her.

.

Vi ganger altså med højden.

Det her er nu udtrykket for arealet.

Når vi kigger på det, ligner det

umiddelbart ikke Herons formel.

Det ligner ikke Herons formel,

men i den næste video finder vi ud af,

at det her i bund og grund er Herons formel.

Det her er en version af Herons formel, som er sværere at huske.

Vi vil tilføje en masse algebra for i bund og grund

at forenkle det her til Herons formel.

Den her virker dog også.

Hvis vi kan huske den her,

er Herons meget lettere at huske.

Kan vi bare huske det her, og kender vi a, b og c,

kan vi anvende den her formel

til at finde trekantens areal.

Vi prøver at anvende den her for at vise,

at det i det mindste giver det samme tal som Herons formel.

I den forrige video havde vi sider med længderne 9, 11 og 16,

og ved at bruge Herons formel fik vi, at arealet er lig med 18

gange kvadratroden af 7.

Lad os se, hvad vi får, når vi bruger den her formel.

Vi får, at arealet er lig med en halv gange 16 gange kvadratroden

af noget i anden.

Vi har 81 minus c i anden, det vil sige 16 i anden, som er 256

plus a i anden, det vil sige 9 i anden, som er 81 minus b i anden,

det vil sige 11 i anden, som er 121.

Alt det her er i anden.

Alt er over 2 gange c, altså over 32.

Vi prøver at reducere det lidt.

81 minus 121, det er lig med minus 40.

Her får vi 216 over 32.

Arealet er derfor lig med en halv gange 8 er lig med 8.

.

En halv gange 18 er lig med 8 gange kvadratroden af 81 minus 256.

81 minus 121, det er lig med minus 40.

256 minus 40 er lig med 216.

216 over 32 i anden.

Det er en masse matematik, så her

anvender vi vores lommeregner.

Det vi ser er, at de her 2 tal

skal give os det samme tal.

Vi bruger lommeregneren.

Først finder vi lige ud af,

hvad 18 kvadratrod 7 er lig med.

18 gange kvadratroden af 7. Her skal vi bruge

Herons formel.

Vi får 47,62.

Vi tjekker om det her er 47,62.

Vi har 8 gange kvadratroden af 81 minus 216

divideret med 32 i anden.

Vi får det præcis samme tal.

Her kan vi se,

at vi får præcis det

samme tal som før.

Vores formel gav os den samme værdi

som Herons formel.

Det vi skal lære i den næste video er at bevise, hvordan vi

kan reducere det algebraisk til Herons formel.

.