Част 1 от Доказване на Хероновата формула

Част 1 от доказване на Хероновата формула

.

Да речем, че имам един триъгълник.

Ето го моят триъгълник.

И знам само дължините на страните на триъгълника.

Тази страна има дължина "а", тази страна има дължина "b", и

тази страна има дължина "c".

И ми е казано да намеря лицето на този триъгълник.

Досега всичко с което разполагам е идеята, че лицето,

лицето на триъгълник е равно на 1/2 по основата на

триъгълника, по височината на триъгълника.

Начина, по който съм начертал този триъгълник, основата на този

триъгълник, ще бъде страна "c", но не знаем височината.

Височината ще бъде това "h" точно там и ние

дори не знаем колко е това "h".

Така че, това ще бъде "h".

Въпросът е как да немерим лицето

на този триъгълник?

Ако сте гледали последното видео, знаете, че

използвате формулата на Херон.

Но идеята тук е да се опитаме да докажем Хероновата формула.

Така че, нека просто се опитаме да намерим "h" само с използването на

Питагоровата теорема.

И от там, след като знаем "h", можем да приложим тази формула и

да намерим лицето на този триъгълник.

Вече отбелязахме това като "h".

Нека да определя друга променлива тук.

Нека да определя...

Това е един трик, който ще виждате доста често в геометрията.

Нека да определя това като "x" и ако това е "x" в лилавото, а след това в

този синкаво-виолетов цвят, това ще бъде "c" минус "x", нали?

Тази цялата дължина е "c" - цялата основа е "c".

Така че, ако тази част е "x", тогава тази част е "c" минус "x".

Това което мога да направя сега, тъй като тези и двата са прави ъгли

и аз знам това, тъй като това е височината, мога да направя две

уравнения с Питагоровата теорема.

Първо, мога да направя това от лявата страна и мога да напиша, че

"x" на квадрат плюс "h" на квадрат е равно на "а" квадрат.

Това е, което получавам от този триъгълник от ляво.

След това от този триъгълник от дясната страна, получавам "c" минус "x"

на квадрат плюс "h" на квадрат е равно на "b" квадрат.

Приемам, че знам "а", "b" и "c", така че имам две уравнения

с две неизвестни.

Неизвестните са "x" и "h".

И не забравяйте, че "h" е това, което се опитваме да намерим,

тъй като вече знаем "c".

Ако знаем "h", можем да приложим формулата за лицето.

Как можем да направим това?

Добре, нека да заменим "h", за да намерим "x".

Когато казвам това, имам предвид да намерим "h" на квадрат тук.

Ако намерим "h" на квадрат тук, просто изваждаме "x"

на квадрат от двете страни.

Можем да напишем, че "x" на квадрат - съжалявам, можем да напишем, че

"h" на квадрат е равно на "а" квадрат минус "x" квадрат.

След това можем да вземем тази информация и да заместим

тук "h" на квадрат.

Така че, това долно уравнение се превръща в "с" минус "x"

на квадрат плюс "h" на квадрат.

Знаем "h" на квадрат от това уревнение от лявата страна.

"h" на квадрат ще бъде равно на - и така плюс, ще го направя

в този цвят - "а" на квадрат минус "x" на квадрат е равно на "b" на квадрат.

Просто заместих стойността на това тук,

стойността на това там.

Сега нека разширим този израз.

"с" минус "x" на квадрат, това е "c" на квадрат минус

"2cx" плюс "x" на квадрат.

Тогава имаме минус - извинете, имаме плюс "а"

на квадрат, минус "х" квадрат е равно на "b" квадрат,

е равно на "b" квадрат.

Имаме "х" на квадрат и "а" минус "x" на квадрат там,

така че, тези се анулират.

Тези се анулират

Нека добавим "2cx" към двете страни на това уравнение.

Сега нашето уравнение ще стане "c" квадрат

плюс "а" квадрат.

Добавям "2cx" към двете страни.

Добавяте "2cx" към това, получавате 0 е равно на

"b" квадрат плюс "2cx".

Всичко, което направих тук е, че анулирах "x" на квадрат и след това

добавих "2cx" към двете страни на това уравнение.

Моята цел тук е да намеря "x".

Веднъж след като намеря "x", мога да намеря "h" и

да приложа тази формула.

Сега, за да намеря "x", нека извадя "b" на квадрат

от двете страни.

Получаваме "c" квадрат плюс "а" квадрат, минус "b"

на квадрат е равно на "2cx".

След това, ако разделим двете страни на "2с", получаваме "c" квадрат плюс "а"

квадрат минус "b" квадрат върху "2c" е равно на "x".

Ние току-що намерихме "х" тук.

Сега, нашата цел е да намерим височината, така че да

можем да приложим 1/2 по основата, по височината.

За да направим това, връщамесе към това уравнение тук

и намираме нашата височина.

Нека превъртя мялко надолу.

Знаем, че нашата височина на квадрат е равна на "а"

квадрат минус "x" квадрат.

Вместо да пишем "x" квадрат, нека го заместим тук.

Това е минус "x" на квадрат - x е това нещо тук.

Така че, "с" на квадрат плюс "а" на квадрат, минус "b" на квадрат

върху "2c" на квадрат.

Това е същото нещо като "x" на квадрат.

Ние току-що намерихме това.

Така че,"h" ще бъде равно на корен квадратен от цялата тази

работа там - ще сменя цветовете - на "а"

квадрат минус "c" квадрат, плюс "а" квадрат, минус "b" квадрат

- всичкото това на квадрат.

Нека го направя малко по-спретнато от това, защото

не искам да -...

Корен квадратен - да се уверя, че имам достатъчно място - от "а"

квадрат минус всички тези неща на квадрат - имаме "c" квадрат

плюс "а" квадрат, минус "b" квадрат, всичкото това върху "2с".

Това е височината на нашия триъгълник.

Триъгълника, с който започнахме тук горе.

Нека копирам това, просто за да си спомним,

с какво си имаме работа.

Копирам го и след това нека го поставя тук долу.

Поставих го тук долу.

Знаем колко е височината - това е голяма

сложна формула.

Височината, от гледна точка на "а", "b" и "c" е това точно тук.

Така че, ако искаме да намерим лицето - лицето на нашия

триъгълник - нека го направя в розово.

Лицето на нашия триъгълник ще бъде 1/2 по нашата основа

- нашата основа е цялата тази дължина "c" - по "с", по нашата

височина, която е този израз тук.

Нека просто го копирам, вместо да....

Нека го копирам.

И така, по височината.

Така че, това сега е нашият израз за лицето.

Сега веднага ще кажете - Гледай ти, това не прилича много

на Хероновата формула и сте прави.

Това не прилича много на Хероновата формула, но това, което

ще ви покажа в следващото видео е, че това по същество

е Хероновата формула.

Това е по-трудна за запомняне версия на формулата на Херон.

Ще приложа много от алгебрата, за да опростя съществено

това към Хероновата формула.

Но това ще свърши работа.

Ако бихте могли да запомните това, мисля, че Хероновата е много

по-лесна за запомняне.

Но ако можете да запомните това и знаете "а", "b" и

"c", прилагате тази формула тук и ще получите

лицето на триъгълник.

Всъщност нека да приложа това, само за да покажа, че това

най-малкото дава същите числа, както Хероновите.

В последното видео имахме един триъгълник, който имаше страни 9, 11

и 16, и неговото лице, използвайки Хероновата формула, беше равно на 18

по корен квадратен от 7.

Да видим какво получаваме, когато приложим тази формула тук.

Получаваме, че лицето е равно на 1/2 по 16, по

корен квадратен от "а" на квадрат.

Това е 81 минус - нека видим, "c" на квадрат е 16, така че това е 256.

256 плюс "а" квадрат, което е 81, минус "b" квадрат,

така че минус 121.

Всичкото това е на квадрат.

Всичко това върху 2 по "c" - всичко това върху 32.

Да видим дали можем да опростим това малко.

81 минус 121, това е минус 40.

Така че, това става 216 върху 32.

Площта е равна на 1/2 по 8 е 8.

Нека да сменя цветовете.

1/2 по 16 е 8, по корен квадратен от 81 минус 256.

81 минус 121, това е минус 40.

256 минус 40 е 216.

216 върху 32 на квадрат.

Сега, това е много математика, за това нека да

взема калкулатор.

Просто наистина се опитвам да ви покажа, че тези две числа

трябва да ни дадат същото като нашето число.

Ако пуснем нашия калкулатор...

На първо място нека намерим, колко е 18

по корен квадратен от 7.

18 по корен квадратен от 7 - това е, което

получаваме, използвайки Хероновата формула.

Получаваме 47.62.

Да видим дали това е 47.62.

Имаме 8 по корен квадратен от 81 минус 216, разделено

на 32 на квадрат и след това затваряме нашия квадратен корен.

И получаваме точно същото число.

Бях се притеснил - всъщност не бях изчислил това

предварително, така че може да съм направил грешка от невнимание.

Но ето, че получавате точно същото число.

Така че, нашата формула сега ни даде точно същата стойност

както Хероновата формула.

Но това, което ще направя в следващото видео е да ви докажа, че

това всъщност може да се намали алгебрично до Хероновата формула.

.