共因数の練習問題

共因数の練習問題

このビデオでは(アメリカの)標準テストに出てくる問題をいくつかやってみます．

これは割り切れるかどうかについてのモジュールの理解を深めます．なぜなら問題はたいていこれに似たようなものものだからです．

全ての数，ところでこれは1つの例ですが，

全ての12 と 20 の両方で割り切れる数は，次の数でも割り切れます．

ここでのトリックはもし数が12と20の両方で割り切れるならば，

その数はこれらの数のそれぞれの素因数分解でも割り切れることに気がつくことです．

ではこれらの素因数分解を考えましょう．

12 の素因数分解は，12 は 2 かける 6 です．

6 はまだ素数ではありません．6 は 2 かける 3 です．

これは素数ですね．

ですから12で割り切れるどんな数も 2 かける 2 かける 3 で割り切れます．

ということはこの素因数分解は 12 で割りきれるために2 かける 2 かける 3 が

入っていなくてはいけません．

では，20 で割り切れるどんな数でも割り切れるには．．．

その素因数分解でも割り切れなくてはいけません．

2 かける 10 です．10 は 2 かける 5 です．

他の 20 で割り切れるどんな数も，2 かける 2 かける 5 で割り切れなくてはいけません．

または，素因数分解で，つまり 2 つの 2 と 5 で割り切れなくてはいけないと考えてもよいです．

もし数が両方の数で割り切れるためには，2 つの 2 と 3，そして 5 で割り切れる必要があります．

2 つの 2 と 3 で 12，そして 2 つの 2 と 5 で 20 です．

これが両方とも割り切れるかを自分で確かめることもできます．

明らかに，20 で割り切るということは，2 かける 2 かける 5 で割り切れると同じことです．

ここでは 2 つの 2 は消えてしまい， 5 もキャンセルされます．

3 だけが残ります．つまりこれは明らかに 20 で割り切れます．

12 で割り切れるには，2 かける 2 かける 3 で割り切れなくてはいけません．

これは 12 と同じことです．

これらは互いにキャンセルされて，5だけが残ります．

これは明らかに両方で割り切れます．そしてここにある数は 60 です．

これは 4 かける 3，それは 12，かけることの 5，それは 60 です．

ここにあるものは 12 と 20 の最小公倍数というものです．

12 と 20 の両方で割り切れる数はもっとあります．

ここにあるこの数にいろんな他の因数をかけることもできます．

それを a や b とか c などと呼ぶこともできます．

これはある意味 12 と 20 で割り切れる最小の数です．

この小さな数と同様，この数の倍数の大きな数も割り切れます．

では，これまで話したことから問題に答えましょう．

12 と 20の両方で割り切れる数は全て次の数で割り切れます．

実はこれらの数は何かはまだわかりません．

ですから本当には言うことができません．

これらは 1 だけかもしれませんし，そういうものはないかもしれません．

なぜならその数は 60 かもしれませんし，120 かもしれません．

この数は誰も知りません．ですから，私達が知っている数でこの数を割り切る数というのは，

そうですね，2 はいいはずです．2 は筋の通った答えです．

2 は明らかに 2 かける 2 かける 3 かける 5 を割り切ります．

2 かける 2 も割り切りますね．

2 かける 2 がここにあります．

3 も割り切ることがわかります．

2 かける 3，

それは 6 です．これは4で，こちらは6です．

2 かける 2 かける 3 も割り切ります．

ここにあるこれらの数のどんな組合せでも割り切ります．

3 かける 5 も割り切ります．

2 かける 3 かける 5 も割り切ります．

つまり，一般的に，これらの素因数分解をみていくことができます．

これらの素因数分解のどんな組合せも

12 と 20 の両方で割り切れるどんな数でも割り切ります．

もしれこれが選択問題だったら，

選択肢が 7, 9, 12, 8 だとしましょう．

するとあなたは，

7 はここにある素因数分解にはありません．

9 は 3 かける 3 なので，2 つの 3 がここには必要ですが，ないのでこれも上手くいきません．

7 は駄目，9 も駄目です．

12 は 4 かける 3 です．または，

12 は 2 かける 2 かける 3 です．

2 かける 2 かける 3 はこれらの 2 つの数の最小公倍数の

素因数分解にありますね．この2つの数の最小公倍数の素因数分解にあります．

これは 12 ですから 12 は上手くいきます．

8 は 2 かける 2 かける 2，素因数分解の中に 3 つの 2 が必要です．

2 は 3 つありません．ですからこれは駄目です．

もっと理解するために，他の例をやってみましょう．

次の問題は，そうですね同じような問題をやってみましょう．

9 と 24 で割り切れる全ての数はまた，次の数でも割り切れます．

ここでもまた素因数分解をします．

基本点には9 と 24 の最小公倍数を考えます．

基本点には9 と 24 の最小公倍数を考えます．

9 の素因数分解は

3 かける 3 です．

これで終わりですね．

24 の素因数分解は，24 は2 かける 12で，

12 は 2 かける 6，

6 は 2 かける 3．

9 で割り切れる数には 9 が因数に入っていなくてはいけません．

あるいはその素因数分解 3 かける 3 が入っていることです．

24 で割り切れる数には 3 つの 2 が入っていなくてはいけません．

つまり 2 かける2 かける2 がないといけません．

そして少なくとも 1 つの 3 も入っていないといけません．しかし 3 は 9 があるのでもうあります．

つまり，ここにあるこの数は 9 と 24 の両方の数で割り切れます．

ここにある数は実は 72 です．

これは 8 かける 9 でそれは 72 です．

この問題の選択肢は，

そうですね，これも選択問題だとしましょう．

ここでの選択肢は，16, 27, 5, 11, そして 9 としましょう．

16 はもし素因数分解をすると，

2 かける 2 かける 2 かける 2，これは 2 の 4 乗です．

ですからこれには 4 つの 2 が必要です．しかしここには 4 つ の 2 はありません．

ここに余分に何か数があるかもしれませんが，何があるかはわかっていません．

この部分だけが 9 と 24 の両方で割り切れる数の素因数分解で

確実にあると思ってよい部分です．

ですから 16 は外してかまいません．4 つ 2 がありませんから．

27 は 3 かける 3 かける 3 です．

ここには 3 つの 3 はありません．2 つしかありません．

ですからこれも違います．

5，5 は素数です．ここには 5 はありませんからこれも違いますね．

11，これもまた素数です．11 もありませんからこれも違います．

9 は 3 かける 3．

しかしこれは馬鹿げた答えですね．今気がつきました．

なぜなら 9 と 24 で割り切れる数は 9 で割れるからです．

なぜなら 9 と 24 で割り切れる数は 9 で割れるからです．

明らかに 9 は上手くいきますが，私はこういう選択肢を作るべきではなかったですね．

というのも，問題にある数だからです．

でも 9 は上手くいきます．そしてもし

8 が選択肢にあったらそれも答えです．なぜなら 8 は

2 かける 2 かける 2 です．そして 2 かける 2 かける 2 はここにあります．

4 も答えになります．それは 2 かける 2 です．

6 も答えですね．それは 2 かける 3 です．

18 も答えになるでしょう．それは 2 かける 3 かける 3 です．

どんな数でもここにある素因数の組合せなら

9 と 24 の両方で割り切れる数を割り切ります．

9 と 24 の両方で割り切れる数を割り切ります．

これであんまり混乱しないといいですね．