-
В това видео искам да реша някои примерни задачи,
-
каквито се дават в стандартните изпити,
-
и те определено ще ти помогнат
в нашия модул за делимост,
-
защото там се задават подобни въпроси.
-
"Всички числа" – и това е само един от примерите –
-
"всички числа, които се делят на 12 и 20,
се делят също и на...?"
-
Трикът тук е да съобразиш, че ако едно число
едновременно се дели на 12 и на 20,
-
то трябва да се дели и на всеки
от техните прости множители.
-
Така че нека ги представим чрез
простите им множители.
-
12 може да се представи като 2 по 6,
-
обаче 6 не е просто число, защото е 2 по 3.
-
Това вече са прости числа.
-
Значи всяко число, което се дели на 12,
трябва да се дели на 2 по 2 по 3.
-
Тоест, представено чрез прости множители,
трябва да съдържа 2 по 2 по 3.
-
Отнася се за всяко число, което се дели на 12.
-
Сега, всяко число, което се дели на 20,
трябва да се дели на...
-
Нека го представим чрез прости множители.
-
2 по 10, 10 е 2 по 5.
-
Така, всяко число, което се дели на 20,
трябва също да се дели на 2 по 2 по 5.
-
Или с други думи, то трябва да съдържа 2 по 2 по 5
-
в своето представяне чрез прости множители.
-
Сега, за да се дели едновременно и на двете,
-
трябва да имаме 2 по 2 по 3 и по 5.
-
2 по 2 по 3, за да се дели на 12,
а после 2 по 2 по 5 за 20.
-
И можеш да провериш за себе си
дали това се дели и на двете числа.
-
Очевидно да го разделим на 20
-
е същото като да го разделим на 2 по 2 по 5.
-
Двойките ще се съкратят, също и петиците,
-
и ще ни остане 3.
-
Ясно е, че се дели на 20.
-
А ако го делим на 12,
ще го делим на 2 по 2 по 3 –
-
това също е 12.
-
И така тези двете ще се съкратят и ще ни остане 5.
-
Ясно е, че се дели и на двете,
а това число тук е 60.
-
То е 4 по 3, което е 12, по 5.
Това дава 60.
-
Това тук е всъщност най-малкото
общо кратно на 12 и 20.
-
Това не е единственото число, което се дели едновременно и на 12, и на 20.
-
Можем да умножаваме това число тук по много
-
други множители, мога да ги нарека a, b и c.
-
Но това е най-малкото число,
което се дели и на 12, и на 20.
-
Всяко по-голямо число също ще се дели
-
на същите неща, като това най-малко число.
-
Сега, след като изяснихме това,
нека отговорим на въпроса.
-
Всички числа, които се делят на 12 и 20,
се делят също и на...?
-
Е, ние не знаем кои са тези числа,
-
така че не можем всъщност да ги кажем,
-
те може да са само единици, може и да не съществуват,
-
защото числото може да бъде 60, може да бъде 120.
-
Кой знае какво е това число...
-
Единствените числа, за които ние знаем,
че делят на това число...
-
Знаем, че 2 е правилен отговор.
-
2 очевидно дели 2 по 2 по 3 по 5.
-
Знаем, че 2 по 2 също го дели,
-
защото имаме 2 по 2 там.
-
Знаем, че и 3 го дели.
-
Знаем, че 2 по 3 го дели.
-
Значи това е 6.
-
Нека ги напиша – това е 4, това е 6.
-
Знаем, че 2 по 2 по 3 също го дели.
-
Мога да направя всяка комбинация от тези числа тук.
-
Знаем, че 3 по 5 го дели.
-
Знаем, че 2 по 3 по 5 го дели.
-
И въобще можеш да разгледаш
тези прости множители
-
и всяка комбинация от тези прости множители дели
-
всяко число, което се дели на 12 и 20.
-
Така че ако това беше въпрос
с няколко възможни отговора,
-
и възможностите бяха 7, 9, 12 и 8,
-
би трябвало да кажеш,
-
че 7 не е сред тези прости множители там.
-
9 е 3 по 3, така че трябва да имам 2 тройки тук,
-
но аз имам само една, следователно 9 не става.
-
7 не става, 9 не става.
-
12 е 4 по 3, или представено по друг начин,
-
12 е 2 по 2 по 3.
-
Имаме 2 по 2 по 3 в разлагането
на прости множители
-
на това най-малко общо кратно на тези 2 числа.
-
Така че това е 12. Следователно 12 става.
-
8 е 2 по 2 по 2, трябват ни 3 двойки
в разлагането на просто множители.
-
Ние нямаме 3 двойки, така че не става.
-
Да опитаме друг пример, просто за да сме сигурни,
-
че сме разбрали достатъчно добре това.
-
Нека да кажем какво искаме да знаем.
Ще задам същия въпрос.
-
"Всички числа, които се делят на 9 и 24,
се делят също и на...?"
-
И отново, само ги представяме
чрез прости множители.
-
Всъщност търсим най-малкото общо кратно
-
на 9 и 24.
-
Представяме 9 чрез прости множители,
-
то е 3 по 3
-
и сме готови.
-
Разлагането на 24 на прости множители
започва с 2 по 12...
-
12 е 2 по 6,
-
6 е 2 по 3.
-
И така, всяко число, което се дели на 9,
-
трябва да има 9 в своето разлагане на множители,
-
но за прости множители трябва да има 3 по 3.
-
Всяко число, което се дели на 24,
трябва да съдържа 3 двойки.
-
Тоест трябва да има 2 по 2 по 2
-
и то трябва да съдържа поне едно 3,
-
а ние вече имаме едно 3 от 9.
-
Щом имаме тези неща, то това число тук
се дели и на 9, и на 24.
-
Това число тук е всъщност 72.
-
Това е 8 по 9, което е 72.
-
Така, за възможните отговори на този въпрос –
-
да приемем, че е въпрос с избираеми отговори –
-
нека изборът тук е между 16, 27,
-
5, 11 и 9.
-
16, представено чрез прости множители, е
-
2 по 2 по 2 по 2
или 2 на 4-та степен.
-
Така че ще ни трябват 4 двойки тук,
но ние нямаме 4 двойки.
-
Може да имаме някакви други числа тук,
но ние не знаем кои са.
-
Единствените числа, които приемаме за достоверни, са участващите в разлагането на прости множители
-
на нещо, което се дели едновременно на 9 и 24.
-
Затова можем да отхвърлим 16,
защото нямаме 4 двойки тук.
-
27 е равно на 3 по 3 по 3.
-
Ние нямаме 3 тройки, а само 2.
-
Така че и това се отхвърля.
-
5. 5 е просто число,
няма 5 тук, така че не става.
-
11 също е просто число, няма 11 тук.
-
9 е равно на 3 по 3.
-
И аз току-що съобразих, че това е глупав отговор...
-
защото всички числа, едновременно
делими и на 9, и на 24
-
се делят на 9.
-
Така че очевидно 9 става.
-
Нямаше смисъл да го включвам в отговорите.
-
Но 9 става. Какво друго можехме да сложим?
-
8 беше един възможен избор, защото 8 е равно на
-
2 по 2 по 2, а ние имаме 2 по 2 по 2 тук.
-
4 също става. То е 2 по 2.
-
6 също може. Защото е 2 по 3.
-
18 също става. Защото е 2 по 3 по 3.
-
Тоест всичко, представено като комбинация
от тези прости множители,
-
ще дели нещо, което едновременно
-
се дели и на 9, и на 24.
-
Надявам се това да не те е объркало прекалено.