Образ на подмножество при линейно преобразувание на вектори

Разглеждане какво се случва с едно подмножество на множеството на първообразите при линейно преобразувание

Имаме три позиционни
вектора в R2.

Само ще се преместя малко надолу.

Нека първият ми позиционен
вектор да е х0 и да е равен

на [–2; –2].

Ако трябва да начертая х0,
това ще е точката (–2; –2).

х0 изглежда ето така.

Следващият ми позиционен вектор
е х1 и е равен

на [–2; 2].

Ще го начертая,
минус 2, 2.

Това тук е следващият
ми позиционен вектор.

Това е х1.

Като казвам, че това е
позицонен вектор, това означава

че определя конкретни
координати в R2.

Ще начертая третия
просто за удоволствие, х2.

Нека той да е [2; –2].

Ако го начертая, това е
2 и минус 2, ето така.

Значи този вектор ето тук е х2.

Любопитен съм, или
по-точно не съм любопитен,

а искам да дефинирам
отсечките, които

свързват тези точки.

Нека това е първата отсечка.

Ще я нарека L1, или
ще я нарека L0.

Това е отсечката, която

свързва х0 и х1.

Как мога да я построя?

Искам да построя тази отсечка,

ще използвам друг цвят.

Ще я направя в оранжево, L0.

Сега искам да намеря
множеството от

всички стойности, от
всички позиционни вектори,

които дефинират точки от
тази отсечка.

Можем да дефинираме това,
като започнем от х0.

Можем да кажем, че оранжевата права
е х0 плюс мащабирани версии

на разликата между х0 и х1.

Ако вземем х1 минус х0,
ще получим този вектор ето тук.

Това е вектор х1 минус х0.

Този оранжев вектор.

Написах го направо тук,
затова е трудно да се прочете.

Ако просто вземем х1 минус х0,
като е логично да вземем това и това.

х0 плюс оранжевият вектор
е равно на този син вектор.

Ако вземем различни
мащабирани версии на този вектор,

ще получим различни
точки в тази посока.

Започваме от х0, може би
да го направя със зелено.

Започваме от х0 и после
ще добавим мащабирани версии

на този оранжев вектор,
който просто е

разликата на вектор х1
и вектор х0.

Ще го запиша.

Значи мащабирани версии
на вектор х1 минус х0.

Сега трябва да заложим
ограничително условие.

Ако искаме да останем
в тази отсечка, тогава

трябва да ограничим Rt.

Ако кажем, че t принадлежи
на множеството на реалните числа,

ако е произволно реално число,
тогава трябва да дефинираме

множеството на тази вертикална
права, която отива нагоре и надолу

до безкрайност в посока
нагоре и в посока надолу.

Но ние искаме само да
заложим условие да започва тук

и после да отива тук нагоре.

Това не е задължително
да има някаква посока.

Можем да кажем, че това е вярно,
че нашата отсечка тук е вярна,

но за t... ще го запиша
по следния начин.

t е по-голямо от или
равно на 0.

Когато t е равно на 0, тези
членове се унищожават и получаваме

само тази точка или
тази позиция ето тук.

Ще го начертая в зелено.

Имаме само тази
позиция тук.

След това t ще бъде
по-малко от или равно на 1.

Какво ще стане, когато
t е равно на 1?

Когато t е равно на 1, това
става х1 минус х0.

Това тук е х0.

Това х0 и това х0 се унищожават
и остава само тази точка ето тук.

.

Когато t е равно на 1/2 –
само искам да се уверя,

че схващаш логиката –
какво ще стане тогава?

Имаме х1 минус х0, което
е този оранжев вектор ето тук.

Когато t е равно на 1/2,
реално мащабираш

този оранжев вектор наполовина,
и се получава тази точка тук,

точно каквото очакваме.

Искаме да стигнем
до средната точка на тази отсечка.

Ако t е равно на 0,25,
тогава ще отидем тук.

Ако t е 0,75, тогава
се озоваваме ето тук.

За всяка стойност на t, което е
произволно реално число между 0 и 1,

се оказваме в някоя точка
в рамките на тази отсечка.

Значи това е нашето L0.

Това е просто множество
от вектори.

Сега можем да направим същото,
ако искаме да намерим

правата, по-точно уравнението
на правата, която

минава между векторите
х1 и х2.

За да намерим уравнението
на тази права,

можем да наречем
това множество L1.

Ако L1 е равно на х1,
плюс t по (х2 – х1)

за 0 по-малко или равно на t,
t по-малко или равно на 1.

Това е L1.

И накрая, ако искаме
да построим триъгълник от това,

да дефинираме тази
права ето тук.

Нека тя да е L2.

L2 е равно на множеството
от всички вектори, които

започват с вектор х2.

Множеството на всички вектори,
които са вектор х2 плюс някакъв

мащабиран сбор на
вектор х0 минус вектор х2.

Вектор х0 минус вектор х2
е този вектор ето тук.

Значи вектор (х0 – х2), такъв,
че 0 е по-малко от или равно на t,

t е по-малко от или равно на 1.

Ако вземем комбинацията,
ако трябва да дефинираме

някакво супер множество S...
мога да дефинирам тази фигура като...

да кажем, че това е
съвкупността от всички тези вектори.

Само да го напиша.

L0, L1 и L2.

Тогава тук ще получим
един хубав триъгълник.

Ако вземем съвкупността от
всички тези три множества,

ще получим този хубав
триъгълник ето тук.

В това видео аз искам,
като всичко дотук

беше един вид преговор.

Или може би е различен начин
да погледнем на нещата

в сравнение с преди.
Но аз искам да разбера

какво се случва с това множество тук,
когато взема едно преобразувание,

едно негово линейно
преобразувание.

Ще дефинирам преобразувание.

Ще направя едно просто
преобразувание.

Ще дефинирам моето
преобразувание на всяко х

да е равно на матрицата
1, –1, 2, 0;

по някакъв вектор х.

Значи по [х1; х2].

Знаем, че всяко линейно преобразувание
може да се представи като матрица

и обратно.

Тук може да кажеш:
"Хей, знаеш ли, даваш

пример с матрицата, но какво става
с всички тези различни начини

за записване на твоето
преобразувание?

Може да представиш всички
тези като матрица.

Хайде да обясним – да опитаме
да разберем как ще изглежда това.

Как ще изглежда нашият триъгълник,
когато преобразуваме всяка точка от него.

Първо да направя
преобразуванието.

Преобразуванието на L0 е равно
на преобразуванието на това нещо.

Това е просто един
отделен член.

За определено t това е един

от конкретните членове на L0.

Значи това ще е равно на
преобразуванието на х0

минус преобразуванието на
(х1 – х0), такова, че – извинявам се.

Минус t по (х1 – х0).

Това е малка буква t, а не
преобразувание (главно Т).

Такова, че 0 е по-малко от или равно на t,
което е по-малко или равно на 1.

Ще сменя цветовете.

Така, въз основа на свойствата
на линейните преобразувания,

това е равно на
преобразуванието на...

ще сложа скоби – на х0 минус
преобразуванието на

нашия скалар t по (х1 – х0),
за всички t между 0 и 1.

Това става малко излишно
да го повтарям.

И на какво е равно това?

Ако взема преобразуванието
на мащабирания вектор,

това е просто мащабиран
образ на този вектор.

Значи това ще бъде равно
на тази част,

преобразуванието на х0 минус t,
нашият скаларен мащабиращ коефициент t,

по преобразуванието на
вектор х1 минус вектор х0.

Само да проверя дали
скобите са сложени правилно.

Такова, че 0 е по-малко от
или равно на t, което

е по-малко от или равно на 1.

И после преобразуванието на
този сбор на два вектора

е равно на сбора от
техните преобразувани образи.

Виждали сме вече това.

Значи преобразуванието на
нашата първа отсечка – тази ето тук,

L0, е равно на множеството,
където е преобразуванието

на х0 минус t по
преобразуванието на х1

минус преобразуванието на х0.

Досега се справихме
само с първата отсечка.

Тук има скоби.

За 0 е по-малко от или равно на t,
което е по-малко или равно на 1.

Това е много хубав резултат,

който много ще ни улесни живота.

Преобразуванието на отсечката,
която е от х0 до х1

се оказа просто тази
отсечка, която започва от

преобразуванието на х0 до
преобразуванието на х1.

Искам да поясня.

Какво представлява образът
на х0?

Нека да изчислим тези.

Значи вектор х0 беше [–2; –2].

Ще запиша преобразуванието на х0.

Значи преобразуванието на вектор х0
е равно на – ще го запиша,

за да не допускам грешки
от невнимание.

Матрицата 1, 2, –1, 0
по вектор [–2; –2].

На какво ще е равно това?

1 минус 2 минус...
това е 1 минус 2, плюс (–1 по –2).

Това е равно на 2.

Значи –2, плюс 2, това е 0.

После имаме 2 по –2,
това е –4.

2 по –4.

После 0 по...
това е –4.

Значи това е преобразуванието
на вектор х0.

Ще го начертая.

Това е [0; –4].

Това е вектор х0.

Това е преобразуванието
на вектор х0.

Преобразуванието свърза
този вектор

с този вектор тук долу,
този, който отива право надолу.

Сега да определим преобразуванията
на другите вектори.

Преобразуванието на вектор х1.

Ще го направя ето тук.

Свършва ми мястото.

Преобразуванието на х1 е равно на
произведението на матрицата 1, 2, –1, 0

по вектор [–2; 2].

На какво е равно това?

Това е равно на 1 по –2,
плюс –1 по 2.

Това е –4.

После 2 по –2 е –4.

Плюс 0.

Значи –4 минус 4.

х1 е [–4; –4].

Вектор х1 изглежда ето така.

Преобразуванието на х1 е
този вектор ето тук в R2.

Преобразуванието ни
е от R2 в R2.

Ето защо мога да начертая
и двата вектора в тази

правоъгълна координатна
система.

И ни остана едно преобразувание.

Да видим преобразуванието
на вектор х2.

Преобразуванието на
вектор х2 е равно на нашата

преобразуваща матрица
1, 2, –1, 0, по вектор [2; –2].

Това ще бъде равно на
1 по 2, което е 2.

Плюс –1 по –2,
което е 2,

плюс 2 става 4.

После имаме 2 по 2, равно на 4.

Плюс 0 по –2.

Това става 4, 4.

Значи х2 е [4; 4].

Това е тази точка ето тук.

Точка (4; 4) е ето тук.

Преобразуванието на
вектор х2 е този вектор ето тук.

Така можем да намерим
преобразуванието

на всяка точка от
триъгълника.

Но кой може да каже какво
прави преобразуванието

за всяка междинна точка,
за всички тези точки –

всъщност това са
страните на триъгълника.

Можем да направим малко
пресмятания и ние

намерихме преобразуванието
на първата страна.

Току-що определихме L0 ето тук,
и установихме, че просто като използваме

свойствата на линейното
преобразувание, определението

за линейно преобразувание
по-точно, можахме да намерим

преобразуванието на отсечката L0
от тази вертикална отсечка ето тук,

която става права,
от която можем да започнем

преобразуванието на х0.

Точката, определена от
този вектор ето тук.

Това събирам с мащабираната
версия на

преобразуванието на х1 минус
преобразуванието на х0.

Какво е това – преобразуванието
на х1 минус преобразуванието на х0?

Преобразуванието на х1
е просто този вектор ето тук.

Преобразуванието на х0
е просто ето този вектор.

Така че целият този член тук
е просто този вектор минус

тези вектори, или е
този вектор ето тук.

Това е просто ето този вектор.

И така всъщност дефинирахме
по същия начин,

по който го направихме
в началото на видеото,

че това е същото нещо като
отсечката, която свързва

точката, дефинирана тук и
точката, дефинирана там.

Взехме разликата на двете
и имаме мащабирани версии

на това между t е равно
на 0 и на 1.

Преобразуванието на L0
всъщност стана преобразуванието –

това е просто отсечката между

преобразуванията на
двете крайни точки, което

е много хубав резултат.

То прави живота ни лесен.

Можем да използваме съвсем
същата логика, за да намерим

какво ще бъде
преобразуванието на L1.

L1 е между точките х1 и х2.

Между тази точка и тази точка.

Това беше L1.

Като използваме същата логика,
можем да направим

същите пресмятания отново.

Но това се отнася за
всяка отсечка.

Тук го направих абстрактно.

Преобразуванието на L1
ще бъде отсечка, която

свързва образите
на тези две крайни точки.

Това ще бъде отсечка,
която свързва

образът на точка х1 при преобразуванието
и образът на точка х2.

Ще направя това ето тук,
това е образът на L1 при преобразуванието.

Това тук е образът на
отсечката L0 при преобразуванието.

И накрая, кой е образът при
преобразуванието на отсечката L2?

L2 свързва точките
х2 и х0.

Ето това тук е L2.

За нейното преобразувание
ще използваме същите пресмятания,

които направихме, и то е
просто отсечката, която свързва

проеобразуваните версии
на тези две точки.

Значи преобразуванието на L2
ще бъде равно на отсечката,

която свързва образа
на точка х2

и образа на точка х0.

Това ще бъде тази
отсечка ето тук.

Значи това е преобразуванието
на L2, или ако дефинираме

цялата фигура, или
целия триъгълник като множество

от всички тези, като
преобразуванието на това.

Значи преобразуванието на
цялата фигура

сега е този изкривен
триъгълник.

Мисля, че сега добиваш
представа защо това може

да е полезно в компютърната
графика и създаването на игри.

Защото, когато гледаш нещата
от различни ъгли,

започваш да ги изкривяваш
и всичко останало.

Но чрез това преобразувание
ние сме способни

да променим това множество
от вектори или от позиции –

тази фигура, която сме
определили като множество

от тези вектори ето тук.

Можем да променим
тази фигура в R2, определена

от различни множества
от вектори.

Големият извод от това
видео е, че не е нужно

да определяш всичко поотделно,
да търсиш къде се транслира

тази точка ето тук
до друга точка ето тук.

Достатъчно е да определиш
кои са крайните ти точки.

После определяш преобразуванията
и тогава

свързваш точките в
същата последователност.

Това е важният извод
от това видео.

Тази идея за преобразуването
на едно множество в друго множество

се описва със специални
термини.

Например да вземем
преобразуванието на L0.

L0 е множество от вектори,
които са определени

от тази отсечка ето тук.

Образът на L0, което е
ето това множество, е

множество от вектори –
извинявам се.

L0 е това множество.

То беше множество от вектори
в множеството от образи, което

се определя от тези точки.

Това се нарича образ на
L0 при Т.

И това е логично.

Защо го наричаме образ?

Защото Т взима това нещо тук,
това L0, и после

един вид го изкривява или
създава нов образ на него

в множеството на образите.

Взима подмножество от множеството
на първообразите и създава

ново негово изображение в
множеството на образите ето тук.

Можем да кажем, че Т
преобразува цялата фигура S,

аз дефинирах тук
цяла геометрична фигура,

целият този триъгълник
ето тук.

Това е първообразът и той
се превърна в този

виолетов триъгълник ето тук.

Това е образът на S при Т.

Надявам се, че това
ти беше интересно.

Това всъщност е много
полезен извод, ако някога

решиш да станеш 3D-програмист.

В следващото видео ще
разгледаме какво се случва, когато

S не е просто подмножество на
нашето множество на първообразите.

Всичко, с което сме работили
досега – L0, L1 и L2,

или целият ни триъгълник,
тези отсечки бяха подмножества в Rn.

В следващото видео ще
разгледаме какво се случва, когато

имаме преобразувание на
цялото пространство Rn.