Obvod a obsah

Obsah obdélníka a trojúhelníka. Obvod obdélníka.

Mám tady čtverec.

Čtvercem je, protože má všechny strany stejně dlouhé.

Ještě jsme si toho o úhlech moc neříkali,

ale tyhle úhly jsou všechny pravé.

Pravý úhel se značí takto.

Znamená to, že spodní strana jde přímo doleva a

doprava, tahle levá strana jde přímo nahoru a dolů.

To je vše co znamená, když řekneme: "pravý úhel".

Řekněme, že tato spodní strana je rovna osmi metrům.

Tahle tady dole.

Ta je součástí čtverce.

Chci se zeptat. Jaký má náš čtverec obsah?

Obsah určuje, kolik místa čtverec zabere

třeba teď na vaší obrazovce.

Takže je to způsob měření místa,

které "něco" zabírá na nějakém dvojrozměrném povrchu.

Dvojdimenzionální povrch může být tato počítačová obrazovka

nebo list papíru, když na něm budete řešit tento problém.

Přiblížit to můžeme následovně: Mám pokoj 8 krát 8 metrů.

To, kolik bych potřeboval koberce, je přesně rovno

dvojrozměrnému prostoru, který potřebuji

zaplnit na podlaze tohoto pokoje.

Obsah je tedy doslova prostor,

který potřebuji zaplnit. A výpočet obsahu čtverce,

je vlastně docela jednoduchý.

Je to doslova základna krát výška.

To platí pro každý obdelník...ale protože teď máme čtverec,

tak se základna a výška rovnají.

Každá strana měří 8 metrů.

Hledaný obsah bude 8 metrů krát 8 metrů,

to je 8 krát 8 = 64. Stejně jako mezi sebou násobíme čísla,

násobíme mezi sebou i jednotky.

Máme proto 64 metrů na druhou.

Nebo můžeme říct, že máme 64 metrů čtverečních.

Možná se ptáte, kde je těch 64 čtverečních metrů?

Teď si chvíli odpočiňte.

Abych měl čas udělat další obrázek,

tentokrát trochu větší než ten první.

Nejspíš jsem ho měl takto velký nakreslit už na začátku.

Řekněme, že to je ten samý čtverec.

Budeme v něm kreslit menší, tak ho rozdělíme

v polovině.

Vzniklé poloviny rozpůlíme znovu.

A ještě jednou rozpůlíme.

Možná se mi to nevede úplně nejhezčeji...

To samé uděláme ještě jednou.

Tyhle rozpůlíme přesně takhle, a tady tyhle

přesně takhle.

A máme hotovo.

OK.

Toto celé jsem udělal proto, abych vám ukázal

rozměry základny a výšky.

Řekli jsme, že tady máme mít 8 metrů a všimněte si: máme 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8 metrů.

A podél této strany to samé.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 metrů.

Když jsme mluvili o 64 metrech čtverečních, doslova

jsme sečetli všechny metrové čtverce.

Metr čtvereční je dvojrozměrná jednotka,

na každé straně měří přesně 1 metr.

Tady je 1 metr, i tady je 1 metr.

Co tady vybarvuji žlutě, je 1 metr čtvereční.

Obsah si tedy můžete představit jako prosté sčítání čtverečních metrů.

V každé řadě máme 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8 metrů čtverečních.

Takových řad máme celkem 8.

Vychází nám tedy 8 krát 8 metrů čtverečních

nebo 64 metrů na druhou.

Což je stejný výsledek, jako kdyby jste tu prostě seděli a sčítali

každý zvlášť. Také byste se dostali k 64 metrům čtverečních.

Teď. Co kdybych se vás zeptal na

obvod našeho čtverce?

Obvod je vzdálenost, kterou bych musel ujít, kdybych se

vydal na procházku kolem čtverce.

Neměří, například, kolik

je potřeba koberce.

Měří, kolik bychom potřeboval koupit pletiva

kolem koberce...teď trochu pletu dohromady věci zevnitř

a zvenku...měří kolik pletiva

bychom potřebovali.

Je to vzdálenost kolem dokola.

Tahle vzdálenost plus tahle vzdálenost plus

tahle vzdálenost plus tahle vzdálenost.

Tuhle vzdálenost dole už známe.

Víme, že je rovna 8 metrům.

Také víme, že výška je 8 metrů.

Je to čtverec.

Takže vzdálenost tady nahoře, bude stejná, jako

vzdálenost tady dole...oboje jsou 8 metrů.

A když půjdeme směrem dolů a doleva,

máme dalších 8 metrů.

Máme čtyři strany...1, 2, 3, 4 ... každá má 8 metrů.

Když k sobě přičteme 8 4krát, to je to samé jako

8 krát 4, dostáváme 32 metrů.

Teď si všimněte. Když měříme pouze množství pletiva,

vyšly nám pouze metry. Metr jako

jednorozměrná veličina.

Stalo se to proto, že neměříme metry čtvereční.

Neměříme kolik potřebujeme místa.

Měříme vzdálenost...vzdálenost kolem čtverce.

U rohů musíme zatáčet, ale představte si to

jako jeden veliký plot, jako tenhle.

A ten je také pořád stejně dlouhý. 32 metrů.

Proto nám u obvodu vycházejí pouze metry.

Ale u obsahu metry čtvereční, protože tam sčítáme

tyto dvojrozměrné dílky.

Teď trochu přidáme na obtížnosti.

Co se stane, když budeme mít

místo čtverce obdelník?

Řekněme, že tahle strana má 7 centimetrů.

A tahle výška má 4 centimetry.

Kolik je tedy obsah tohoto obdélníka?

Bude to 7 krát 4 centimetry.

7 centimetrů krát 4 centimetry.

Podobně jako u čtverce. Tady můžeme nakreslit 7 sloupců a každá z nich

má 4 centimetry čtvereční...každý z těhle

je jeden centimetr čtvereční.

Když bych je všechny počítal, měl bych 7 krát

4 čtvereční centimetry.

7 krát 4.

Z toho vychází 28 centimetrů na druhou nebo centimetrů čtverečních.

A co obvod?

Ten bude roven délce tady dole, což je

7 centimetrů, plus tato délka, což jsou 4 centimetry,

plus délka nahoře...máme obdelník,

takže délka nahoře bude stejná,

jako ta dole.

Takže plus 7 centimetrů.

Ještě musíme zjistit tuto délku vlevo.

Délka tady vlevo je stejná,

jako tahle délka...má 4 centimetry.

Takže plus další 4 centimetry.

Co tedy máme?

Máme 7 plus 4, což je 11 a pak máme

dalších 7 plus 4.

Celkem 11 plus 11, máme tedy 22 centimetrů.

Ještě jednou, nejsou to čtvereční centimetry.

Teď něco trochu jiného...opustme naše obdélníky

a příklady s nimi.

A pojďme si zkusit, jestli odkážeme stejné věci s trojúhelníky.

Nakreslím sem trojúhelník.

Máme trojúhelník jako tento.

Řekněme, že tato délka...

vlastně to raději nakreslím trochu jinak.

Takhle bude trochu snažší pochopit,

jak se to týká obdélníku.

Nakreslím to takhle.

Pojďme na to.

Tohle je můj trojúhelník.

A řekněme, že tato délka

je 7 centimetrů. Ta tady dole.

A k tomu, že výška tohoto trojúhelníku

jsou 4 centimetry.

Jaký obsah má trojúhelník?

Když jsme měli obdélník, prostě jsme

vynásobili 7 krát 4.

Co nám potom vyšlo?

Vyšel nám obsah celého obdélníku.

Když jsme vynásobili 7 krát 4, vyšel nám obsah

tohoto celého obdélníku.

Představme si, že můj trojúhelník takto doplním.

Je to pravoúhlý trojúhelník...tahle strana míří přesně nahoru

a dolů, tahle přesně doleva a doprava.

Tady dole vyznačíme úhel.

Ten úhel má 90 stupňů,

pokud již víte co stupně znamenají.

Takže na něj můžeme nahlížet jako na polovinu obdélníka.

Ne jako na polovinu. Na polovinu, protože jí je.

Protože, když si vezmeme ještě jeden stejný trojúhelník

a jenom ho překlopíme, vyplníme tak druhou polovinu obdélníka.

Dvěma stejnými, ale otočenými a převrácenými trojúhelníky.

Takže, když vynásobíme 7 krát 4, dostaneme

obsah tohoto celého obdélníka, což jsme už

udělali tady nahoře.

Ale tentokrát hledáme obsah trojúhelníka.

Chceme znát pouze tento obsah.

A z tohoto náčrtku je krásně vidět, že

tento trojúhelník zaujímá přesně jednu polovinu obsahu

celého obdélníka.

Obsah trojúhelníka spočteme vynásobením základny

s výškou...ale my už víme, že základna krát výška

je vzorec pro obsah obdélníka.

Takže pro získání obsahu trojúhelníka, musíme

ještě vše vynásobit 1/2.

Vzorec je: 1/2 krát výška krát základna.

V našem příkladě je to 1/2 krát 7 centimetrů

krát 4 centimetry.

My už víme, kolik je 7 krát 4.

Je to 28 centimetrů na druhou ...to už jsme dělali

tady nahoře.

Tady máme 28 centimetrů čtverečních.

Máme 28 centimetrů a ty ještě musíme vynásobit jednou polovinou.

Z čehož plyne výsledek 14 centimetrů na druhou, nebo 14 čtverečních centimetrů.

Obsah trojúhelníka, je přesně polovina

obsahu obdélníka.

Obvod trojúhelníka je trochu

komplikovanější, protože hledání této délky

není zrovna nejjednodušší věc.

Jednou to snadno zvládnete, až se naučíte o

Pythagorově větě.

Ale to teď přeskočíme.

O Pythagorově větě natočím samostatné video.

Teď si spočteme ještě jeden obsah trojúhelníka.

Řekněme, že mám takový trojúhelník.

Tady jsme měli poměrně speciální případ, kde trojúhelník

vypadá jako polovina obdélníka.

Tentokrát máme trojúhelník, který vypadá asi takto.

Je celý zkosený.

Řekněme, že délka tady dole jsou 3 metry.

...máme tady 3 metry.

Nevíme však, jakou vzdálenost máme tady

ani jakou máme tady.

Ale známe vzdálenost směrem od vršku

sem dolů...kdyby ten trojúhelník byl budova nebo hora

a my z jeho vršku něco upustili

tak by to letělo přesně tudy. A tato vzdálenost

je rovna...řekněme 4 metrům.

Jaký obsah má tento trojúhelník?

Použijeme stejný vzorec.

Obsah je roven jedné polovině základny krát výška.

Což je rovno 1/2...základna je přesně tohle místo

tady dole.

Takže 1/2 krát 3 krát výška trojúhelníku.

Výšku trojúhelníka si můžeme představit

i v normálních okolnostech.

Výška samozřejmě není jenom tady v geometrii

ale i všude jinde na světě.

Když si představíte trojúhelník jako budovu a řeknete jak je vysoká,

bude to vyjadřovat přesně tohle číslo.

Takže 1/2 krát 3 krát 4.

Použijeme přesně tuto délku.

3 krát 4 je 12; 12 krát 1/2 je 6.

A znovu tu máme výsledek ve čtverečních metrech.

Zapamatujte si, jaké údaje jsou potřeba. Kdybych vám třeba dal

takovýhle trojúhelník. Tady dole by měl 3 metry.

A k tomu vám řekl, že tahle strana má

4 metry, tak to není případ, kde

můžete použít uvedený vzorec.

K vypočtení obsahu, by bylo třeba vědět něco

o úhlech nebo bychom museli znát

i tu poslední stranu.

Každopádně to není tak snadné.

Vy musíte vždy znát

výšku trojúhelníka.

Musíte znát tuto délku.

V tomto případě to byla navíc jedna ze stran, ale tady

tomu už tak není.

Abyste mohli použít náš vzorec,

museli byste znát tuhle žlutou vzdálenost.