-
In deze video wil ik praten over
-
wat een priemgetal is
-
En hopelijk zul je in deze video
-
dit best simpele concept zien,
-
maar terwijl je vooruitgang boekt in je wiskundige kennis,
-
zul je zien dat er eigenlijk ook wat moeilijkere concepten
-
kunnen toegevoegd worden die bouwen op het idee van een priemgetal.
-
Daaronder valt het idee van cryptografie
-
en misschien gebruikt jouw computer ook een
-
systeem van encryptie dat gebaseerd is op priemgetallen.
-
Als je niet weet wat encryptie betekent,
-
hoef je je daar geen zorgen nu over te maken,
-
je moet gewoon onthouden dat priemgetallen
-
best belangrijk zijn. Dus ik zal je de definitie geven
-
en deze definitie kan best wat verwarrend zijn,
-
maar we zullen voorbeelden zien en dan zou het duidelijk moeten worden.
-
Een getal is een priemgetal als het een natuurlijk getal is,
-
bijvoorbeeld 1, 2 of 3 (dus het opsommen van getallen vanaf 1)
-
of je zou ook kunnen zeggen: 'de positieve gehele getallen'
-
Het is een natuurlijk getal dat deelbaar is door exact twee natuurlijke getallen: één en zichzelf.
-
Dat zijn de twee getallen waardoor het deelbaar is.
-
Als dit nog niet veel duidelijk maakt, zal ik enkele voorbeelden geven.
-
Laten we van enkele getallen bepalen of ze een priemgetal zijn of niet.
-
Laten we starten met de kleinste natuurlijke getallen.
-
Het getal 1. Dus je kunt zeggen dat 1 deelbaar is door 1
-
en 1 ook deelbaar is door zichzelf. 1 is een priemgetal!
-
Maar denk terug aan een deel van de definitie, dat een priemgetal deelbaar moet zijn
-
door EXACT twee natuurlijke getallen. 1 is enkel door één natuurlijk getal deelbaar, namelijk 1!
-
Dus hoewel het tegen de intuïtie in kan druisen, is 1 geen priemgetal.
-
Laten we eens kijken naar het getal 2.
-
2 is deelbaar door 1 en door 2, maar niet door een ander natuurlijk getal.
-
Het getal 2 lijkt dus aan onze beperkingen te voldoen.
-
Het is deelbaar door exact twee natuurlijke getallen, namelijk
-
zichzelf en 1. Het getal 2 is inderdaad een priemgetal.
-
Ik zal de getallen die een priemgetal zijn omcirkelen.
-
Het getal twee is interessant, want
-
het is het enige even getal dat een priemgetal is.
-
Als je er over nadenkt, zal elk ander even getal
-
immers ook deelbaar zijn door 2 en dus geen priemgetal meer zijn.
-
We zullen daarover nog verder nadenken in latere video's.
-
Laten we het getal 3 beschouwen. 3 is duidelijk deelbaar door 1 en door zichzelf,
-
en het is niet deelbaar door een getal daarintussen.
-
Het is niet deelbaar door 2, dus het is ook een priemgetal.
-
Laten we 4 proberen.
-
4 is deelbaar door 1 en door 4, maar
-
het is ook deelbaar door 2. Het is dus deelbaar
-
door drie natuurlijke getallen: 1, 2 en 4.
-
Het getal 4 voldoet dus niet aan onze vereisten om een priemgetal te zijn.
-
Laten we het getal 5 proberen.
-
5 is deelbaar door 1,
-
het is niet deelbaar door 2, 3 of 4.
-
Je zou 5 natuurlijk wel kunnen delen door 4, maar je zou een restwaarde overhouden.
-
En het is exact deelbaar door 5, natuurlijk.
-
Dus nogmaals, 5 is deelbaar door exact twee natuurlijke getallen: 1 en 5.
-
5 is dus ook een priemgetal. Laten we verder gaan,
-
zodat we kunnen nagaan of er een soort patroon bestaat
-
en dan kan ik misschien een zeer moeilijk getal proberen.
-
Laten we nummer 6 bekijken.
-
Het is deelbaar door 1, 2, 3 en 6.
-
Het heeft dus vier natuurlijke factoren,
-
ik denk dat je het zo zou kunnen stellen.
-
Het heeft dus niet exact vier getallen waardoor het deelbaar is,
-
het heeft er vier en is daardoor geen priemgetal.
-
Laten we nu eens kijken naar het getal 7.
-
7 is deelbaar door 1, maar niet door 2, 3, 4, 5 of 6,
-
maar het is ook deelbaar door 7.
-
Dus 7 is een priemgetal. Ik denk dat je nu het algemene idee wel snapt.
-
Hoeveel natuurlijke getallen, dus getallen zoals 1, 2, 3, 4, 5,
-
dat zijn de getallen die je leert wanneer je 2 jaar oud bent,
-
exclusief nul, exclusief negatieve getallen,
-
exclusief breuken en irrationale getallen,
-
en decimale getallen enz.
-
enkel de normale positieve 'tel'-getallen.
-
Als je er slechts twee van hebt,
-
dus slechts deelbaar bent door jezelf en door 1,
-
dan ben je een priemgetal.
-
En hoe ik er over denk,
-
als we het speciale geval 1 buiten beschouwing laten,
-
dan zijn priemgetallen een soort van bouwstenen van getallen.
-
Je kunt ze niet meer breken.
-
Ze zijn bijna zoals de atomen.
-
Als je nadenkt over wat de atoom is,
-
of over wat mensen dachten dat atomen waren...
-
Ze dachten dat atomen die dingen waren
-
die je niet meer verder kon opdelen.
-
We weten nu dat we atomen nog verder kunnen opdelen en eigenlijk
-
kun je een nucleaire explosie doen ontstaan als je ze verder opdeelt.
-
Maar dezelfde gedachtengang schuilt achter priemgetallen.
-
Je kunt ze niet verder opdelen
-
in producten van kleinere natuurlijke getallen.
-
Van getallen als 6 kun je zeggen, hé, dat is 2 maal 3,
-
je kunt het dus nog opsplitsen en merk op, we kunnen het opsplitsen
-
als een product van priemgetallen.
-
We hebben het dus infeite opgesplitst in zijn delen.
-
7 kan je niet meer opsplitsen.
-
Je kunt enkel zeggen dat 7 gelijk is aan 1 maal 7.
-
En in dat geval heb je het niet echt ver opgesplitst.
-
Je hebt simpelweg de 7 terug.
-
6 kun je wel nog opbreken.
-
Ook 4 kun je opdelen: 2 maal 2.
-
Dat terzijde, laten we eens gaan denken over enkele
-
grotere getallen en nadenken of
-
deze getallen priemgetallen zijn.
-
Laten we 16 proberen.
-
Het is duidelijk dat elk natuurlijk getal deelbaar is door 1 en zichzelf.
-
Dus 16 is deelbaar door 1 en 16.
-
Je start dus met twee,
-
dus als je nog een ander getal kunt vinden dat
-
een deler is, dan is het geen priemgetal.
-
En voor 16 kun je zeggen dat het 2 maal 8 is,
-
of 4 maal 4,
-
dus het heeft veel factoren hier,
-
gelegen tussen 1 en 16.
-
16 is dus geen priemgetal. En 17?
-
1 en 17 zijn delers van 17,
-
2 niet, 3 ook niet, 4, 5, 6, 7, 8 ...
-
Geen enkel getal tussen 1 en 17
-
is een deler van 17, dus 17 is een priemgetal.
-
En nu zal ik een moeilijk voorbeeld geven.
-
Deze doet veel mensen in de val lopen.
-
Denk eventjes na over 51.
-
Als je geïnteresseerd bent, kun je hier de video eventjes pauzeren
-
en voor jezelf proberen na te denken
-
of 51 een priemgetal is.
-
Zoek of je een getal kunt vinden tussen 1 en 51
-
dat een deler is van 51. Het lijkt er op...
-
Dit is een vreemd getal.
-
Je zou haast gaan denken dat het een priemgetal is,
-
maar nu zal ik je het antwoord geven.
-
Het is geen priemgetal, want het is ook deelbaar door 3 en 17.
-
3 maal 17 is 51.
-
Ik hoop dat dit je een goed beeld geeft
-
over wat priemgetallen precies zijn
-
en hopelijk kunnen we jou wat oefening daarop geven
-
in toekomstige video's en misschien in sommige van onze oefeningen.
