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Dans cette vidéo, je vais vous parler un peu
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des nombres premiers.
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Avec cette vidéo, vous allez vous rendre compte
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que c'est un concept vraiment simple.
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Mais lors de votre parcours en mathématiques,
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vous verrez qu'il y a des concepts assez sophistiqués
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qui sont construits autour de l'idée des nombres premiers,
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la cryptographie par exemple.
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Une partie de l'encodage de votre ordinateur
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utilise peut-être sur les nombres premiers.
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Si vous ne savez pas ce qu'est un encodage,
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ne vous en faites pas,
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vous devez seulement retenir que les nombres premiers
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sont assez importants.
Je vais vous donner la définition,
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qui va peut-être un peu vous embrouiller,
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mais lorsque nous verrons les exemples, tout va s'éclairer.
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Un nombre premier est un entier naturel -
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par exemple, 1 ; 2 ou 3 ;
(les chiffres que l'on compte à partir de 1),
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et que l'on appelle aussi "les entiers positifs" -
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un nombre naturel uniquement divisible
par deux nombres naturels: lui-même et 1.
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Il n'est divisible que par ces deux nombres.
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Si ça ne vous semble pas clair,
prenons quelques exemples.
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Déterminons si des nombres sont premiers ou pas.
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Commençons donc avec l'entier naturel le plus petit.
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Le chiffre 1.
Vous vous dites que 1 est divisible par 1,
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et qu'il est divisible par lui-même,
donc que c'est un nombre premier.
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Mais, souvenez-vous, d'après la définition,
un nombre premier doit être divisible
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par exactement deux entiers naturels.
1 est divisible par un seul entier naturel : 1.
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Donc, malgré les apparences,
1 n'est pas un nombre premier.
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Continuons avec 2.
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2 est divisible par 1 et par 2, et par aucun autre entier naturel.
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Il a l'air de remplir nos conditions.
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Il est divisible par exactement deux entiers naturels.
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Lui-même et 1. Donc le nombre 2 est premier.
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Je vais entourer les nombres qui sont premiers.
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Le chiffre 2 est intéressant parce que
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c'est le seul nombre pair qui est premier.
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Si vous y réfléchissez, tous les autres nombres pairs
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sont aussi divisibles par 2, et ne sont donc pas premiers.
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Nous y reviendrons dans d'autres vidéos.
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Essayons avec 3. 3 est certainement divisible par 1 et par 3
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et il n'est pas divisible par un autre chiffre entre ces deux-là :
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il n'est pas divisible par 2.
Donc, 3 est un nombre premier.
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Essayons 4.
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4 est tout à fait divisible par 1 et par 4
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mais il est aussi divisible par 2.
Donc, 4 est divisible
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par trois entiers naturels : 1 ; 2 et 4.
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Donc il ne remplit pas les conditions pour être premier.
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Essayons 5.
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5 est divisible par 1.
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Il n'est pas divisible par 2 ; 3 ou 4 -
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on peut diviser 5 par 4, mais on obtient un reste.
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Et il est divisible par 5, évidemment.
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Donc, 5 est divisible par exactement deux entiers naturels :
1 et 5.
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Donc, 5 est un nombre premier.
Continuons,
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pour voir si nous pouvons trouver un modèle
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et ensuite, j'essaierai avec un nombre difficile,
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sur lequel on se trompe souvent.
Continuons donc avec 6.
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Il est divisible par 1 ; 2 ; 3 et 6.
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Donc, il a quatre nombres naturels "facteurs",
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je pense qu'on peut le dire de cette façon.
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Il n'est pas uniquement divisible par deux nombres,
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mais par quatre, donc il n'est pas premier.
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Passons à 7.
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7 est divisible par 1 ; mais pas par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6.
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Il est par contre divisible par 7.
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Donc, 7 est un nombre premier.
Je pense que vous avez saisi l'idée générale.
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On considère les entiers naturels,
des chiffres comme 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;
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ceux qu'on apprend à deux ans,
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sans compter le 0, sans compter les nombres négatifs,
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sans compter les fractions, ni les nombres irrationnels,
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les nombres décimaux et tous les autres,
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uniquement les entiers positifs que l'on compte.
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Si un nombre n'est divisible que par deux d'entre eux,
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s'il n'est divisible que par lui-même et par 1,
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c'est un nombre entier.
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D'une autre manière,
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si on oublie le cas particulier qu'est le 1,
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les nombres premiers sont
les blocs de construction des nombres :
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on ne peut pas les casser en blocs plus petits.
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Presque comme des atomes.
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Si vous réfléchissez à ce qu'est un atome,
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ou à ce que les gens pensaient
lorsqu'ils ont inventé le concept d'atomes...
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ils pensaient que les atomes étaient ces choses
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indivisibles.
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Nous savons maintenant que nous pouvons
casser les atomes,
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ce qui peut donner une explosion nucléaire.
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Mais c'est la même idée derrière les nombres premiers :
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on ne peut pas les décomposer
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en produits de nombres naturels plus petits.
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Pour 6, on sait que 6 = 3 x 2,
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on peut le décomposer,
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en produit de deux nombre premiers.
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En quelque sorte, nous l'avons mis en pièces.
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7 ne peut plus être décomposé.
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Tout ce qu'on peut dire c'est que 7 = 1 x 7.
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Et, dans ce cas, on ne l'a pas vraiment décomposé.
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Le 7 est toujours là.
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On peut décomposer 6.
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4 se décompose en 2 x 2.
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Maintenant que nous avons vu cela,
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passons à des nombres plus grands,
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et voyons si ce sont des nombres premiers.
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Essayons avec 16.
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De toute évidence, tous les entiers naturels
sont divisibles par 1 et par eux-mêmes.
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Donc, 16 est divisible par 1 et 16.
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On va voir s'il est divisible par 2.
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Si on trouve un autre nombre pour le décomposer,
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c'est qu'il n'est pas premier.
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16 = 2 x 8.
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16 = 4 x 4.
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Il a beaucoup de facteurs,
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en plus de 1 et 16.
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Donc,16 n'est pas un nombre premier.
Et 17 ?
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1 et 17 peuvent diviser 17,
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mais pas 2, ni 3, ni 4... ni 11, ni rien jusqu'à 16.
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Aucun de ces nombres. Rien, entre 1 et 17.
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Pas d'autre facteurs, donc 17 est un nombre premier.
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Et maintenant, un cas difficile.
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Presque tout le monde se trompe.
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Qu'en est-il de 51 ? Est-ce que 51 est nombre premier ?
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Si vous voulez,
vous pouvez mettre la vidéo en pause,
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et essayer de découvrir par vous-même
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si 51 est un nombre premier.
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Si vous trouvez un nombre autre que 1 et 51
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par lequel 51 est divisible.
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Ce nombre est bizarre.
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On dirait que c'est un nombre premier,
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mais je vais vous donner la solution :
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il n'est pas premier car il est également divisible par 3 et 17.
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3 x 17 = 51.
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J'espère que cette vidéo vous a éclairé
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sur ce que sont les nombres premiers.
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Nous allons vous proposer de vous entraîner
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dans d'autres vidéos et dans nos exercices.