-
Σε αυτό το βίντεο θέλω να μιλήσω λίγο για
-
το τι σημαίνει να είναι κάποιος πρώτος αριθμός
-
και αυτό που ελπίζω να δείτε σε αυτό το βίντεο
-
είναι αυτό τη σχετικά στρωτή ιδέα
-
αλλά καθώς θα προχωράτε στην μαθηματική σας καριέρα
-
θα δείτε ότι υπάρχουν στην πραγματικότητα αρκετά προχωρημένες ιδέες
-
που μπορούν να χτιστούν πάνω στην ιδέα του πρώτου αριθμού
-
και αυτό περιλαμβάνει την κρυπτογραφία
-
και ίσως κάποια από την κρυπτογράφηση που ο υπολογιστής σας
-
χρησιμοποιεί αυτή τη στιγμή είναι βασισμένη σε πρώτους αριθμούς.
-
Αν δεν ξέρετε τι σημαίνει κρυπτογράφηση
-
δε χρειάζεται να ανησυχείτε για αυτό τώρα
-
απλά πρέπει να ξέρετε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι
-
αρκετά σημαντικοί. Οπότε θα σας δώσω τον ορισμό
-
και ο ορισμός μπορεί να είναι λίγο μπερδευτικός
-
αλλά όταν τον δούμε με παραδείγματα θα πρέπει να είναι σχετικά απλός.
-
Ένας αριθμός είναι πρώτος αν είναι φυσικός αριθμός
-
όπως για παράδειγμα 1, 2, ή 3 (οι αριθμοί που μετράνε ξεκινούν από το 1)
-
ή θα μπορούσατε να πείτε "οι θετικοί ακέραιοι"
-
αν είναι ένας φυσικός αριθμός που να διαιρείται από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς: τον εαυτό του και το 1.
-
Αυτοί είναι οι δύο αριθμοί από τους οποίους μπορεί να διαιρείται.
-
Αν αυτό δε σας βγάζει νόημα ας δούμε μερικά παραδείγματα.
-
Ας βρούμε αν κάποιοι αριθμοί είναι πρώτοι ή όχι.
-
Ας ξεκινήσουμε με τους μικρότερους φυσικούς αριθμούς.
-
Τον αριθμό 1. Έτσι θα μπορούσατε να πείτε ότι "το 1 διαιρείται από το 1"
-
και ότι "το1 διαιρείται από τον εαυτό του", επ, το 1 είναι πρώτος αριθμός.
-
Αλλά θυμηθείτε, το μέρος του ορισμού μας, πρέπει να διαιρείται
-
από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς. Το 1 διαιρείται μόνο από έναν φυσικό αριθμό, μόνο από το 1.
-
Έτσι το 1, ακόμα και αν φαίνεται κάπως περίεργο, δεν είναι πρώτος αριθμός.
-
Ας προχωρήσουμε στο 2.
-
Το 2 διαιρείται από το 1 και από το 2, και από κανέναν άλλο φυσικό αριθμό.
-
Έτσι μοιάζει να τηρεί τις προϋποθέσεις μας.
-
Διαιρείται από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς.
-
Τον εαυτό του και το 1. Οπότε ο αριθμός 2 είναι πρώτος.
-
Θα κυκλώνω τους αριθμούς που είναι πρώτοι.
-
Ο αριθμός 2 είναι ενδιαφέρων γιατί
-
είναι ο μόνος ζυγός αριθμός που είναι πρώτος.
-
Αν το σκεφτείτε, ο οποιοσδήποτε άλλος ζυγός αριρθμός
-
θα διαιρείται επίσης από το 2, οπότε δε θα είναι πρώτος.
-
Θα το δούμε και σε παρακάτω βίντεο αυτό.
-
Ας δοκιμάσουμε το 3. Ε, το 3 διαιρείται σίγουρα από το 1 και από το 3
-
και δε διαιρείται από κάτι άλλο στο μεταξύ.
-
Δε διαιρείται από το 2. Άρα το 3 είναι επίσης ένας πρώτος αριθμός.
-
Ας δούμε το 4.
-
Το 4 σίγουρα διαιρείται από το 1 και από το 4, αλλά
-
διαιρείται επίσης από το 2. Έτσι διαιρείται
-
από τρεις φυσικούς αριθμούς: το 1, το 2 και το 4.
-
Έτσι δεν τηρεί τις προϋποθέσεις μας για τους πρώτους αριθμούς.
-
Ας δούμε το 5.
-
Το 5 σίγουρα διαιρείται από το 1,
-
δε διαιρείται από το 1, το 3 ή το 4
-
(θα μπορούσατε να κάνετε 5 δια 4, αλλά θα σας έμενε υπόλοιπο).
-
Και διαιρείται ακριβώς από το 5, προφανώς.
-
Έτσι, ξανά, το 5 διαιρείται από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς: το 1 και το 5.
-
Έτσι, το 5 είναι πρώτος. Ας συνεχίσουμε,
-
οπότε να δούμε αν υπάρχει και κάποιο μοτίβο εδώ
-
και μετά ίσως να δοκιμάσουμε ένα πραγματικά δύσκολο
-
που τείνει να μπερδεύει τους περισσότερους. Ας δούμε τον αριθμό 6.
-
Διαιρείται από το 1, το 2, το 3 και το 6.
-
Έτσι έχει 4 φυσικούς αριθμούς σαν "παράγοντες",
-
θα μπορούσατε να το πείτε έτσι υποθέτω.
-
Άρα δεν διαιρείται από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς,
-
αλλά από 4, άρα δεν είναι πρώτος.
-
Ας πάμε στο 7.
-
Το 7 διαιρείται απο το 1, όχι από το 2, το 3, το 4, το 5 ή το 6,
-
όμως διαιρείται επίσης από το 7,
-
άρα το 7 είναι πρώτος. Νομίζω ότι πιάνετε τη γενική ιδέα εδώ.
-
Πόσοι φυσικοί αριθμοί, αριθμοί όπως τα 1,2,3,4,5,
-
οι αριθμοί που μαθαίνετε όταν είστε δύο χρονών
-
που δεν περιλαμβάνουν το μηδέν ή τους αρνητικούς αριθμούς,
-
που δεν περιλαμβάνουν κλάσματα και άρρητους αριθμούς,
-
και δεκαδικούς και όλα τα υπόλοιπα,
-
απλά κανονική θετικοί αριθμοί.
-
Αν έχετε μόνο δύο από αυτούς,
-
αν διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και από το 1,
-
τότε είναι πρώτος αριθμός.
-
Και ο τρόπος που το σκέφτομαι εγώ,
-
αν δε σκεφτούμε την ειδική περίπτωση του 1,
-
οι πρώτοι αριθμοί είναι κατά κάποιο τρόπο τα δομικά υλικά αριθμών.
-
Δε μπορείς να τους σπάσεις σε μικρότερα κομμάτια.
-
Είναι σχεδόν σαν τα άτομα.
-
Αν σκεφτείτε τι είναι το άτομο,
-
ή τι νομίζαν οι άνθρωποι ότι είναι τα άτομα αρχικά...
-
νόμιζαν ότι ήταν κάτι πράγματα
-
που δε μπορούσες να διαιρέσεις περισσότερο.
-
Ξέρουμε τώρα ότι μπορούμε να διαιρέσουμε άτομα και βασικά
-
αν το κάνεις μπορεί να δημιουργήσεις πυρηνική έκρηξη.
-
Αλλά είναι η ίδια ιδέα πίσω από τους πρώτους αριθμούς.
-
Δε μπορείς να τους σπάσεις άλλο
-
σε παράγωγα μικρότερων φυσικών αριθμών.
-
Αριθμούς όπως το 6, μπορείτε να πείτε, έι, το 6 είναι 2 επί 3,
-
μπορείτε να το σπάσετε, και προσέξτε, μπορούμε να το σπάσουμε
-
σαν ένα παράγωγο πρώτων αριθμών.
-
Κάπως το χωρίσαμε στα κομμάτια του.
-
Το 7 δε μπορείτε να το χωρίσειτε περισσότερο.
-
Το μόνο που μπορείτε να πείτε είναι ότι το 7 ισούται με το 1 επί 7.
-
Και σε αυτή την περίπτωση δεν το χωρίσατε ιδιαίτερα.
-
Απλά έχετε το 7 εδώ ξανά.
-
Το 6 μπορείτε βασικά να το χωρίσετε.
-
Το 4 μπορείτε να το χωρίσετε σε 2 επί 2.
-
Τώρα αφού έφυγε αυτό από τη μέση ας σκεφτούμε
-
μερικούς μεγαλύτερους αριθμούς, και να σκεφτούμε
-
αν αυτοί οι μεγαλύτεροι αριθμοί είναι πρώτοι.
-
Ας δοκιμάσουμε το16.
-
Έτσι ξεκάθαρα κάθε φυσικός αριθμός διαιρείται από το 1 και από τον εαυτό του.
-
Έτσι το 16 διαιρείται από το1 και από το 16.
-
Έτσι θα ξεκινήσετε με δύο,
-
έτσι ώστε αν βρείτε κάτι άλλο που να πηγαίνει σε αυτό
-
τότε ξέρετε ότι δεν είναι πρώτος ο αριθμός.
-
Και για το 16 θα μπορούσατε να έχετε 2 επί 8,
-
μπορείτε να έχετε 4 επί 4,
-
έχει πολλούς παράγοντες εδώ,
-
πέρα από απλά το 1 και το 16.
-
Έτσι το 16 δεν είναι πρώτος. Το 17;
-
Το 1 και το 17 σίγουρα πάνε στο 17,
-
το 2 δεν πάει στο 17, το 3 δεν πάει, 4, 5, 6, 7, 8, ...
-
κανείς από αυτούς τους αριθμούς, κανείς ενδιάμεσα του 1 και του 17
-
δεν πάει στο 17, οπότε το 7 είναι πρώτος.
-
Και τώρα θα σας δώσω ένα δύσκολο.
-
Αυτό μπερδεύει πολλούς ανθρώπους.
-
Το 51; Είναι το 51 πρώτος;
-
Και αν ενδιαφέρεστε μπορείτε να παγώσετε το βίντεο εδώ
-
και να προσπαθήσετε να το βρείτε μόνοι σας
-
αν το 51 είναι πρώτος αριθμός.
-
Αν βρείτε ο,τιδήποτε πέρα του 1 ή του 51
-
που να διαιρεί το 51. Φαίνεται σαν....
-
ουάου, είναι κάπως περίεργος αριθμός.
-
Μπορεί να μπείτε στον πειρασμό να σκεφτείτε ότι είναι πρώτος,
-
αλλά τώρα θα σας δείξω την απάντηση.
-
Δεν είναι πρώτος, γιατί επίσης διαίρείται από το 3 και από το 17.
-
3 x 17 = 51.
-
Ελπίζω να σας δίνει μία καλή ιδέα
-
για το τι είναι πάνω κάτω οι πρώτοι αριθμοί,
-
και ελπίζω ότι θα μπορέσουμε να το εξασκήσουμε και άλλο
-
σε μελλοντικά βίντεο και ίσως σε κάποιες από τις ασκήσεις μας.