Pythagorean Theorem II

More Pythagorean Theorem examples. Introduction to 45-45-90 triangles.

Я обещал, что мы рассмотрим ещё

несколько задач на теорему Пифагора.

Сейчас я рассмотрю несколько задач,

чтобы попрактиковаться.

Ещё раз, сейчас мы будем только практиковаться.

Допустим, что у нас есть такой треугольник.

Такой вот страшненький треугольник.

Ой, слишком уж он не удался,

давайте нарисую другой.

Это сторона в треугольнике равна 7.

Эта сторона равна 6.

И я хочу вычислить эту сторону.

В прошлом уроке мы разобрали,

как определять гипотенузу.

Вот прямой угол.

Сторона, противолежащая ему – гипотенуза.

Теперь мы знаем, что мы будем искать гипотенузу.

Итак, мы знаем, что 6²+7² равно

длине гипотенузы в квадрате.

В теореме Пифагора мы использовали символ «С» для гипотенузы,

давайте использовать его и в этом примере.

С – это гипотенуза.

36+49=С².

Здесь будет: 85=С².

Или же: С=√85.

И в основном здесь самая большая трудность в том,

чтобы упростить этот квадратный корень.

Вопрос вот в чем: могу ли я представить 85

как произведение квадрата какого-то числа на другое число?

85 не кратно 4.

Т.е. оно не будет также кратно 16

или другим числам, кратным 4.

Так, а сколько пятерок поместится в 85?

Нет… тут тоже не получается квадрата.

Я не думаю, что число 85 можно представить

как произведение квадрата числа на какое-то другое число.

Но вы можете меня поправить, я могу и ошибаться.

Но как мне кажется, мы уже получили ответ.

Ответ в данном случае – это √85.

Но если мы все же хотим найти

приближенное значение этого корня,

тогда давайте подумаем:

√81 – это 9,

а √100 – это 10.

Значит, наше число будет лежать

где-то в промежутке между 9 и 10, но все же ближе к 9.

И это хорошая проверка.

Одна сторона – 7, другая – 6, а третья – 9 с чем-то.

Такая длина гипотенузы вполне возможна.

Давайте рассмотрим другую задачу.

Допустим, что длина этой стороны – 10.

Эта сторона – 3.

Чему равна эта сторона?

Сначала давайте определим, где у нас гипотенуза.

Прямой угол у нас здесь,

противолежащая сторона – гипотенуза.

И это также самая длинная сторона

прямоугольного треугольника.

Она равна 10.

10² равно сумме квадратов катетов.

Эту сторону назовем А.

Равно 3²+А².

Здесь у нас 100=9+А².

Или же А²=100–9.

А²=91. Или же А=√91.

Мне кажется, что больше

квадратный корень упростить мы уже не сможем.

3 здесь не подставляется.

Интересно, может быть 91 - простое число?

Нет, не уверен в этом.

Как мне кажется, эту задачку мы тоже решили.

Давайте рассмотрим следующую.

Но на этот раз я добавлю ещё один дополнительный шаг -

правда он может вас сбить с толку -

но, как мне кажется,

эти задачки уже слишком просты для вас.

Допустим, у нас есть треугольник.

Я ещё разок повторюсь:

мы рассматриваем только прямоугольные треугольники.

Никогда не используйте теорему Пифагора,

если вы не уверены,

что рассматриваемый треугольник – прямоугольный.

В этом примере мы видим,

что это прямоугольный треугольник.

И эта сторона равна 5.

Допустим, что этот угол равен 45°.

Можем ли мы вычислить 2 остальные стороны треугольника?

Мы не можем напрямую использовать теорему Пифагора,

поскольку в теореме говорится:

если есть прямоугольный треугольник

и нам известны две его стороны,

тогда мы можем вычислить третью.

Здесь у нас есть прямоугольный треугольник,

но мы знаем только одну сторону.

Т.е. сразу так просто мы не можем вычислить

две остальных стороны.

Но, может быть, вот здесь у нас есть

необходимая дополнительная информация?

45°, может быть, благодаря этим данным

мы сможем вычислить другую сторону?

И тогда мы сможем использовать теорему Пифагора.

Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.

Надеюсь, что вы знаете,

что сумма углов равна 180°.

Если нет – это моя вина,

возможно, я этого вам ещё не рассказывал.

Давайте посмотрим на примере этого треугольника.

Мы знаем, что сумма углов равна 180°,

а используя имеющуюся информацию,

мы можем посчитать и этот угол.

Мы знаем, что один равен 90°, второй - 45°.

Итак, 45+90 - тот угол мы назвали х - равно 180°.

И это всё потому,

что сумма углов треугольника всегда равна 180°.

Мы хотим найти х, у нас получается: 135+х=180.

Вычитаем 135 из обеих частей равенства.

Получаем х=45°.

Интересно, да? х тоже равен 45°.

Итак, имеем угол 90° и два угла по 45°.

Теперь я расскажу вам ещё одну теорему,

которая не названа именем её изобретателя.

Я вообще не уверен,

что у этой теоремы есть название.

Но состоит она в том, что если у меня есть треугольник…

Я нарисую новый треугольник вот здесь,

в нём оба угла у основания одинаковы.

Пусть эти два угла одинаковы, обозначим их «а».

Они оба «а».

Тогда стороны, которые не являются для них общими -

для этих углов вот эта сторона общая, так?

Так вот, стороны, которые не являются для них общими,

равны между собой.

Я не помню,

как мы это называем в уроках по геометрии.

Возможно, я рассмотрю это в последующих уроках.

Главное – что теорема работает,

а как она называется – это уже не так уж и важно.

Если бы я поменял один из этих углов,

то длина стороны тоже бы поменялась.

Или если рассмотреть по-другому…

ладно, не хочу вас запутывать:

если вы видите, что эти 2 стороны одинаковы,

тогда знайте – эти углы тоже будут одинаковыми.

Если вы поменяете длину одной из сторон,

то и углы изменятся, они уже не будут равны.

Подумайте над этим.

Пока запомните, что если два угла в треугольнике равны,

то стороны, которые не являются для них общими, тоже равны.

Уточняю: не сторона, которая для них общая

(она может быть равна чему угодно),

а как раз не общие для них стороны будут одинаковыми.

Здесь у нас есть пример. Мы имеем 2 одинаковых угла.

Оба они 45°.

Это значит, что стороны,

которые для них не являются общими, будут равны.

Для двух углов эта сторона – общая.

Значит, другие стороны будут равными.

Эта сторона и эта сторона, они равны.

И мне кажется, что вы сейчас говорите: «Ага! Мы поняли»

Эта сторона равна этой стороне,

а я говорил в условии задачи, что она равна 5,

значит эта сторона тоже равна 5.

И вот теперь мы сможем применить теорему Пифагора.

Мы знаем, что это гипотенуза, так?

Можем сказать, что 5²+5²=С², где С – гипотенуза.

5²+5²=50.

50=С², значит С=√50.

А 50 – это 2 раза по 25, т.е. получаем 5√2.

Интересно.

Мне кажется,

что я дал вам достаточное количество информации.

Если вы что-то не поняли, возможно, вам следует

еще раз просмотреть это видео.

Но в следующем видео я дам вам

больше информации о таких треугольниках.

Такой вид треугольников

встречается в задачах достаточно часто.

В геометрии, тригонометрии вы будете встречать их

в разделе «Треугольники с углами 45, 45 и 90°».

В них всегда углы равны 45, 45 и 90°.

И я покажу вам примеры,

как быстро решать задачи с такими треугольниками.

Покажу, как найти длину всех сторон,

даже если вы знаете пока что длину только одной из них.

Я надеюсь, что вы не запутались.

Встретимся в следующем видео.

До скорого!