Teorema di Pitagora II

Altri esempi sul Teorema di Pitagora. Introduzione ai triangoli 45-45-90.

Ti avevo promesso che ti avrei dato un altro po' di problemi sul

teorema di Pitagora, quindi adesso ti daro' qualche altro problema

sul teorema di Pitagora.

E di nuovo, è tutta una questione di pratica.

Diciamo che ho un triangolo --- questo è un bruttissimo triangolo

rettangolo, fammene disegnare un altro --- e ti dicessi

che questo lato è 7, questo lato è 6 e voglio

sapere questo lato.

Bene, lo abbiamo imparato nell'ultima presentazione: quale di questi lati

è l'ipotenusa?

Beh, l'angolo retto sta qui, quindi il lato opposto all'angolo retto

è l'ipotenusa.

Quindi quello che vogliamo fare in realtà è capire

quanto vale l'ipotenusa.

Allora noi sappiamo che 6 al quadrato più 7 al quadrato è uguale

all'ipotenusa al quadrato.

E nel teorema di Pitagora si usa C per rappresentare

l'ipotenusa, quindi anche noi useremo C.

E 36+49 è uguale a C al quadrato.

85 è uguale a C al quadrato.

Cioè C è uguale alla radice quadrata di 85.

E questa è la parte con cui la maggior parte delle persone ha problemi,

cioè semplificare il radicale.

Dunque, la radice quadrata di 85: posso fattorizzare 85 come

prodotto di un quadrato perfetto e di un altro numero?

85 non è divisibile per 4.

Quindi non sarà divisibile per 16 o per qualsiasi altro multiplo di 4.

Quante volte sta il 5 in 85?

No, neanche questo è un quadrato perfetto.

Non penso che 85 possa essere fattorizzato come

prodotto di un quadrato perfetto e di un altro numero.

E tu potresti correggermi; potrei sbagliarmi.

Questo potrebbe essere un buon esercizio per te da fare dopo, ma

per quanto ne so abbiamo ottenuto la nostra risposta.

La risposta qui è la radice quadrata di 85.

E se vogliamo darne una stima, proviamo

a pensarci: la radice quadrata di 81 è 9, e la radice

di 100 è 10, quindi è qualcosa tra 9 e 10,

e probabilmente è un po' più vicino a 9.

Quindi è 9 virgola qualcosa.

E questo è un buon modo di controllare se ha senso.

Se questo lato è 6, questo lato è 7,

allora 9 virgola qualcosa ha senso per questa lunghezza.

Fammi dare un altro problema.

[disegno]

Diciamo che questo è 10.

Questo è 3.

Quanto vale questo lato?

Prima cosa, identifichiamo la nostra ipotenusa.

Abbiamo il nostro angolo retto qui, quindi il lato opposto

all'angolo retto è l'ipotenusa ed è anche il lato più lungo.

Allora è 10.

Quindi 10 al quadrato è uguale alla somma dei quadrati

degli altri due lati.

Questo è uguale a 3 al quadrato -- chiamiamolo A

Prendiamolo arbitrariamente.

-- più A al quadrato.

Bene, questo è 100, è uguale a 9 più A al quadrato, cioè

A al quadrato è uguale a 100 meno 9.

A al quadrato è uguale a 91.

Allora A è uguale alla radice quadrata di 91.

Anche questa volta non penso che si possa semplificare ulteriormente.

Non è divisibile per 3.

Mi chiedo, 91 è un numero primo?

Non ne sono sicuro.

Per quanto ne so, abbiamo finito con questo problema.

Fammi dare un altro problema. E in realtà questa volta

aggiungerò un altro passaggio solo per confonderti

perché penso che tu lo stia imparando in un modo un po' troppo semplice.

Diciamo che ho un triangolo.

E, ancora una volta, stiamo trattando di triangoli rettangoli ora.

E non devi mai provare a usare il teorema di

Pitagora a meno che tu non sappia per certo che ci sia un triangolo rettangolo.

Ma in questo esempio, sappiamo che questo è un triangolo rettangolo.

Se io ti dicessi che la lunghezza di questo lato è 5, e se

ti dicessi che questo angolo è di 45 gradi, possiamo

conoscere gli altri due lati di questo triangolo?

Bene, non possiamo usare direttamente il teorema di Pitagora

perché il teorema di Pitagora ci dice che se abbiamo un triangolo

rettangolo e conosciamo due lati allora possiamo conoscere

il terzo lato.

Qui abbiamo un triangolo rettangolo e

conosciamo solo uno dei lati.

Quindi non possiamo ancora ricavare gli altri due.

Ma forse possiamo usare questa informazione extra, questi

45 gradi, per ricavare un altro lato, e poi saremo in grado

di usare il teorema di Pitagora.

Bene, sappiamo che sommando gli angoli

in un triangolo si hanno 180 gradi.

Bene, spero che tu sappia che gli angoli in un triangolo

sommati fanno 180 gradi.

Se non lo sai è colpa mia perché non te l'ho

ancora insegnato.

Quindi cerchiamo di capire la somma degli

angoli di questo triangolo.

Bene, voglio dire, sappiamo che la loro somma è 180, ma usando questa

informazione, possiamo capire quanto vale questo angolo.

Perché noi sappiamo che questo angolo è 90, questo è 45.

Allora diciamo 45 -- chiamiamo questo angolo x; sto provando a renderlo

complicato -- 45 più 90 -- questo è per simboleggiare

un angolo di 90 gradi -- più x è uguale a 180 gradi.

E questo perché gli angoli in un triangolo

sommati fanno sempre 180 gradi.

Allora, se noi risolviamo semplicemente per x, abbiamo 135 più x uguale 180.

Sottraiamo 135 da entrambe le parti.

Otteniamo che x è uguale a 45 gradi.

Interessante.

Anche x vale 45 gradi.

Allora abbiamo un angolo di 90 gradi e due di 45 gradi.

Ora ti darò un altro teorema che

non prende il nome dal capo di una religione oppure

dal fondatore di una religione.

In realtà non penso che questo teorema abbia un nome.

Il fatto è che se io ho un altro triangolo

-- disegno un altro triangolo qui -- dove i due

angoli alla base sono uguali -- e quando dico angoli alla base,

intendo se questi due angoli sono uguali, chiamiamoli a.

Sono entrambi a -- allora i lati che loro non condividono ---

questi angoli condividono questo lato, giusto?

-- ma se guardiamo ai lati che loro non condividono, sappiamo

che questi lati sono uguali.

Ho dimenticato come chiamiamo questo nel corso di geometria.

Forse lo cercherò per un'altra presentazione;

Ti farò sapere.

Ma ci sono arrivato senza sapere

quale sia il nome del teorema.

E ha senso; non hai neanche bisogno che io te lo spieghi.

Se io cambiassi uno di questi angoli,

cambierebbe anche la lunghezza.

Oppure, un altro modo di pensarci, l'unico modo --- no,

non ti confondo troppo.

Ma puoi visualizzare che se questi due lati sono

uguali, allora questi due angoli saranno uguali.

Se tu cambi la lunghezza di uno di questi lati, allora

cambierebbero anche gli angoli, cioè gli angoli non sarebbero più uguali.

Ma ti lascerò pensarci su.

Per ora prendi quello che ho detto per vero, cioè che se due angoli

in un triangolo sono equivalenti, allora i lati che loro non condividono

sono di lunghezza uguale.

Assicurati di ricordarlo: non il lato che condividono -- perché

quello non può essere uguale a niente -- sono i lati che loro

non condividono ad essere di uguale lunghezza.

Allora qui abbiamo un esempio dove abbiamo due angoli uguali.

Sono entrambi 45 gradi.

Questo significa che i lati che loro non condividono -- questo

è il lato condiviso, giusto?

Entrambi gli angoli condividono questo lato -- quindi i lati che

loro non condividono sono uguali.

Allora questo lato è uguale a questo lato.

E penso che tu ora

stia facendo "ah-hah".

Bene, questo lato è uguale a questo lato -- ti ho detto

all'inizio del problema che questo lato è 5 --

allora sappiamo che questo lato è 5.

E ora possiamo fare il teorema di Pitagora.

Sappiamo che questa è l'ipotenusa, giusto?

Allora possiamo dire che 5 al quadrato più 5 al quadrato è uguale a -- diciamo

C al quadrato, dove C è la lunghezza dell'ipotenusa --- 5

al quadrato più 5 al quadrato -- questo fa 50 -- è uguale

a C al quadrato.

E allora abbiamo ottenuto che C è uguale alla radice quadrata di 50.

E 50 è 2 volte 25, quindi C è uguale a 5 radice quadrata di 2.

Interessante.

Dunque, penso di averti dato molte informazioni qui.

Se sei confuso, forse vuoi rivedere questo video.

Ma nel prossimo video ti darò più

informazioni su questo tipo di triangolo, che in effetti

è un tipo molto comune di triangolo che vedrai spesso in geometria

e in trigonometria -- triangolo 45 45 90.

E ha senso che sia chiamato così perchè

ha gli angoli di 45 gradi, 45 gradi e 90 gradi.

E ti mostrerò anche un modo veloce di usare

questa informazione che il triangolo è 45 45 90

per calcolare la misura se ti viene dato anche solo uno dei lati.

Spero di non averti confuso troppo e non vedo l'ora

di vederti nella prossima presentazione.

A più tardi.