45-45-90 Triangles

Introduction to 45-45-90 Triangles

Добро пожаловать на урок

«Треугольники с углами 45, 45 и 90 градусов».

Давайте я это запишу.

45, 45 и 90.

Или мы можем сказать:

прямоугольные треугольники с углами 45,45 и 90°.

Хотя это может быть лишним, ведь мы знаем,

что угол 90° называется прямым.

И как вы могли догадаться,

45,45,90 – это градусы углов треугольника.

Чем эти треугольники особенные?

Если вы смотрели прошлую презентацию,

я в ней рассказывал теорему:

если два угла у основания треугольника равны

(а третий может не равняться им) -

если вы нарисуете вот так,

если же вы нарисуете это так, это может быть

не так очевидно,

т.к. эти углы расположены вверху,

но именно они являются углами у основания.

Так вот, если эти два угла равны, тогда стороны,

которые не являются для них общими -

вот эта и вот эта, а здесь - эта и эта -

тоже будут равны.

Что интересно,

что треугольник с углами 45, 45 и 90° –

это прямоугольный треугольник,

обладающий данным свойством.

Или, другими словами,

это равнобедренный прямоугольный треугольник.

И как увидеть, что прямоугольный треугольник

обладает таким свойством?

Вот представьте такой прямоугольный треугольник.

Это 90°, это гипотенуза –

сторона, противоположная прямому углу.

И если мы уже знаем, что эти углы равны,

то какими они будут?

Давайте обозначим их "х".

Мы знаем,

что сумма всех углов треугольника 180°.

Значит х+х+90=180.

Или 2х+90=180.

Или 2х=90.

Или х=45°.

Т.е. прямоугольный треугольник,

в котором два остальных угла равны,

будет треугольником с углами 45, 45 и 90°.

Что интересного мы можем узнать

про треугольники с углами 45, 45 и 90°?

Давайте я ещё раз зарисую то,

о чём мы только что говорили.

Я перерисую это вот так.

Мы знаем, что это - 90°, это - 45°, это - 45°.

И, основываясь на том, что мы уже знаем -

стороны, которые не общие

для углов в 45°, равны,

т.е. эта сторона и эта сторона равны -

рассмотрим это со стороны теоремы Пифагора.

Две стороны, не являющиеся

гипотенузой треугольника, равны.

Это гипотенуза.

Назовем эту сторону А, а эту сторону В.

Гипотенузу давайте назовем С.

Мы знаем из теоремы Пифагора: А²+В²=С².

Мы знаем, что А равна В,

поскольку это треугольник с углами 45, 45 и 90°.

Мы можем заменить А на В или В на А.

Давайте заменим А на В.

Получаем: В²+В²=С².

Или 2В²=С².

Или В²=С²/2.

Или В=√(С²/2).

Что, в свою очередь, равно С

(так как мы извлекли √С²) делить на √2.

Несмотря на то, что это видео о треугольниках,

я расскажу вам немного

о рациональных знаменателях.

Т.е. здесь у нас всё абсолютно правильно.

Мы только что нашли В, и мы знаем, что А=В.

А В, в свою очередь, равно С/√2.

И так повелось в математике,

я сам не знаю почему, люди не очень любят,

когда в знаменателе видят √2.

Они вообще не любят

иррациональные числа в знаменателе.

Иррациональные числа – это десятичная дробь,

цифры в которой после запятой

никогда не повторяются и никогда не заканчиваются.

Как исключить иррациональность из знаменателя–

давайте посмотрим.

Если у нас есть С/√2,

давайте просто умножим числитель и знаменатель

на одну и ту же величину.

Умножить и числитель, и знаменатель

на одно и то же число - это то же самое,

что и просто умножить числитель

и знаменатель на 1.

√2/√2 – это и есть 1.

И, как вы видите, √2*√2 - получается 2, правильно?

А в числителе: √2*С.

Заметьте, что (√2*С)/2 –

это то же самое, что и С/√2.

И это важно понимать, потому что иногда вы

проходите тест или пишите контрольную в классе,

и у вас могут быть варианты ответов,

которые выглядят вот так.

В них есть √2 или даже √3

или что-то другое в знаменателе.

И вы можете не понять, что это правильный ответ,

если тест содержит несколько вариантов ответов.

Что вам нужно сделать в таком случае,

так это исключить иррациональность из знаменателя.

Умножьте числитель и знаменатель на √2,

и вы получите √2/2.

Вернёмся к задаче.

Что мы выучили?

Это равно В, так?

Получается, что В=(√2*С)/2.

Давайте я запишу.

Мы знаем, что А=В, так?

И оно также равно (√2/2)*С.

Вы хотите запомнить это число,

но на самом деле его всегда легко

вычислить из теоремы Пифагора.

Нужно помнить, что стороны,

не являющиеся гипотенузой в треугольниках

с углами 45, 45 и 90°, равны.

И это очень хорошо знать.

Если вы сдаёте экзамен и решаете задачу,

если вы запомнили это всё, и получаете подобную задачу,

где известна только гипотенуза,

вы можете очень быстро вычислить,

каковыми будут стороны треугольника.

А если в условии известны только стороны (катеты),

то вы можете легко вычислить гипотенузу.

Давайте попробуем.

Я сейчас всё это удалю.

Мы только что получили, что А=В=(√2/2)*С.

Я нарисую прямоугольный треугольник.

Этот угол отмечу как угол в 90°.

Этот равен 45°.

Эта сторона равна, скажем, 8.

Мне нужно вычислить, какой будет эта сторона.

Давайте посмотрим, где у нас будет гипотенуза.

Гипотенуза – это сторона,

противоположная прямому углу.

Т.е. сейчас мы пытаемся вычислить гипотенузу.

Обозначим её буквой «С».

И мы уже знаем,

что это треугольник с углами 45, 45, 90°.

Т.к. тот угол 45°, значит этот тоже 45°.

т.к. 45+45+90=180.

И мы знаем, что эта сторона равна 8.

Это может быть сторона А или В.

Мы знаем, что сторона 8=(√2/2)*С.

С – это то, что мы хотим вычислить.

Если мы перемножим обе стороны равенства

на 2/√2, т.е. я умножаю на обратную дробь,

на коэффициент при С.

Т.к. √2 при перемножении сократится,

2-ки тоже сократятся, то мы получим:

2*8=16...16/√2=С.

Что уже правильно.

Но я говорил вам,

что многие не любят видеть

иррациональные числа в знаменателе.

Мы можем преобразовать:

С=(16/√2)*(√2/√2).

Это, в свою очередь, равно: (16√2)/2.

А это то же самое, что и 8√2.

Т.е. в этой задаче С=8√2.

А еще мы знаем, что эта сторона 8,

поскольку этот треугольник с углами 45, 45, 90°.

Надеюсь, вы усвоили.

На следующем уроке

я покажу вам другой вид треугольников.

Я еще планирую рассматривать другие подобные примеры,

потому что здесь мы всё рассмотрели

достаточно быстро.

В любом случае, рад буду видеть вас

на следующем уроке.