-
Приветствам те в лекцията за
триъгълници 45-45-90.
-
Нека запиша това.
-
Защо химикалът... О, ето го.
-
Триъгълници 45-45-90.
-
Можем да кажем и правоъгълни триъгълници 45-45-90, но това е излишно,
-
защото знаем, че всеки ъгъл от 90 градуса
-
е в правоъгълен триъгълник.
-
Предполагам, че се досещаш, че
45-45-90 са фактически
-
градусите на ъглите на триъгълника.
-
Защо тези триъгълници са
специални?
-
Ако видиш последното видео,
в което направих
-
малка теорема, която показва, че ако
тези два ъгъла при основата
-
на триъгълника са равни...
това предполагам е само ъгъл
-
при основата, ако го начертаеш така.
-
Можеш да го начертаеш така,
в този случай може би не е
-
очевидно, че това е ъгъл при основата,
но все пак е вярно.
-
Ако тези два ъгъла са равни,
то страните, които не
-
са общи... тази страна и тази страна
в този пример, или
-
тази страна и тази страна в този пример...
то тези две страни
-
ще бъдат равни.
-
Интересното за триъгълниците 45-45-90 е,
-
че правоъгълните триъгълници
имат това свойство.
-
И как знаем, чe само
правоъгълния триъгълник
-
има това свойство?
-
Можеш да си представиш ситуация,
в която ти казвам, че
-
това е правоъгълен триъгълник.
-
Това е 90 градуса, така че
това е хипотенузата.
-
Това е срещу 90-градусовия ъгъл.
-
Ако ти кажа, че тези два ъгъла са равни
-
един на друг, какви
ще бъдат тези двата ъгъла?
-
Да наречем тези два ъгъла х,
-
знаем, че ъглите във всеки триъгълник
са общо 180 градуса.
-
Да речем, че х плюс х плюс...
това е 90...
-
плюс 90 е равно на 180.
-
Или 2х + 90 е равно на 180.
-
Или 2х е равно на 90.
-
Или х е равно на 45 градуса.
-
Единственият правоъгълен триъгълник,
в който другите два ъгъла са равни,
-
е триъгълника 45-45-90.
-
Кое е интересното за триъгълника 45-45-90?
-
Освен това, което вече казах...
ще го начертая пак.
-
Ще го начертая така.
-
Както вече знаем, това е 90 градуса,
това е 45 градуса,
-
и това е 45 градуса.
-
На базата на това, което казах
преди малко, знаем че
-
страните на 45-градусовите ъгли, които
не са общо рамо за тях, са равни.
-
Така тази страна е равна на тази.
-
Ако разгледаме от гледна точка
на питагоровата теорема,
-
това показва, че двете страни,
които не са хипотенуза,
-
са равни.
-
Това е хипотенуза.
-
Това е хипотенуза.
-
Да наречем тази страна А, а тази В.
-
Знаем, че от питагоровата теорема...
да речем, че
-
хипотенузата е равна на С...
Питагоровата теорема ни показва, че
-
А на квадрат плюс В на квадрат
е равно на С на квадрат.
-
Нали така?
-
Нали така?
-
Добре, знаем, че А е равно на В,
защото това е
-
триъгълник 45-45-90.
-
Можем да заместим А с В или В с А.
-
Но нека просто да заместим А с В.
-
Можем да кажем, че В на квадрат
плюс В на квадрат е
-
равно на С на квадрат.
-
Или 2В на квадрат е равно
на С на квадрат.
-
Или че В на квадрат е равно на
С на квадрат върху 2.
-
Или В е равно на квадратен корен от
С на квадрат върху 2.
-
Което е равно на С...
намираме квадратния корен от
-
числителя и квадратния корен
от знаменателя...
-
С върху квадратен корен от 2.
-
И всъщност, въпреки че това видео
е за триъгълници,
-
ще ти дам малко повече информация
-
за нещо, наречено
рационализиране на знаменателя.
-
Това е абсолютно вярно.
-
Стигнахме до В... и също така знаем,
че А е равно на В...
-
че В е равно на С делено на
квадратен корен от 2.
-
Излиза, че в математиката,
така и не разбрах
-
защо е точно така, но хората
-
не обичат квадратен корен
от 2 в знаменателя.
-
Или като цяло не харесват
ирационални числа
-
в знаменателя.
-
Ирационалните числа са числа,
които имат цифри след десетичната запетая,
-
които не се повтарят и
никога не свършват.
-
Начинът, по който се отърваваме
от ирационалните числа в
-
знаменателя е това, което понякога
наричаме рационализация
-
на знаменателя.
-
Начинът, по който
рационализираш знаменателя...
-
да вземем нашия пример сега.
-
Ако имаме С върху квадратен корен от 2,
просто умножаваме
-
и числителя и знаменателя по
-
едно и също число, нали?
-
Защото, когато умножим
числителя и знаменателя
-
по едно и също число,
все едно умножаваме по 1.
-
Квадратен корен от 2 върху
квадратен корен от 2 е 1.
-
Както виждаш, причината да направим
това е, защото
-
квадратен корен от 2 по
квадратен корен от 2 е...
-
Колко е квадратен корен от 2
по квадратен корен от 2?
-
Това е 2.
-
Нали?
-
Току-що казахме, че нещо по нещо е 2.
Добре, квадратен корен от 2
-
по квадратен корен от 2, това е 2.
-
И после числителят е С
по квадратен корен от 2.
-
Забележи, че С по квадратния корен
от 2 върху 2 е същото
-
като С върху квадратен корен от 2.
-
Това е важно да се разбере,
защото понякога
-
докато правиш стандартен тест или
-
тест в час, може да получиш отговор,
който изглежда така,
-
има квадратен корен от 2 или
може би дори квадратен корен
-
от 3 или нещо такова, в знаменателя.
-
Може да видиш отговора, ако е въпрос
-
с избор от дадени варианти за отговор.
-
В такъв случай, трябва да
рационализираш знаменателя.
-
Умножаваш числителя и
знаменателя по
-
квадратен корен от 2 и ще получиш
квадратен корен от 2 върху 2.
-
Но нека да се върнем на
нашата задача.
-
Какво намерихме?
-
Това е равно на В. Нали?
-
Излиза, че В е равно на С по
-
квадратен корен от 2 върху 2.
-
Ще запиша това.
-
Знаем, че А е равно на В, нали?
-
Това е равно на квадратния корен от 2
върху 2 по С.
-
Може да запаметиш това,
въпреки че винаги
-
може да го изведеш с помощта на
питагоровата теорема и
-
помни, че страните, които
не са хипотенузата в
-
триъгълник 45-45-90, са равни.
-
Но това е добре да се знае.
-
Защото ако, да речем, се явиш на изпита SAT
и трябва да решиш
-
задача много бързо , ако помниш това и някой
-
ти даде хипотенузата,
ще намериш много бързо
-
страните. Или ако ти дадат
едната от страните,
-
може да намериш хипотенузата
много бързо.
-
Да пробваме.
-
Ще изтрия всичко.
-
Научихме току-що, че А е равно
на В, е равно на
-
квадратен корен от 2 върху 2 по С.
-
Ако ти дам правоъгълен триъгълник
и ти кажа,
-
че този ъгъл е 90 градуса, а този ъгъл
е 45, а тази страна е...
-
да кажем, че тази страна е 8.
-
Искам да намеря тази страна.
-
Първо ще намеря коя страна
-
е хипотенузата.
-
Хипотенузата е страната срещу
правия ъгъл.
-
Опитваме се да намерим
хипотенузата.
-
Да наречем хипотенузата С.
-
Също така знаем, че това е
триъгълник 45-45-90, нали?
-
Понеже този ъгъл е 45, този
също трябва да е 45,
-
защото 45 плюс 45 плюс 90
е равно на 180.
-
Това е триъгълник 45-45-90, а ние знаем,
че една от страните...
-
тази страна е А или В...
знаем, че 8 е равно на
-
квадратен корен от 2 върху 2 по С.
-
С е това, което търсим.
-
Ако умножим двете страни на
уравнението по 2 по
-
квадратен корен от 2...
просто умножавам по реципрочното
-
на коефицента на С.
-
Понеже квадратният корен от 2
се съкращава с квадратния корен от 2,
-
това 2 се съкращава с това 2.
-
Получаваме 2 по 8, което е 16,
върху квадратен корен от 2, е равно на С.
-
Което е вярно, но
както ти показах, хората
-
не обичат корени в знаменателя.
-
Можем просто да кажем, че С е равно на
16 върху квадратен корен от 2
-
по квадратен корен от 2
върху квадратен корен от 2.
-
Това е равно на 16 по квадратен корен от 2,
цялото върху 2.
-
Което е същото като 8 по
квадратен корен от 2.
-
Така С в този пример е 8 по квадратен корен от 2.
-
Също така знаем, че тъй като това е
триъгълник 45-45-90,
-
тази страна е 8.
-
Надявам се, че това ти е ясно.
-
В следващото видео ще ти покажа
-
различен тип триъгълник.
-
Всъщност, може дори да започна
с още няколко примера,
-
защото усещам, че малко поизбързахме.
-
Но, както и да е, ще се видим
скоро в следващото видео.