Намиране на степенен ред чрез интегриране

Можем да апроксимираме аркустангенс от (2x) със степенен ред, като представим производните му като степенен ред и след това интегрираме този втори ред. Трябва да признаеш, че това е доста елегантно решение.

Упражнявай се на този урок в Кан Академия още сега: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/e/creating-power-series-from-geometric-series-using-differentiation-and-integration?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/power-series-using-integration?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/rep-function-with-geometric-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.

Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnything

Абонирай се за канала на Кан Академия Математически анализ: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

В това видео искам да представим

като степенен ред от вида
1/(n^p) за р > 0,

или да намерим приближението,

апроксимацията на аркустангенс от 2х
чрез степенен ред,

центриран около 0.

Трябва да отбележа, че търсим първите
четири члена, различни от нула,

от степенния ред, апроксимиращ
аркустангенс от 2х около нулата.

Това всъщност са първите четири
члена, различни от нула,

от развитието на аркустангенс от 2х
в ред на Маклорен.

Ако чувстваш увереност,

те насърчавам да спреш
видеото

и да опиташ самостоятелно.

Вероятно опита и сигурно
намери първата производна.

Сигурно забеляза, че
производната спрямо х

от аркустангенс от 2х е равна на...

само да припомня,

ако не ти стана
ясно от първия път.

Това ще стане: производната
от аркустангенс от х

е 1/(1 + х^2),

тогава производната на
аркустангенс от 2х ще бъде

2 върху 1 плюс цялото
това нещо на квадрат, 2х на квадрат.

това е 1 плюс е 4х^2.

После, когато опита
да намериш още членове

на реда на Маклорен,

вероятно намери още
производни на това,

и то много скоро
става много сложно,

особено ако търсиш първите
четири члена, различни от нула.

Вероятно си помисли:

трябва да има някаква
хитрина,

за която не се досетих,

когато просто се опитвах
да вървя напред,

(игра на думи)

и да намеря този степенен ред,

първите четири члена, различни
от нула от този степенен ред,

апроксимиращ аркустангенс от 2х,
центрирано около нулата

Да, така е, тук
има специална хитрина.

Тази хитрина е, че

вместо да го правим
директно,

можем да проверим дали не можем
да представим производната като степенен ред,

първите четири члена
от този ред за това нещо, ето тук,

и после да намерим
примитивната функция

и да получим степенния ред

за аркустангенс от 2х,
като се уверим, че

тук получаваме константа,

която удовлетворява условието,
че сме центрирани около нулата.

Знам какво си мислиш
в момента.

Тук изглежда, че отново
имаме същия проблем.

Ако искам да представя това
като степенен ред,

първите четири члена от него,

аз пак трябва да намеря
производната на това

няколко пъти, което
изглежда точно толкова трудно,

но това е хитрината,
ако мога да се изразя така.

Ключовото тук е, да кажем,
че f(х)

което, разбира се, е производна на
аркустангенс от 2х

f(х) е равна на 2/(1 + 4х^2).

Ако имахме различна функция,

при която това тук е по-чисто,
нямаше да имаме цялата тази сложност,

когато намираме производните.

Да кажем, че имаме
друга функция g(х).

Ще използвам цвят, който
още не съм използвал.

Нека да имаме g(х),

която е равна на 1/(1 + х).

Това е интересно, защото
наистина е много лесно,

и това е същото като
(1 + х) на степен –1.

g(х) е интересна, защото
производните ѝ се намират лесно.

Например g'(х) ще бъде равно...

по верижното правило

производната на (1 + х) е просто 1,

значи е равно на –1 по
(1 плюс х) на степен (–2).

Ако искаме да намерим
втората производна на това:

g''(х) е равна на –2

по –1, което е 2, по (1 + х)

на степен –3.

Третата производна на това
е равна на... да видим.

–3 по 2 е –6,

по (1 + х) на степен –4.

Знам, че ще кажеш: "Сал,

а това не те ли притеснява?

Защо правиш това?"

Изчакай само секунда.

Да кажем набързо, че
можахме да намерим

първите три производни на g(х),

и сега е много лесно да намерим
първите четири члена

в р-степенния ред,

особено в ред на Маклорен,

а редът е ред на Маклорен,

когато степенния ред
е центриран около нула.

Само трябва да сметнем
тези за нула.

g(0) е равно на 1,

g'(0) е равно на –1.

g''(0) става 1 + 0,
и после на степен –3,

1 по 2 е просто 2.

После третата производна,
изчислена за 0,

е равна на –6.

Мога да напиша g(х)
е приблизително равно,

ще събера тези първите
четири члена,

получавам g(0), което е едно,

минус g'(0) по х.

Това минус 1 по х,
значи –х,

плюс g''(0),

2/2! по х^2.

Това е равно на 1 по х^2,

ще напиша само това.

Това е равно на +х^2,

после имаме плюс g'''(0)
(три пъти прим),

което е –6 върху 3!, по х^3.

Три факториел е 6,

значи –6 делено на 6
е просто –1.

Това става –х^3.

И знам какво си мислиш.

"Добре, Сал, започна
с трудна задача,

а я направи много по-лесна,

за представяне като
степенен ред.

С какво помага това?"

Това е важната хитрина,
която обещах в началото на клипа.

Отдавна обещаната хитрина

е, че... търся подходящ
цвят за основната хитрина,

това е, че можем да
запишем f(х).

Обърни внимание, че
f(х) e равно на

f(х) е равно на 2 по g(4х^2)

Сега просто ще заместим
хиксовете с 4x^2.

Ще получим 1/(1 + 4х^2)

и после умножаваме
цялото по две,

и получаваме това тук.

Ако f(х) е равно на това,

тогава съответстващият
на f(х) степенен ред

просто трябва да вземем
този степенен ред

или поне първите
му четири члена,

и да заместим хиксовете
с 4х^2

и после да умножим
цялото по 2.

Да го направим.

Можем да напишем, че
f(х)

е приблизително равно на

2 по този израз,

когато х е равно на 4х^2.

Тук имаме 1 минус,
но вместо х

ще запиша 4х^2,

плюс х^2, но тук
вместо х

става 4х^2 на квадрат.

Става плюс (4х^2)^2.

Това е равно на 16х^4,

само да го запиша,

това е +16х^4.

И накрая –х^3,

пак заместваме х с 4х^2,

става –(4х^2)^3.

Това е равно на 64х^6.

Ще го запиша, –64х^6.

И след това ще бъде равно на,

f(х) е приблизително равно на...

умножаваме по това 2 пред
скобите, 2 минус 8х^2

плюс 32х^4

минус 128х^6.

Ето така с малко заместване,

успях по един
достатъчно лесен начин

да намеря първите
четири члена, различни от нула,

от степенния ред за
2/(1 + 4х^2),

което е производната

на р-степенния ред
за аркустангенс от 2х.

Ще го запиша,

значи аркустангенс от 2х,

което е равно на
примитивната функция на f(х), dx

което е равно на
примитивната функция

на цялото това тук,
на всичко това.

Примитивната функция на
2 – 8х^2 + 32х^4 – 128х^6.

Ще сложа знак за
приблизително,

защото в момента
правим апроксимация

със степенен ред.

dx, и на какво ще е равно това?

Получаваме приблизително
равно на...

тук ще има константа.

Ще запиша константата първо,

защото, когато записваме
първия си степенен ред или ред на Маклорен,

първият член е константа.

Това е нашата функция,
изчислена за нула.

Ще имаме константа,

ако намерим примитивната
функция от 2,

това ще бъде +2х.

Примитивната функция от това,
да видим, х^3,

делим 8 на 3,

значи става –(8/3) по х^3,

после плюс 32х^5 върху 5,

минус 128х^7 върху 7.

Вече сме почти на финала.

Получихме поне четири
члена, различни от нула,

ако това е различно от нула,

това ще бъдат пет члена,
различни от нула.

И сега да проверим, че
нашата константа

е подходяща за
аркустангенс от 2х.

Това означава да сметнем
аркустангенс

от стойността на функцията,
когато х е равно на нула.

Колко е аркустангенс от нула?

Спомни си, че сме
центрирани около нула,

така че по-добре
да видим направо.

Това е едно от
най-основните неща,

когато правим апроксимация с
редове на Маклорен.

Центрирани сме около нула,

така че апроксимацията
за нула

би трябвало да е равна на
функцията, изчислена за нула.

Аркустангенс от 2 по нула

ще бъде нула.

Това тук, когато го сметнем
за нула,

получаваме, че С
трябва да е равно на нула.

С трябва да е нула, ако искаме
това тук да е нула,

когато х е равно на нула.

И така вече сме готови.

Успяхме да намерим,че
нашият аркустангенс от 2х

е приблизително равен на

2х – (8/3)х^3 + (32/5)х^5

минус (128/7)х^7.

Ако искаме да намерим
още членове,

трябваше да намерим
повече членове

по същия начин, както
го направихме,

но да вземем повече членове от
степенния ред за първата производна.

Надявам се, че ти хареса
тази доста сложна задача,

но както видя, тя се оказа
не чак толкова сложна,

колкото си мислехме.