金利 (パート２)

単利と複利を詳しく。

私たちが前の授業で学習したものを、

少し解りやすくしてみましょう。

例えば、私がPドルを借りているとしましょう。

Pドルは私が借りた、

元金ですね。

これが元金です。

rは利率です。

私が借りているお金に利率が掛かっています。

さらに、私たちは100r%として書くことができますね？

私はそれ(pr)を、

ｔ年間借りるとしましょう。

それでは、単利あるいは複利のいずれかを使用して、

t年の終わりに私がどれくらい金利を負うか考えるために、

方程式を私たちが考え出すことができるかどうか確かめましょう。

まずシンプルな単利からやってみましょう。

時間軸を作りましょう、０の時に、

いくら借りがあるでしょうか。

そうだね、もし私が借りた時にすぐに返済したら、

私は元金だけしか負ってないですね。

１の時に、p（元金）＋r×pで、

借りたお金に何が乗ってくるか見えてきます。

前回のビデオの例題では、

rは10％の金利でしたね。

Pは100でしたね、利息の10ドル年間払わないといけなかったので、

110ドル返さなくてはいけませんでした。

これはp(１＋r)と同じ考えですよね。

なぜなら、あなたは１r＋rpの式を使っただけですから、

それでは、２年後にはいくらの金利がかかってきますか？

私たちは毎年別のrPを払うだけでしたね。

前回の例では金利として１０ドルでした。

したがって、毎年これが１０％である場合、

私たちは元金の１０％を支払います。

２年間の場合ですから、p＋rpの式は１年間、

それに別のrpを加えて、

それがp＋1＋2rになります。

ｐを取り出して、１＋r＋r。

そう、1＋2r。

それで3年間の場合ですが、２年間に負ったものは何でしょうか。

そうです、p＋rp＋rp（2年間)に別のrpを支払えば良いのです。

もしrが元金の10％とか50％だとしたら、rpを足しましょう。

ですので答えは、p(1＋3r)になります。

t年後はいくら金利が掛かっているでしょう。

元金のpに1を足して、

ここがtrになります。(t年×r）

毎年、私たちがPrを払うので、これを分配することができます。

ここがt年になります。

ですので、ここが意味をなします。

もし私がお金を借りているとして、

ある数字を例に考えてみましょう。

あなたは式を考え出すことが出来ましたので、やってみるのをお勧めします。

公式をただ暗記するだけじゃなくてね！

もし50ドルを15％の単利で15年・・・

20年にしましょう。20年後の終わりの金利は、

50ドル(1＋(20×0.15）になりますね？

答えは、50ドル(1＋(20×0.15）、えっと20×0.15は、

3かな？

そうだね。

だから、20年間借りると、

50ドル×4＝200ドルになります。

50ドルを15％の単利で20年借りると、

最後に200ドル払う答えになります。

これは単利の場合の、

単利の式になります。

それでは、同じ考え方で複利の場合で計算してみましょう。

全部消しましょうか。

この方法で消したかったんじゃないんだけどな。

やりましょうか。

複利の場合でも１年目は、

単利と同じです。

前回のビデオでも私達は見ていますね。

pを借りると、p(元金)＋(レート×元金)で、

＝p(1＋r)になります。

いいでしょう。

2年目で複利と単利が分かれてきます。

単利の場合、別のrpを支払って、

ここは1＋2rになっていました。

複利の場合は、ここは新しい元金になりますね？

もしここが、新しい元金でしたら、

(1＋r)×p(1＋r)になりますね？

元々の元金はpでしたね。

1年後、p(1＋r)を払いましたね。

(1＋r)

2年の中では払うのは、1年の終わりの数字は何だったか、

それはp(1＋r)になり、

金利によって、元金は増えました。

そう、もう一回、(p＋1)を増やします。

答えはp(1＋r)の2乗になります。

単利では、毎年Prを加えていた方法は、

私達は理解出来ていましたね。

単利では毎年Prを加えていました。

P(50ドル)× r(15％)を毎年加えていましたね、

3ドル。加えていきましょう。何でしたっけ？

50％

金利として、7.5ドル払っていまして、pは元金です。

rは利率(金利)です。

複利では、毎年、

p(1＋r)を増やしていきます。

もし３年の場合は、

(1＋r)かける

3年ですので、P(1＋r)の3乗になります。

t年の場合だと、p(1＋r)のy乗になります。

p(1＋r)のy乗

これと同じ例を見てみましょう。

単利の場合だと200ドルになっていましたね。

複利の場合は幾らになるか見てみましょう。

元金は50ドル。

1プラス。レートは何でしたっけ？

0.15

それで20年間借り続けています。

よって、50×（1.15の20乗)が答えになります。

答えが解らないよね。

でも20乗の答えを出してみましょう。

エクセルを使ってみましょう。これを全部消しましょう。

実際はペンツールの変わりにマウスを使えば、

全てが消せます。

表を適当に選んでと。

＋1.15(1＋0.15)の20乗を、どんな計算も使えます、

16.37になりました。

これの答えは50×16.37になります。

50×16.37は何かな？

50を掛けて、答えは818ドル！

これで気付いたはずです、もし誰かがあなたにローンを組むとして、

「ローンを組めますよ」　「20年ローンにしますか？」と言います。

「それでは15％の金利にしましょう。」となりました。

これは本当にハッキリさせないといけない事ですが、

彼らが15％の金利を単利で貸すのか、

複利で貸すのか。

なぜなら、複利の場合はあなたが最後に払うのは・・

これを見てください。たかが50ドルを借りて、

単利より618ドルも多く払うのです。

残念ながら、世の中での多くは、

複利になってます。

複雑なのはこれだけではないんだ、でもこれらは毎年、

それを複雑にして、それらは6ヶ月ごとに、更に複雑にして、

それらは連動的にそれを複雑にします。

次々のいくつかのビデオで連続的な複利について見るべきですよ、

そしてあなたは、

eのマジックを学ぶことになりますよ。

それでは、また次のビデオで。