Τόκος (μέρος 2)

Περισσότερα πάνω στο απλό και το ανατοκιζόμενο επιτόκιο.

Ας γενικεύσουμε λοιπόν αυτά που μάθαμε

στην προηγούμενη παρουσίαση.

Ας πούμε πως δανείζομαι P δολάρια.

P δολάρια, τόσα δανείστηκα, επομένως αυτό είναι

το αρχικό μου κεφάλαιο.

Άρα αυτο είναι το κεφάλαιο...

Το r είναι ισό με το επιτόκιο, με το οποίο

δανείζομαι.

Μπορούμε αυτό να το γράψουμε επίσης ως 100r%, σωστά?

Και θα τα δανειστώ για -- ας πούμε

t χρόνια.

Για να δούμε αν μπορούμε να δημιουργήσουμε κάποιες εξισώσεις ώστε να υπολογίσουμε

πόσα θα χρωστάω στο τέλος των t χρόνων χρησιμοποιώντας

απλό ή ανατοκιζόμενο επιτόκιο.

Ας δούμε πρώτα το απλό επιτόκιο γιατί αυτό είναι πιο απλό.

Οπότε στο χρόνο 0 -- ας φτιάξουμε λοιπόν αυτόν τον άξονα του χρόνου -- πόσα

χρήματα θα χρωστάω?

Λοιπόν, αυτό είναι μόλις τα δανείστηκα, επομένως αν τα εξοφλούσα

αμέσως, θα χρωστούσα μόλις P (το κεφάλαιο), σωστά?

Στο χρονικό σημείο 1, χρωστάω P συν τον τόκο, μπορείτε

να το δείτε σαν το ενοίκιο για τα χρήματα αυτά, και αυτό είναι r φορές το P.

Και αυτό, στο προηγούμενο παράδειγμά μας, στο

προηγούμενο βίντεο ήταν 10%.

Το P ήταν 100, οπότε έπρεπε να πληρώσω $10 για να δανειστώ τα χρήματα αυτά για ένα

χρόνο, και θα έπρεπε συνολικά να επιστρέψω πίσω $110.

Και αυτό είναι το ίδιο με P φορές το 1 συν r, σωστά?

Θα μπορούσαμε απλά να χρησιμοποιήσουμε 1P συν rP.

Επίσης, μετά από δύο χρόνια, πόσα θα χρωστούσαμε?

Μετά από κάθε χρόνο θα πρέπει να πληρώνουμε άλλο ένα rP, σωστά?

Στο προηγούμενο πράδειγμά μας, ήταν άλλα $10.

Άρα, αν αυτό είναι 10%, κάθε χρόνο πληρώνουμε 10% από

το αρχικό μας κεφάλαιο.

Συνεπώς τον δεύτερο χρόνο, θα χρωστάμε P συν rP - αυτό είναι που χρωστούσαμε τον

πρώτο χρόνο - συν ένα ακόμα rP, οπότε αυτό ισούται με

P συν 1 συν 2r.

Αν βγάλουμε το P, έχουμε 1 συν r

συν r, οπότε 1 συν 2r.

Στη συνέχεια, τον τρίτο χρόνο, θα χρωστάμε ό,τι χρωστούσαμε τον δεύτερο χρόνο

δηλαδή P συν rP συν rP, και θα έπρεπε να πληρώσουμε άλλο ένα rP, κάποιοι

λένε ότι εάν το r είναι 10%, ή 50%, του αρχικού μας κεφαλαίου,

συν rP, αυτό ισούται με P φορές το 1 συν 3r.

Οπότε, μετά από t χρόνια, πόσα θα χρωστάμε?

Λοιπόν, θα είναι το αρχικό μας κεφάλαιο επί 1 συν το αρχικό μας κεφάλαιο

επί tr.

Μπορείτε να το βγάλετε αυτό επειδή κάθε χρόνο θα πρέπει να πληρώνουμε Pr,

και θα περάσουν t χρόνια.

Και γι' αυτό βγάζει νόημα.

Οπότε, αν λέγαμε ότι δανείζομαι - ας δώσουμε

ένα αριθμητικό παράδειγμα.

Θα σας συμβούλευα να το δουλέψετε έτσι

και να μην απομνημονεύετε τύπους.

Αν δανειζόμασταν $50 με 15% απλό επιτόκιο για 15-

ή ας πούμε για 20 χρόνια, στο τέλος των 20 ετών, θα

χρωστούσαμε $50 επί 1 συν το 20 (χρόνια) επί 0.15, σωστά?

Και αυτό ισούται με $50 επί 1 συν 20 φορές το 0.15

αυτό είναι 3, σωστά?

Σωστά.

Άρα, είναι 50 φορές το 4 και είναι ίσο με $200

δάνειο για 20 χρόνια.

Άρα $50 με 15% για 20 χρόνια μας κάνει $200

συνολικό χρέος στο τέλος.

Αυτό ήταν το απλό επιτόκιο, και αυτός ο

τύπος του.

Ας δούμε αν μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με ανατοκιζόμενο επιτόκιο.

Ας τα σβήσω όλα αυτά.

Δεν ήθελα να τα σβήσω έτσι.

Τώρα μάλιστα.

ΟΚ, άρα με ανατοκιζόμενο επιτόκιο, σε ένα χρόνο, είναι το ίδιο πράγμα,

με το απλό επιτόκιο, και το είδαμε αυτο στο

προηγούμενο βίντεο.

Χρωστάμε P συν, και τώρα το επιτόκιο P φορές, αυτό ισούται

P επί 1 συν r.

Αρκετά λογικό.

Τώρα, το δεύτερο χρόνο είναι που το απλό και το ανατοκιζόμενο επιτόκιο έχουν απόκλιση.

Στο απλό επιτόκιο, θα πληρώναμε άλλο ένα rP, και

θα γινόταν 1 συν 2r.

Στο ανατοκιζόμενο επιτόκιο, αυτό γίνεται το νέο μας

αρχικό κεφάλαιο, σωστά?

Οπότε, αν αυτό είναι το νέο μας αρχικό κεφάλαιο, θα πληρώσουμε

1 συν r φορές αυτό, σωστά?

Το αρχικό μας κεφάλαιο ήταν P.

Μετά από ένα χρόνο, πληρώσαμε 1 συν r φορές το αρχικό μας κεφάλαιο

επί 1 συν το επιτοκιο r.

Οπότε, τον δεύτερο χρόνο θα πρέπει να πληρώσουμε ότι χρωστούσαμε στο

τέλος του πρώτου χρόνου, το οποίο είναι P επί 1 συν r, και μετά θα

το αυξήσουμε αυτό κατά ενα ποσοστό r.

Άρα, θα το πολλαπλασιάσουμε πάλι αυτό με 1 επί r.

Και αυτό ισούται με P επί 1 συν r στο τετράγωνο.

Θα μπορούσατε να το σκεφτείτε ως εξής, στο απλό επιτόκιο

κάθε χρόνο προσθέταμε Pr.

Στο απλό επιτόκιο, προσθέτουμε ένα Pr κάθε χρόνο

Άρα, αν αυτό ήταν $50 και αυτό ήταν 15%, κάθε χρόνο θα προσθέταμε

$3 - θα προσθέταμε - πόσο ήταν αυτό?

50%.

Θα προσθέταμε $7.50 σε τόκο, όπου P είναι το αρχικό μας κεφάλαιο,

r είναι το επιτόκιο.

Στο ανατοκιζόμενο επιτόκιο, κάθε χρόνο πολλαπλασιάζουμε το

αρχικό μας κεφάλαιο με 1 συν το επιτόκιο, σωστά?

Άρα, αν πάμε στον τρίτο χρονο, θα πρέπει να το πολλαπλασιάσουμε

επί 1 συν r.

Συνεπώς, τον τρίτο χρόνο είναι P επί 1 συν r στην τρίτη δύναμη.

Άρα, τον χρόνο t θα είναι το αρχικό μας κεφάλαιο συν

r στην t δύναμη.

Ας δούμε το ίδιο παράδειγμα.

Χρωστάμε $200 σε αυτό το παράδειγμα με απλό επιτόκιο.

Ας δούμε τι χρωστάμε σε ανατοκιζόμενο επιτόκιο.

Το αρχικό κεφάλαιο ήταν $50

επί 1 συν - πόσο ήταν το επιτόκιο?

0.15

Και δανειζόμαστε για 20 χρόνια.

Άρα αυτό είναι ίσο με 50 φορές το 1.15 στην εικοστή δύναμη.

Ξέρω ότι δεν μπορείτε να το διαβάσετε αυτό, αλλά για να δω τι μπορώ να

κάνω για την εικοστή δύναμη.

Για να χρησιμοποιήσω το Excel και ας καθαρίσω όλα αυτά.

Στην πραγματικότητα, καλύτερα να χρησιμοποιήσω το ποντίκι μου αντί για το ειδικό εργαλείο σχεδίασης

για να τα καθαρίσω όλα.

ΟΚ, ας διαλέξω ένα τυχαίο σημείο.

Οπότε, απλά θέλω να-- συν 1.15 στην εικοστή δύναμη, και θα

μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε υπολογιστή: 16.37.

Αυτό ισούται με 50 φορές το 16.37.

Και ποσο κάνει 50 φορές αυτό?

Συν 50 φορές αυτό: $818

Τώρα συνειδητοποιείτε ότι αν κάποιος σας κάνει ένα δάνειο και

σας πει, ναι, θα σου δανείσω- χρειάζεσαι ένα εικοσαετές δάνειο?

Θα σου δανείσω με 15%.

Είναι πολύ σημαντικό να διευκρινίσετε αν πρόκειται

να σας χρεώσει 15% με απλό επιτόκιο ή με

ανατοκιζόμενο επιτόκιο.

Γιατί με το ανατοκιζόμενο επιτόκιο, θα καταλήξετε να πληρώσετε-

Κοιτάχτε αυτό: για να δανειστείτε $50, θα πρέπει να

πληρώσετε $618 παραπάνω από όσα θα ήταν με απλό επιτόκιο.

Δυστυχώς, στον πραγματικό κόσμο τις περισσότερες φορές συναντούμε

ανατοκιζόμενα επιτόκια.

Και δεν είναι μόνο ανατοκιζόμενα, αλλά δεν

ανατοκίζονται κάθε χρόνο, δεν ανατοκίζονται ούτε

κάθε έξι μήνες, στην πραγματικότητα ανατοκίζονται συνεχώς.

Γι' αυτό παρακολουθήστε τα επόμενα βίντεο για

το συνεχώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο, και μετά θα

αρχίσετε να καταλαβαίνετε την μαγεία του.

Εν πάσει περιπτώσει, θα σας δω στα επόμενα βίντεο.