Similar triangles (part 2)

돌아오신 것을 환영합니다.

우리가 어디까지 했냐면,

어떤 각이 이 각과 크기가 같나요?

우리는 이 엇각들이

이건 평행선을 가로지르는 직선이고, 이것들은 평행선들입니다

그래서 우리는 엇각을 알 수 있습니다

이 각의 엇각은 이 각입니다

그래서 두 각의 크기는 같다는 것을 알 수 있죠

저는 아직 엇각 표시를 그리지 않을 겁니다

왜냐하면 가끔식 엇각이 무엇인지 잊어버릴 땐

한 각과 그 대응각은 크기가 같다는 것만
기억해두셔도 되기 때문입니다

이 각도 크기가 같습니다

그리고 이 각의 반대편 또한

엇각이라는 것을 알 수 있습니다

수학이 대단한 이유 중 한가지는

수학이 기억을 잘 하지 못하는 사람들에게 좋기 때문입니다

왜냐하면 몇 개만 암기하면, 다른 것들은 응용하여 풀 수 있기 때문입니다

어쨌든, 우리는 이 각이 이 각과 크기가 같다는 것을 알아냈습니다

맞나요?

왜냐하면 두 각은 서로 엇각 관계이기 때문입니다

그리고 이 변은 대응하는 변입니다

그리고 마지막으로, 이 각은 뭘까요?

각을 세 겹으로 그려보도록 합시다

하나, 둘, 셋

이 삼각형에서 이 각과 크기가 같은 각은 어디일까요?

아까와 같은 원리입니다

2개의 평행선과 엇각들

기억하세요
이 주장을 할 수 있는 유일한 이유는

제가 처음에 시작할 때, 이 선과 이 선은 평행하다고 가정했기 때문입니다

그렇죠?

가정을 하지 않았다면, 그 주장은 할 수 없습니다

그렇기 때문에, 우리가 알고 있듯이 이 각들은 서로 엇각입니다
크기가 같다고 할 수 있죠

네, 됐습니다

이제 우리는 두 삼각형이 서로 닮았다는 것을 보였습니다

세 각을 모두 증명할 필요는 없어요

저는 두 각만 증명했지만, 그 두 각으로도 충분히
두 삼각형이 닮았다는 걸 알 수 있습니다

왜냐하면 두 각의 크기가 각각 같다면

나머지 세 번째 각도 분명 크기가 같을 테니까요

그럼 이제 우리가 알고 있는 정보들을 가지고

비율을 구할 수 있을지 알아봅시다

헷갈릴 수도 있으니, 대응변들을 각각의 각들과 같은 색으로 칠해줍시다

이 변은 주황색입니다

맞죠?

이 변은 파란색이고, 이 변은 붉은색입니다
됐습니다

이제 모든 것들이 색깔로 구별할 수 있게 되었습니다

색깔 때문에 어지러울 수도 있지만, 매우 유용한 방법입니다

왜냐하면 두 삼각형은 뒤집힌 상태이기 때문입니다

자, 그럼 우리가 뭘 할 수 있는지 살펴봅시다

우리는 주황색 변에 대해 알아보아야 하는데,

이 주황색 변을 X라고 부릅시다

X는 물음표와 같습니다

이 주황색 부분은 이 변에 대응하는 변입니다, 그렇죠?

왜냐하면 이 변은 이 각에 대응되고

그 각은 이 각과 크기가 같기 때문입니다

따라서 두 변은 같은 크기의 각에 대응되는 변들입니다

그걸로 두 변이 각각 대응하는 변이란 걸 알 수 있습니다

X/6은 어디와 같나면

우리가 지금 알고 있는 다른 변은 무엇이 있나요?

여기 이 변은 4라는 것을 알고 있습니다

똑같은 색으로 표시합시다

우리는 이 변이 4라는 것을 알고 있습니다

그리고 좌변의 분자에 X를 넣었을 때부터

4는 우리가 알아내고자 하는 X가 있는 삼각형에 들어있습니다

그렇기 때문에 우변의 분자에는 4를 넣으면 되는 겁니다

몇 분의 4인가요?

4에 대응하는 부분이 어딥니까?

이 각에 대응되는 각이 어딥니까?

이 각이네요

그렇죠?

따라서 이 변에 대응되는 변은 이 변입니다
5가 되는군요

자 이제 문제를 풀 수 있습니다

양 변을 6으로 곱해주면

24/5가 나옵니다

X = 24/5인 것입니다

별로 어렵진 않은 것 같습니다

그리고 조금 더 나아가면

이 변의 길이를 알 수 있겠습니다

자홍색 부분 말입니다

이 변을, 모르겠네요
y라고 합시다

창의적이진 않군요

어쨌든 y는 이 각과 대응됩니다

y는 8과 대응된다는 것입니다

그렇죠?

따라서 y/8은

오, 여러 계산을 해 볼 수도 있겠군요

우리는 4/5나 아니면

그냥 4/5로 합시다

왜냐하면 24/5/6은 상당히 헷갈릴 수 있기 때문입니다

그러니 그냥 4/5로 합시다

양 변에 8을 각각 곱해봅시다

그리고 y = 8 x 4입니다
y는 얼마인가요?

32/5입니다

이 예시를 든 이유는, 단순히 눈으로 짐작해서 풀면 안된다는 것을
알려드리기 위해서입니다

감이 좋다면 가끔씩은 짐작한 답이 맞기도 하겠죠

하지만 항상 어떤 변이 어떤 변과 대응하는지는 정확하게 알 수 없습니다

아마 그냥 이렇게 말하면 분명 편리하겠죠

이 변은 이 변에 대응하고, 이 변은 이 변에 대응한다

하지만 우리는 어떤 각에 어떤 변이 마주하는지 주의를 기울여야 합니다

따라서 어떤 변이 정해진 한 각과 마주본다면,
다른 삼각형에서 그 각과 크기가 같은 각의 반대편은

그 각의 대응변입니다

제가 말을 좀 많이 했습니다

하지만 부디 여러분의 사고력이 조금이라도 길러졌으면 좋겠군요

다른 것을 해 봅시다

우선 삼각형을 그리고 두 삼각형은 서로 닮았다는 것을

증명해 보도록 합시다

저는 이런 평행선들이 좋습니다

두 평행선을 그려보도록 하죠

그리고 이번에는 이 주위에, 봐봅시다

그려보겠습니다

여기 선을 하나 그리고

자, 다 됐습니다

첫 번째로 저는 이 두 선은 서로 평행하다고 말했습니다

그러니 각 직선에 평행선이라는 표시를 남겨두도록 하죠

그래서 우리가 구하고자 하는 것은, 여기 이 삼각형과

이 삼각형이 서로 닮았다는 것을 증명하는 것입니다

이 문제는 굉장히 흥미롭군요

두 삼각형은 서로 겹쳐집니다

그렇죠?

첫 번째로, 어떤 각이 두 삼각형의 각들 중
크기가 서로 같은지 알고 있습니까?

네, 물론입니다

그 각은 바로 이 각입니다

사실 두 삼각형 모두 이 각을 공통으로 가지고 있습니다

그렇죠?

왜냐하면 두 삼각형은 그 지점에서 만나 겹쳐지기 때문입니다

우리가 알아낼 수 있는 또 다른 사실에는 어떤 것들이 있을까요?

봐 봅시다

색깔로 구분해 놓지는 않았지만, 그래도 봐 봅시다

여기 이 각이 있습니다

이 각과 대응되는 같은 크기의 각은 무엇입니까?

우리는 이 평행선들과 그것을 가로지르는 한 직선이 만드는
각에 대한 규칙, 또는 이론같은 것을 사용할 수 있습니다

알아보도록 하죠

이 각은 무엇과 대응합니까?

이 각과 대응합니다

따라서 두 각의 크기는 같습니다
모두 평행선들에서 나온 것들 맞죠?

그래서 이 두 각은 크기가 같습니다

그리고 나서, 마지막으로, 좋은 색깔을 골라보도록 합시다

여기 이 각은 세 겹으로 표현하도록 하죠

같은 원리입니다

이 각의 대응각은 여기 이 각이 되겠군요

이제 됐습니다

우리는 이 삼각형들에서 세 각이 각각 크기가 같다는 것을 알 수 있었습니다

따라서 두 삼각형은 서로 닮은 삼각형 입니다

우리가 여기 이 변을 알고 있다고 해 봅시다

이것에 대한 조금 꼬인 문제를 내드리죠

여기서 여기까지는 5이고,

여기서 여기까지는 7입니다

여기서 여기까지는... 뭐라 할까요, 모르겠네요

여기서 여기까지는... 좋은 숫자 중에 만들어 봅시다
12로 하죠

그리고 여기서부터 여기까지는 6으로 하겠습니다

지금부터 여기가 얼마인지 알아보도록 합시다

어떻게 해야 할까요?

참고로 이 꼬불꼬불한 선들은 헷갈리게 하기 위해서 그려놓은 것들입니다

우리는 이미 이 두 삼각형은 서로 닮았다는 것을 알고 있습니다

그리고 그 정보는 비율을 구하는 데에 사용할 수 있겠습니다

이것을 X로 잡아봅시다

맞나요?

우리가 알고 있는 게 무엇입니까?

이 변 전체가 작은 삼각형의 어떤 변과 대응하는지 알 수 있습니까?

그것은 이 변과 대응합니다

각과 같은 색깔로 칠해보죠

여기 주황색 각은 이 변에 대응합니다

그렇죠?

그리고 이 주황색 각은 변 전체에 대응합니다

이 변 전체에 말입니다

큰 삼각형을 보면, 이 변이 그냥 X는 아닙니다

그렇죠?

왜냐하면 그 대응변은 큰 삼각형의 한 변이기 때문입니다
X+5가 되죠

X+5

큰 삼각형의 변 길이였습니다
그렇죠?

X+5를 작은 삼각형에 있는 대응변의 길이로 나누기

작은 삼각형에 있는 대응변은 이것이 되겠습니다

5죠

맞나요?

그리고 이건 큰 삼각형의 이 각에 대응되는 변의 길이인 12를
어떻게 한 것과 같습니다

12를 무엇으로 나눈 것과 같습니까?

바로 6으로 나눈 것과 같습니다
작은 삼각형의 6으로요

약분하면 2가 됩니다, 그렇죠?

따라서 X+5 = 10이고,
X는 5가 되겠죠

자, 다 됐습니다
X는 5입니다

시간이 다 된 것 같군요

여러분이 닮은 삼각형들에 대해 이해하는 데 제가 부디 도움이 되었길 바랍니다

조금이라도요

나중에 뵙겠습니다