-
И така, в миналото видео
-
стигнахме до преобразуване
на това уравнение.
-
И тъкмо получих, че силата
е равна на масата по ускорението.
-
И говорех за това, че ако
x е функция на t,
-
какво ще е ускорението?
-
Ами скоростта е производната
на x по отношение на времето, нали?
-
Промяната в позицията
върху промяната във времето.
-
А ускорението е
производната на скоростта,
-
или втората производна на позицията.
-
И така, вземам производната
два пъти, на х от t, нали така?
-
Нека пренапишем това уравнение
в тези условия.
-
Нека изтрия всичко това –
всъщност искам да го запазя,
-
за да не забравяме за какво говорим
през цялото това време.
-
Да видим дали мога
да го изтрия добре.
-
Така е доста добре.
-
Изтриваме всичко това.
-
Всичко това.
-
Ще изтрия дори и това.
-
Много добре, така.
-
Сега обратно на работа.
-
И така, знаем, че... надявам се,
знаеш, че ускорението
-
е втората производна
на x като функция на t.
-
И можем да преобразуваме това
като произведението на масата
-
и втората производна на x.
-
Ще напиша това като –
мисля, че най-лесният запис
-
ще е просто x прим прим.
-
Това си е втората производна
на x като функция на t.
-
Ще напиша символа за функция,
за да помним,
-
че става дума за функция на времето.
-
Това е равно на минус
k, по x от t.
-
И това, което виждаме тук,
току-що написаното,
-
е всъщност едно
диференциално уравнение.
-
А какво представлява
диференциалното уравнение?
-
Това е уравнение,
в което в един израз,
-
или в едно уравнение,
от двете му страни,
-
нямаме само функция, но и
производни на тази функция.
-
Решението на диференциалното уравнение
-
не е просто някакво число, нали така?
-
Решенията на уравненията, с които
се занимавахме преди,
-
бяха числа или поредица от числа,
може и числова редица.
-
Но решението на дадено
диференциално уравнение
-
всъщност ще е функция,
-
или клас от функции,
поредица от функции.
-
Така че ще отнеме малко време
да си го представиш,
-
но това е достатъчно
добър пример за показване.
-
Няма да решаваме това
диференциално уравнение аналитично.
-
Ще използваме интуицията си
от това, което направихме по-рано –
-
в миналото видео.
-
Ще използваме това, за да предположим
-
какво е решението на
това диференциално уравнение.
-
И после, ако проработи,
-
ще имаме малко повече интуиция,
-
след което всъщност ще знаем
какво е местоположението на тази пружина
-
във всеки един момент.
-
Вълнуващо е.
-
Това е едно диференциално уравнение.
-
Когато показахме нагледно позицията –
-
интуицията ни за нея с течение на времето
-
ни казва, че това е
косинусова функция, с амплитуда А.
-
Казахме, че това е равно на
A по косинус от омега t,
-
където това е ъгловата скорост на –
-
още не искам
да навлизам в подробности,
-
ще добием още малко
интуиция след секунда.
-
Сега това, което можем да направим,
-
е да изпитаме този израз, тази функция –
-
да видим дали тя удовлетворява това уравнение.
-
Е?
-
Ако имаме x от t, равно на
A по косинус от wt,
-
каква е производната на това, х прим от t?
-
Можеш да преговориш
видеата за производни,
-
за да си припомниш това.
-
Така, това е производната
на вътрешната част,
-
т.е. имаме това омега по външния скалар.
-
А по омега.
-
И после производната –
просто прилагам верижното правило –
-
производната на косинус от t е
минус синус от това, което е вътре.
-
Ще изнеса минуса отвън.
-
Т.е. това е синус от wt.
-
След това, ако търсим
втората производна –
-
това е x прим прим от t.
-
Нека тук оцветя в различен цвят,
за да не е монотонно.
-
Това е производната
на това, нали така?
-
А каква е производната на –
това са само скаларни величини, нали?
-
Тези тук са само константи.
-
Производната на това в скобите е омега.
-
Умножавам омега
по скаларната константа.
-
Получавам минус A по омега на квадрат.
-
След това производната на
синус е само косинус.
-
Но минусът още е там,
защото трябваше да започна с него.
-
Минус косинус от омега t.
-
Сега да видим дали това е така.
-
Ако е вярно, трябва да мога да кажа,
-
че m по втората производна на x от t,
-
което в този случай е това,
-
умножено по минус А по w
на квадрат по косинус от wt.
-
Това е равно на минус k
-
по оригиналната ни функция – по x от t.
-
А x от t e косинус от wt.
-
Мястото ми свършва.
-
Да се надяваме, че разбираш какво казвам.
-
Само заместих x прим
прим, втората производна,
-
в този израз и после заместих x от t,
-
където това е това, ето тук.
-
И сега получих това.
-
Да видим дали мога да го преобразувам.
-
Може би мога да се освободя
от пружината тук горе.
-
Опитвам се да потърся място.
-
Не искам да заличавам това,
защото мисля, че
-
ни дава известна интуиция
за това какво правим.
-
Днес е един от дните, в които
мечтая да имам по-голяма черна дъска.
-
Изтриваме пружината.
-
Надявам се, че запомни
изображението в главата си.
-
И мога да изтрия това.
-
Мога да го изтрия.
-
Мога да залича всичко това,
за да имам повече място,
-
без да премахвам тази хубава крива,
-
която начертах в миналото видео.
-
Почти така.
-
ОК.
-
Хайде пак на работа.
-
Вече имам малко повече място.
-
И така, всчико, което направих, беше –
-
казахме, че чрез константата
на пружината, ако запишем, че силата
-
е равна на масата по ускорението,
получаваме това.
-
Което определено е
диференциално уравнение,
-
само представих ускорението
като втора производна.
-
След това предположих, че това е x от t,
-
базирано на интуицията ни от схемата.
-
Направих предположение.
-
След това направих втората производна.
-
Това е първата производна,
това е втората производна.
-
След това заместих
с втората производна тук,
-
и заместих с функцията тук.
-
И получих това.
-
Сега нека видим дали мога
да опростя малко нещата.
-
И така, ако преобразувам тук,
-
ще получа минус mA по w на квадрат
-
по косинус от wt
-
е равно на минус kA по косинус от wt.
-
Е, добре изглежда досега.
-
Нека видим, можем да се освободим
от отрицателните знаци в двете страни.
-
От А-тата в двете страни.
-
Можем да разделим двете страни на А.
-
Нека това го оцветим в черно,
за да знаем, че със сигурност е заличено.
-
И така, ако се овободим от А от двете страни,
-
ни остава това.
-
След това – да видим,
имаме m по w на квадрат
-
по косинус от омега t
е равно на k по косинус от омега t.
-
Така, това уравнение е вярно,
ако е вярно какво?
-
Това уравнение е вярно,
ако m по w на квадрат,
-
или омега на квадрат
(мисля, че това е омега),
-
е равно на k.
-
Или друг начин да кажем това –
ако омега, повдигнато на квадрат,
-
е равно на k/m.
-
Или омега е равно на
корен квадратен от k/m.
-
И така, получихме го.
-
Разбрахме колко
трябва да е x от t.
-
Казахме, че това диференциално
уравнение е вярно,
-
ако това е x от t и омега
е равно на това.
-
Така сега намерихме
реалната функция, която описва
-
позицията на тази пружина
като функция на времето.
-
x от t ще е равно на –
правилно отсъдихме за А,
-
и това е просто интуиция –
точно така, защото амплитудата
-
на тази косинусова функция е A.
-
А по косинус – и вместо да пишем w,
-
сега можем да запишем
корен квадратен от k/m.
-
Корен квадратен от k/m, по t.
-
Това за мен е невероятно.
-
Сега е налице, без да използваме
толкова сложни изчисления,
-
цяло решено диференциално уравнение.
-
И сега мога, ако ми кажеш
при 5,8 секунди къде е x,
-
мога да ти кажа.
-
Обаче виждам, че
времето свършва,
-
така че ще се видим
в следващото видео.