30-60-90 Üçgenlerine Başlangıç

45-45-90 üçgenleriyle ilgili birkaç tane daha örnek ve 30-60-90 üçgenleri başlangıç

Sunuma öksürükle başladığım için özür dilerim.

Sanırım hala tamamen iyileşemedim.

Ama şu an 45-45-90 üçgenleriyle devam etmek istiyorum.

Önceki sunumda(videoda) 45-45-90 üçgenlerinde hipotenüs

olmayan diğer iki kenarın da

(kök 2)/2.hipotenüs olduğunu öğrendik.

Birkaç tane daha problem çözelim.

Eğer bu üçgenin hipotenüsüne

-tekrarlıyorum, bu sadece

45-45-90 üçgenleri için geçerli bir kural

ve eğer bir açıya 45 derece dersem

dik üçgen olduğu için diğer açı da 45 derece olacaktır.

Eğer burdaki hipotenüse

10 dersek,

biliyoruz ki bu kenar hipotenüs çünkü

dik açının karşısında.

sonra da size bu x dediğim kenarın kaç olduğunu sorardım

Biliyoruz ki x=(kök 2)/

(2 x hipo)

Yani bu (kök 2) / (2x10)

ya da x= (kök 2).5

Di mi?

10/2=5

Yani x= 5(kök 2)

ve biliyoruz ki bu iki kenar birbirine eş.

.

Sanırım bunu üçgenin bir ikizkenar üçgen olduğunu da biliyoruz çünkü

bu iki açı birbirine eşit.

yani bu kenarda 5(kök 2)ye eşit.

Eğer emin olamadıysanız deniyelim.

Pisagor teoremini deniyelim.

Pisagor teoreminden biliyoruz ki

(5(kök 2))^2 + (5(kök 2))^2 = hipo^2

ki hipotenüsümüz 10

ve bu durumda denklemimizin sağ tarafı 100 eder.

Bu ise 25.2

yani 50 ediyor

ve bu ikisini toplarsak denklemin sol tarafında da

100 elde ediyoruz.

Ki bunun da doğu sonuç olduğunu biliyoruz.

Yani teorem işe yaradı.

Bunu Pisagor teoremini kullanarak kanıtladık ve

aslında bu teorem de en başta bu formülü elde etmemizi

sağlayan şey.

Eğer bu formülü nasıl elde ettiğimizi unuttuysanız,

daha önceki videolara tekrar bakabilirsiniz.

Aslında şimdi başka bir üçgen çeşidi

tanıtacağım size.

Ve bunu yine aynı yöntemi kullanarak yani problem çözerek yapacağım

ve sonrasında da Pisagor teoremini kullanarak da

doğru yapıp yapmadığımızı kontrol edeceğiz.

Bu 30-60-90 dediğmiz başka

çeşit bir üçgen.

Eğer zamanımız kalmazsa da

başka bir sunum daha yapacağım.

Diyelim ki burda bir dik açım var.

Bu çok güzel olmadı ama ne varsa onu kullanacağız.

Bu dik açı.

Ve buraya da 30 derece diyeceğim.

Biliyoruz ki bir üçgenin iç açılarının

toplamı 180dir.

Yani eğer bu açı 30 derece, bu 90 derece ise buna da x diyelim

x+30+900=180 çünkü bir üçgenin iç açılarının

toplamı 180dir.

x=60 olduğu biliyoruz.

.

Yani bu açı 60 derece.

İç açıları 30-60-90 olduğu için bu üçgene

30-60-90 üçgeni diyoruz.

Ve eğer hipotenüse, her zaman

dediğimiz gibi c demek yerine, h diyelim ve diğer

kenarların ne olduğunu çözeceğiz, peki bunu nasıl yaparız?

Bunu az çok yine Pisagor teoremini

kullanarak yapabiliriz.

Ve şimdi burda küçük bir numara yapacağım.

Bu üçgenin bir kopyasını da buraya çizelim ama döndürüp

diğer tarafına çizelim.

Ve bu da aynı üçgen ama sadece

başka bir yöne bakıyor.

Değil mi?

Eğer bu açı 90 dereceyse biliyoruz ki bu iki

açı da bütünler .

Eğer bu konuyu unuttuysanız, açılar modülünü/vidoelarını tekrar etmek isteyebilirsiniz.

Burda aynı kenarı paylaşan iki açının

toplamı 180 derecedir.

Yani bu 90dır ve bu da 90 olacaktır.

Bunu göz kararı da anlayabilirsiniz.

Mantıklı oluyor.

Ve üçgeni döndürdüğümüz için de bu üçgen diğerinin

tamamen aynısı olacaktır.

Sadece diğer tarafa döndürüldü.

Bu açının da 30 derece olduğunu biliyoruz

ve bu açının da 60 olduğu biliyoruz.

.

Eğer bu açı 30 ve bu açı da 30 dereceyse

ayrıca biliyoruz ki burdan buraya uzanan

bu açı 60 derece oluyor.

Di mi?

Eğer bu açı 60 dereceyse, bu tepedeki açı da 60sa

sağdaki bu açı da 60 derecedir. Sonrasında ise

45-45-90 üçgeninden de öğrendiğimiz gibi biliyoruz ki

eğer bu açılar eşitse, ortak olmayan

kenarlar da eşit olmalı.

Hangi kenarlar ortak değil?

Ortak olmayan kenarlar ise bu ve bu.

Yani eğer bu h ise bu de h olacak.

.

Ama bu açı da 60 derece.

Eğer burdaki 60 derecelik açıya bakarsak ve bu 60 derecelik açıya

biliyoruz ki ortak olmayan bu kenar da h olacak.

Bu kenar ortak, yani ortak olmayan diğer iki kenar

bu kenar ve bu kenar.

Bu kenar h ve biliyoruz ki bu kenarda h.

Değil mi?

Eğer 60-60-60 derece iç açılı bir üçgenimiz varsa

tüm kenarlar birbirine eşit olmalı

yani bu bir eş kenar üçgen.

Bunu aklınızda tutun.

Bu da mantıklı çünkü bir eşkenar üçgen

neresinden bakarsanız bakın simetriktir.

Yani tüm açılarının aynı oluşu ve

tüm kenarların da eşit olmasını gerektirir.

Ama

bu problemin orijinal haliyle çözersek bu eşkenar

üçgenin yarısını kullanacağız.

Bu kenarın tamamının h olduğunu biliyoruz,

ve eğer tamamı h uzunluğuda ise, burası

yani asıl üçgenimizin tabanı

-bilerek karışık yapıyorum burayı.

Başka bir renk deniyelim.

Yani üçgenimizin tabanı bu kenarın yarısı kadar olmalı.

.

Çünkü bu yarım h/2dir ve buradaki diğer yarım da

h/2dir.

Eğer asıl üçgenimize geri dönersek ve bu açının

30 derece olduğunu ve bu kenarın hipotenüs olduğunu

-çünkü dik açının karşısındaki kenar- söylemiştik ve biliyoruz ki

30 derecenin karşısındaki kenar da hipotenüsün yarısı kadar, h/2.

Küçük bir hatırlatma, bunu nasıl yapmıştık?

Aynı üçgenden bir tane daha çizdik.

Bundan bir eşkenar üçgen oluşturduk.

Tüm bu kenarın hipotenüse

eşit olacağını hesapladık.

Ve bu da tüm kenarın yarısı,

yani h/2.

Aklımızda bulunsun.

30 derecenin karşısındaki kenar h/2 yani hipotenüsün yarısı.

Bunun tekrar yeni bir sayfaya çizeyim, çünkü gerçekten

çok karma karışık oldu.

Problemin ilk baştaki haline geri dönüyoruz.

Bu bir dik açı.

Bu kenar ise hipotenüs.

Eğer bu açı 30 dereceyse, bu açının karşısındaki kenarın

-sanki açının kenara doğru büyüdüğü/açıldığı gibi-

hipotenüsün yarısı olabileceğini h/2yi elde ettik.

Eğer bu kenar h/2 ye eşitse, bu kenar

neye eşit olacak?

Burda ise yeniden Pisagor teoremini kullanabiliriz.

Bu kenarın karesi ve bu kenarın karesinin -

buraya A diyelim- toplamının h^2ye eşit olduğunu biliyoruz.

Yani elimizde (h/2)^2 + (A^2)= h^2

Bu da (h^2)/4+A^2=h^2ye

eşittir.

Her iki taraftan da (h^2)/4'ü çıkarırız.

Bununla birlikte A^2=(h^2) - (h^2)/4 elde ederiz.

Bu da h^2(1- 1/4)a eşittir

Burası 3/4(h^2) olur

Bu da A'ya eşittir.

Burda yerim kalmadı bu yüzden buraya

geri dönüyorum.

Denklemin her iki tarfınında kare kökünü alıyoyuz ve A=

kök 3/4, (kök 3)/2yle

aynı şeydir.

Ve sonra da h^2nin kökü ise hdir.

Ve buradaki A -bu alan anlamında olmadığını unutmayın-

bu kenarı sembolize eden harf.

A kullanmamalıydım.

Ama A=(kök 3)/2.h

.

30-60-90 üçgenindeki bütün kenarların neden hipotenüsle

ilişkili olduğunu çözdük.

Burdaki açı 60 derece.

Eğer hipotenüsü biliyorsak ve üçgenin 30-60-90 üçgeni

olduğunu biliyorsak, 30 derecenin karşısındaki kenarın

hipotenüsün yarısına h/2ye eşit olacağını da biliyoruz.

Ve biliyoruz ki bu durumda 60 derecenin karşısındaki kenar ise

(kök 3)/2.h olacaktır.

Bir dahaki videoda bu bilgiyi nasıl kullanacağımızı

ki bunu hatırlamak isteyebilir ya da istemeyebilirsiniz ama

hatırlamak ve uygulamak sizin testlerde daha pratik olmanızı

sağlayacaktır- bunu nasıl daha hızlı problem çözmek

için kullanabileceğimizi

göstereceğim.

Bir dahaki sunumda görüşürüz.