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Desculpem-me por começar a apresentação tossindo.
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Acho que ainda estou com um bichinho na garganta.
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Mas agora quero continuar com os triângulos de 45, 45 e 90 graus.
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Na última apresentação aprendemos que qualquer lado de um
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triângulo de 45, 45 e 90 graus, que não seja a hipotenusa, é igual à
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raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes a hipotenusa.
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Vamos resolver mais alguns problemas.
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Se eu dissesse que a hipotenusa deste
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triângulo - repetindo, isto funciona apenas para
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triângulos de 45, 45 e 90 graus.
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E se eu desenhasse apenas um ângulo de 45 graus, você saberia que o outro ângulo
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também teria que ser 45 graus.
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Se eu dissesse que a hipotenusa aqui é,
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vamos ver, 10.
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Sabemos que é a hipotenusa porque está do lado oposto
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ao do ângulo reto
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Então eu perguntaria o que seria este lado, X.
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Bem, sabemos que X é igual à raiz quadrada de 2 sobre
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2 vezes a hipotenusa.
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Isto é, raiz quadrada de 2 sobre 2 vezes 10.
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Ou, X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2.
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Certo?
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10 dividido por 2.
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Logo X é igual a 5 vezes raiz quadrada de 2.
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E sabemos que este lado e este lado são iguais.
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Certo?
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Acho que sabemos que este é um triângulo isósceles porque
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estes dois ângulos são iguais.
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Também sabemos que este lado é 5 vezes raiz quadrada de 2.
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Se não tiver certeza é só tentar.
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Vamos usar o Teorema de Pitágoras.
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Sabemos, por meio do Teorema de Pitágoras, que 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado,
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mais 5 vezes raiz quadrada de 2 ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado,
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onde a hipotenusa é 10,
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é igual a 100.
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ou isto é 25 vezes 2.
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Isto dá 50.
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Isto é 100 aqui em cima.
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é igual a 100.
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E sabemos, é claro, que isto é verdadeiro.
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Logo funcionou.
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Provamos isto usando o Teorema de Pitágoras, e
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na verdade foi desta maneira que começamos com esta fórmula
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lá atrás.
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Talvez você queira rever alguma daquelas apresentações
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Se você esqueceu como chegamos a isto.
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Bem, agora vou apresentar um outro
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tipo de triângulo.
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Vou fazê-lo da mesma maneira, apresentando um problema
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e então usando o Teorema de Pitágoras
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para resolvê-lo.
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Este é um outro tipo de triângulo, chamado de
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triângulo de 30, 60 e 90 graus.
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E se você não tiver tempo para isto eu farei
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outra apresentação.
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Digamos que eu tenha um triângulo retângulo.
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Este não está tão bonito, mas vamos usar o que temos.
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Este é o ângulo reto.
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E se dissesse que este é o ângulo de 30 graus.
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Bem, sabemos que os ângulos em um triângulo
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tem que somar 180 graus.
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Logo se este é de 30, este é de 90 e digamos que este é X.
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X mais 30 mais 90 é igual a 180, porque os ângulos em
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um triângulo somam 180.
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Sabemos que X é igual a 60.
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Certo?
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Este é o ângulo de 60.
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E é por isto que se chama um triângulo de 30, 60 e 90 graus, porque
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são os valores dos três ângulos do triângulo.
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E se dissesse que a hipotenusa é, ao invés de
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chamá-la de C, como sempre fazemos, vamos chamá-la H, e
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quero saber os outros lados, como fazemos?
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Bem, podemos fazê-lo usando basicamente
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o Teorema de Pitágoras.
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E aqui vou usar um pequeno macete.
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Vamos redesenhar este triângulo, como um espelho
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do lado inverso.
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E este é o mesmo triângulo, só que virado
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para o outro lado.
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Certo?
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Se isto são 90 graus sabemos que estes dois
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ângulos são suplementares.
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Se você quiser pode revisar o módulo de ângulos se você esqueceu
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que estes dois ângulos que compartilham este mesma linha comum
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somam 180 graus.
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Este tem 90, este também tem 90 graus.
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Só de olhar se percebe
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que faz sentido.
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E como o viramos, este triângulo é exatamente
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o mesmo triângulo que este.
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Só está virado para o outro lado.
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Também sabemos que este ângulo é de 30 graus.
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e que este é de 60 graus.
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Certo?
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Bem, se este ângulo é de 30 graus e este ângulo é de 30
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graus, também sabemos que este ângulo maior, que vai
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daqui até aqui - é de 60 graus.
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Certo?
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Bem, se este é um ângulo de 60 graus, este ângulo do topo é de 60
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graus e este ângulo à direita é de 60 graus, então
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saberemos, por meio do teorema que aprendemos quanto fizemos
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os triângulos de 45, 45 e 60 graus, que se estes dois ângulos são iguais, então os
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lados não compartilhados por eles também tem que ser iguais.
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E quais são os lados não compartilhados por eles?
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Bem, são este lado e este lado.
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Logo, se este lado é H, este lado é H.
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Certo?
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Mas este ângulo também é de 60 graus.
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Então se olharmos para este ângulo de 60 graus e este ângulo de 60 graus,
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Saberemos que os lados não compartilhados por eles também são iguais.
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Bem, eles compartilham este lado, logo os lados não compartilhados por eles
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são este lado e este lado.
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Então este lado é H, também sabemos que este lado é H.
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Certo?
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Acontece que se você tem 60 graus, 60 graus
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e 60 graus todos estes lados têm a mesma medida, ou
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este é um triângulo equilátero.
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E isto é algo a se guardar na memória.
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E isto também faz sentido, porque um triângulo equilátero
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é simétrico, não importa como se olhe para ele.
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Logo faz sentido que todos os ângulos sejam iguais
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e que todos os lados tenham a mesma medida.
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Mas, hum.
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Quando originalemente fizemos este problema só usamos a metade
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deste triângulo equilátero.
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Logo sabemos que todo este lado aqui tem a medida H.
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Mas se todo este lado tem a medida H, este lado
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aqui, somente a base do nosso triângulo original - e estou
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tentando ser confuso de propósito,
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Tentamos outra cor.
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Este vai ser metade deste lado.
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Certo?
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Porque este é H sobre 2, e este também é H sobre 2.
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Bem aqui.
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Logo se voltarmos ao nosso triângulo original, e falamos
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que este ângulo é de 30 graus e esta é a hipotenusa
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porque está oposta ao ângulo reto, sabemos que o lado
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oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa.
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E só um lembrete, como fizemos isto?
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Bem, nós duplicamos o triângulo.
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O transformamos em um triângulo equilátero.
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Nos demos conta que todo este lado tem que medir o mesmo
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que a hipotenusa.
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e que este é a metade daquele lado inteiro.
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Logo é a metade da hipotenusa.
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Então vamos lembrar disto.
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O lado oposto ao ângulo de 30 graus é a metade da hipotenusa.
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Deixem-me redesenhar isto em outra página, porque acho que isto
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está ficando bagunçado.
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Voltando ao ponto que levantei originalmente.
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Este é o ângulo reto.
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Esta é a hipotenusa - este lado aqui.
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Se este ângulo tem 30 graus, nós apenas deduzimos que o lado oposto
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aos 30 graus - é como se fosse para onde o ângulo está se abrindo -
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que este é igual à metade da hipotenusa.
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Se isto é igual à metade da hipotenusa, então qual
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é o lado ao qual este se iguala?
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Bem, aqui podemos usar o teorema de Pitágoras novamente.
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Sabemos que este lado ao quadrado mais este lado ao quadrado - vamos
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chamar este lado de "A" - é igual a "H" ao quadrado.
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Logo temos 1/2H ao quadrado + A ao quadrado igual a H ao quadrado.
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Isto é igual a H ao quadrado sobre 4 + A ao quadrado
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igual a H ao quadrado.
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Bem, subtraímos H ao quadrado dos dois lados.
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Temos A ao quadrado igual a H ao quadrado menos H ao quadrado sobre 4.
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Logo isto é igual a H ao quadrado vezes 1 menos 1/4.
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Isto é igual a 3/4 H ao quadrado.
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E, de uma vez, isto é igual a A ao quadrado.
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O espaço está acabando, então vou
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para o lado de cá.
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Pegue a raiz quadrada de ambos os lados, e saberemos que A é igual
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a - a raiz quadrada de 3/4 é o mesmo que
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raiz quadrada de 3 sobre 2.
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E então a raiz quadrada de H ao quadrado é tão somente H.
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E este A - lembre-se, esta é uma área.
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Isto é o que determina o comprimento do lado.
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I provavelmente não deveria ter usado A.
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Mas isto é igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes H.
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Bem
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Deduzimos que todos os lados relativos à
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hipotenusa são de um triângulo de 30, 60 e 90 graus.
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Logo se este é o lado do ângulo de 60 graus.
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Se sabemos a hipotenusa e que este é um triângulo de 30, 60 e 90 graus
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Saberemos que o lado oposto ao ângulo de 30 graus
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é metade da hipotenusa.
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E sabemos que o lado oposto ao ângulo de 60 graus é
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igual à raiz quadrada de 3 sobre 2, vezes a hipotenusa.
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No próximo módulo mostrarei como, usando esta informação,
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que talvez queiras ou não memorizar - é provavelmente
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bom memorizar e praticar, porque o deixará
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muito rápido em testes padronizados - como podemos usar esta
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informação para encontrar os lados de um triângulo de 30, 60 e 90 graus
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muito rapidamente.
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Nos vemos na próxima apresentação.
