Introduktion til 30-60-90-trekanter

Et par flere eksempler på 45-45-90-trekanter og introduktion til 30-60-90-trekanter.

Velkommen til den her

video om trekanter.

Vi fortsætter med 45-45-90-trekanterne.

I den sidste video lærte vi,

at enhver side i 45-45-90-trekanter, der ikke er hypotenusen,

er kvadratroden af 2 over 2 gange hypotenusen.

Lad os lave et par opgaver mere.

De her regler

gælder kun for

45-45-90-trekanter.

Når vi tegner 1 vinkel på 45 grader, ved vi,

at den anden også er 45 grader.

Lad os sige,

at hypotenusen her er 10.

Vi ved, at det er hypotenusen,

fordi den ligger modsat den rette vinkel.

Hvad er den her side? Vi kalder den x.

Vi ved, at x er lig med kvadratroden

af 2 over 2 gange hypotenusen.

Det er altså kvadratroden af 2 over 2 gange 10.

x er lig med 5 kvadratrødder af 2.

.

Vi har divideret 10 med 2.

x er lig med 5 kvadratrødder af 2.

Vi ved,

at de her sider er lig med hinanden.

Vi ved, at den er ligebenet,

fordi de her 2 vinkler er ens.

Vi ved også, at den her side er 5 kvadratrødder af 2.

Man kan selv prøve.

Lad os prøve med Pythagoras læresætning.

Vi ved fra Pythagoras læresætning, at 5 kvadratrødder af 2 i anden

plus 5 kvadratrødder af 2 i anden er lig med hypotenusen i anden.

Hypotenusen er 10,

så det er 100.

Det her er altså 25 gange 2,

som er 50.

Den her er 100.

Den er lig med 100.

Vi ved, at det er sandt.

Det virkede altså.

Vi beviste det ved hjælp af Pythagoras,

og sådan kom vi i første omgang

faktisk frem til den her formel.

Hvis man har glemt, hvordan vi kom frem til den,

kan man gå tilbage til nogle af de tidligere videoer.

Nu skal vi faktisk

se på en ny slags trekant.

Vi gør det på samme måde

ved at løse en opgave

ved hjælp af Pythagoras.

Det her er en type trekant,

der hedder en 30-60-90-trekant.

Hvis vi løber tør for tid,

fortsætter vi i en ny video.

Her er en retvinklet trekant.

Den er ikke så pæn.

Den er retvinklet.

Den her vinkel er 30 grader.

Vi ved, at alle vinklerne i en trekant

sammenlagt giver 180 grader.

Hvis den her er 30, og den her er 90, kan vi kalde den her for x.

x plus 30 plus 90 er lig med 180.

Alle vinklerne giver sammenlagt 180.

I så fald ved vi, at x er lig med 60.

.

Den her vinkel er altså 60.

Derfor hedder den en 30-60-90-trekant.

Det angiver de 3 vinkler i trekanten.

Lad os kalde hypotenusen h i stedet for c,

som vi plejer.

Hvordan kan vi finde længden af de andre sider?

Dem kan vi sådan set finde ved hjælp

af Pythagoras læresætning.

Vi laver nu et lille trick.

Lad os lave en kopi af trekanten,

men vende den om.

Det er den samme trekant.

Den vender bare den anden vej.

.

Hvis den her vinkel er 90 grader,

må de 2 andre vinkler være supplementære.

Man kan eventuelt se nogle

af videoerne om vinkler,

hvis man ikke kan huske de supplementære vinkler.

Den her er altså 90 grader.

Det kan vi se på den.

Det giver mening.

Vi har vendt trekanten om.

Det er stadig den samme trekant.

Den er bare vendt til den anden side.

Vi ved også, at den her vinkel er 30 grader.

Til sidst ved vi, at den her vinkel er 60 grader.

.

Hvis de her vinkler er 30 grader,

ved vi også,

at den her større vinkel er 60 grader.

.

Hvis den her vinkel i toppen er 60 grader,

og vinklen til højre er 60 grader,

ved vi fra læresætningen om 45-45-90-trekanter,

at hvis 2 vinkler er ens,

er siderne de ikke har tilfælles også ens.

Hvilke sider har de ikke tilfælles?

Det er den her side og den her side.

Hvis den her side er h, må den her side også være h.

Den her vinkel er

også 60 grader.

Når begge de her vinkler er 60 grader,

må siderne de ikke har tilfælles være ens.

De har den her side tilfælles,

så de har ikke den her og den her side tilfælles.

Når den her side er h, må den her side altså også være h.

.

Hvis der altså er 60 grader 3 gange,

har alle siderne samme længde,

og så er trekanten ligesidet.

Det er klogt at have i baghovedet.

Det giver også mening,

for ligesidede trekanter er symmetriskd ligemeget måden, vi ser på dem på.

Alle vinklerne er ens,

og alle siderne er ens.

.

Da vi startede med den her opgave

brugte vi dog kun det halve af den her ligesidede trekant.

Vi ved, at hele den her sidelængde er h.

Hvad ved vi om den her side,

altså grundvinklen i den oprindelige trekant,

når den her længde er h?

.

Den må være det halve af den side.

.

Det her er h over 2, og det her er h over 2.

.

Lad os gå tilbage til den oprindelige trekant.

Den her er 30 grader, og det her er hypotenusen,

fordi den er modsat den rette vinkel.

Vi ved nu, at siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.

Hvordan kom vi frem til det?

Vi fordoblede trekanten.

Vi lavede det til en ligesidet trekant.

Vi fandt ud af,

at hele den her side må være det samme som hypotenusen.

Det her er det halve af hele den side.

Det er altså det halve af hypotenusen.

Lad os huske på det.

Siden modsat vinklen på 30 grader er det halve af hypotenusen.

Lad os tegne det på en ny side.

Det er ved at blive lidt rodet.

Lad os gå tilbage til det oprindelige.

Det her er en ret vinkel.

Den her side er hypotenusen.

Vi har lige fundet ud af,

at siden modsat vinklen på 30 grader

er lig med det halve af hypotenusen.

Hvis den er lig med det halve af hypotenusen,

hvad er den her side så lig med?

Her kan vi igen bruge Pythagoras læresætning.

Den her side i anden plus den her side i anden, som vi kalder a,

er lig med h i anden.

1/2 h i anden plus a i anden er lig med h i anden.

Det svarer til h i anden over 4 plus a i anden

er lig med h i anden.

Vi trækker h i anden fra på begge sider.

a i anden er lig med h i anden minus h i anden over 4.

Det er altså lig med h i anden gange 1 minus 1/4.

Det er lig med 3/4 h i anden.

Det er igen lig med a i anden.

Vi er ved at løbe tør for plads,

så lad os gå herover.

Vi tager kvadratroden af begge sider og får,

at a er lig med kvadratroden af 3/4,

som er det samme som kvadratroden af 3 over 2.

Kvadratroden er h i anden er h.

Det her a står ikke for areal.

a er længden af den her side.

Måske skulle vi have brugt noget andet end a.

Det er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange h.

Sådan.

Vi har nu fundet alle sidelængderne

i forhold til hypotenusen i 30-60-90-trekanter.

.

Hvis vi kender hypotenusen og ved, at det er en 30-60-90-trekant,

ved vi, at siden modsat vinklen på 30 grader

er lig med det halve af hypotenusen.

Vi er også kommet frem til, at siden modsat vinklen på 60 grader

er lig med kvadratroden af 3 over 2 gange hypotenusen.

I næste video skal vi se på,

hvordan vi kan bruge den viden.

Det er en god idé at øve sig i at huske

sideforholdene.

Vi kan bruge den viden til at finde sider

i 30-60-90-trekanter meget hurtigt.

Vi ses.