Úvod k 30-60-90 trojúhelníkům

Několik dalších úloh na 45-45-90 trojúhelníky a úvod k 30-60-90 trojúhelníkům.

Omluvám se, že jsem začal prezentaci kašláním.

Myslím, že stále ještě nejsem úplně fit.

Ale nyní chci pokračovat v 45-45-90 trojúhelnících.

V poslední prezentaci jsme se naučili,

že obě strany 45-45-90 trojúhelníku, z nichž ani jedna není přepona,

se rovnají (druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona.

Vypočítáme si ještě pár úloh.

Takže kdybych vám řekl, že přepona tohoto trojúhelníku

- Znovu. Toto platí pouze

pro 45-45-90 trojúhelníky.

A když nakreslím jeden úhel 45 stupňů, tak víte,

že ten druhý úhel bude také 45 stupňů.

Kdybych vám řekl,

že tato přepona je, řekněme, 10...

- víme, že tohle je přepona,

protože je naproti pravému úhlu -

...a pak bych se vás zeptal, jak velká je tato strana x.

Víme, že x se rovná

(druhé odmocnině ze 2/2) krát přepona,

takže to je (druhá odmocnina ze 2/2) krát 10.

Nebo x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2.

Ano?

10 děleno 2.

Takže x se rovná 5 krát druhá odmocnina ze 2.

A víme, že tato strana a tato strana jsou stejné.

Ano?

Hádám, že víme, že toto je rovnoramenný trojúhelník,

protože tyto dva úhly jsou stejné.

Také víme, že tato strana je 5 krát druhá odmocnina ze 2.

A jestli si nejste jisti, tak si to vyzkoušejte.

Pojďme vyzkoušet Pythagorovu větu.

Z Pythagorovy věty víme, že (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou

plus (5 krát druhá odmocnina ze 2) na druhou se rovná přeponě na druhou

a přepona je 10,

takže se to rovná 100.

Nebo je to prostě 25 krát 2,

což je 50,

plus 25 krát 2 - (Tady nahoře má být 100.)

- a to se rovná 100.

A samozřejmě víme, že je to pravda.

Fungovalo to.

Dokázali jsme to použitím Pythagorovy věty

- takhle jsme vlastně přišli na tento vzorec.

()

Možná se chcete vrátit k jedné z těch prezentací (o Pythagorově větě),

jestli jste zapomněli, jak jsme na to přišli.

Nyní se totiž chystám představit další

druh trojúhelníků.

A udělám to stejným způsobem jako doposud - prostě napíšu úlohu,

a pak ji s pomocí Pythagorovy věty vyřešíme.

()

Toto je další druh trojúhelníku

zvaný 30-60-90 trojúhelník.

A když mi na to nezbude čas,

tak udělám další prezentaci.

Řekněme, že mám pravoúhlý trojúhelník.

Tehle není zrovna krásný, ale budeme pracovat s tím, co máme.

Toto je pravý úhel.

A kdybych vám řekl, že tento úhel má 30 stupňů...

Víme, že úhly v trojúhelníku

musí v součtu dát 180 stupňů.

Takže když tenhle je 30, tenhle 90 a řekněme, že tenhle je x,

tak x plus 30 plus 90 se rovná 180,

protože úhly v trojúhelníku nám v součtu dají 180.

Víme, že x se rovná 60.

Ano?

Takže tento úhel má 60 stupňů.

A proto se tomu říká 30-60-90 trojúhelník,

protože takové jsou velikosti jeho tří úhlů.

A kdybych vám řekl, že přepona je...

- místo abychom jí říkali C (jako vždycky), tak jí budeme říkat h -

a chci, abyste vypočítali zbývající strany. Jak to uděláme?

Můžeme to vypočítat za pomoci

Pythagorovy věty.

A teď udělám malý trik.

Nakreslím si další kopii tohoto trojúhelníku, ale obrátím ho

a nakreslím ho obráceně.

A tohle je ten samý trojúhelník, akorát obrácený

na druhou stranu.

Ano?

Když je tohle úhel 90 stupňů, tak víme,

že tyhle dva úhly jsou vedlejší.

Mohli byste si zopakovat modul o úhlech,

jestli jste zapomněli, že dva úhly, které sdílí jednu stranu,

dají v součtu 180 stupňů.

Takže tohle je 90 a tohle bude taky 90.

A můžete se na to podívat.

Dává to smysl.

A i když jsme ho otočili, tak tenhle trojúhelník

je úplně stejný jako tenhle trojúhelník.

Je jen otočený na druhou stranu.

Víme, že tento úhel je 30 stupňů.

A také víme, že tento úhel je 60 stupňů.

Ano?

Když je tenhle úhel 30 stupňů a tenhle úhel také 30 stupňů,

tak víme, že tenhle větší úhel - který se táhne odsud

až sem - je 60 stupňů.

Ano?

Jestli je tenhle úhel 60 stupňů, tenhle nahoře 60 stupňů

a tenhle vpravo také 60 stupňů,

tak z teorie, kterou jsme se naučili, když jsme řešili 45-45-90 trojúhelníky,

víme, že když jsou tyto dva trojúhelníky stejné,

tak strany, jež tyto úhly nesdílí, musí být také stejné.

Takže jaké jsou ty strany, které nesdílí?

Tahle strana a tahle strana.

Takže když je tahle strana h, tak tahle strana je také h.

Ano?

Ale tento úhel je také 60 stupňů.

Takže když se podíváme na tenhle úhel o velikosti 60 stupňů a tenhle úhel o veliosti 60 stupňů,

tak víme, že strany, jež tyto úhly nesdílí, jsou také stejné.

Tuhle stranu sdílí, takže strany, jež nesdílí,

jsou tato strana a tato strana.

Tahle strana je h a víme, že tahle strana je také h.

Ano?

Takže se ukázalo, že když máte trojúhelník, ve kterém jsou úhly o velikostech 60 stupňů, 60 stupňů

a 60 stupňů, tak všechny jeho strany jsou stejně dlouhé,

takže to je rovnostranný trojúhelník.

A to je něco, co byste si měli pamatovat.

Dává to smysl, protože rovnostranný trojúhelník

je symetrický bez ohledu na to, jak se na něj díváte.

Takže dává smysl, že jsou všechny úhly stejné

a všechny strany stejně dlouhé.

Ale...hmm.

Když jsme původně řešili tuto úlohu,

tak jsme počítali pouze s polovinou tohoto rovnostranného trojúhelníku.

Víme, že celá tahle strana má délku h.

Ale jestli má celá ta strana délku h,

tak tato strana (základna našeho původního trojúhelníku)

- a začmárávám to schválně.

Zkusili jsme jinou barvu.

Tohle bude polovina té strany (strany h).

Ano?

Protože to je h/2 a tohle je také h/2.

Přímo tady.

Takže když se vrátíme k našemu původnímu trojúhelníku,

tak jsme si řekli, že tento úhel má 30 stupňů, a že toto je přepona,

protože to je strana naproti pravému úhlu.

Víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů je polovina přepony.

A jen na připomenutí...Jak jsme na to přišli?

Zdvojnásobili jsme ten trojúhelník,

čímž jsme z něj udělali rovnostranný trojúhelník.

Přišli jsme na to, že celá tahle strana musí být stejně dlouhá

jako přepona.

A tohle je polovina z celé té strany,

takže to je polovina z přepony.

Pamatujte si to.

Strana naproti úhlu 30 stupňů je dlouhá jako polovina přepony.

Překreslím to na jiné straně, protože si myslím,

že to začíná být nepřehledné.

Takže zpět k tomu, co jsme řešili původně.

Tohle je pravý úhel.

Tohle je přepona - ta strana tady.

Jestli je tohle úhel 30 stupňů, tak jsme právě odvodili,

že strana naproti úhlu 30 stupňů - to je ta strana, na kterou se ten úhel jakoby otvírá -

se rovná polovině přepony.

Když se tohle rovná polovině přepony,

tak čemu se rovná tato strana?

V tomto případě můžeme znovu použít Pythagorovu větu.

Víme, že tahle strana na druhou plus tahle strana na druhou -

pojďmě jí říkat A - se rovná h na druhou.

Takže máme, že polovina h na druhou plus A na druhou se rovná h na druhou.

Tohle se rovná h na druhou/4...plus A na druhou,

se rovná h na druhou.

Když od obou stran odečteme h na druhou,

tak dostaneme, že A na druhou se rovná h na druhou mínus (h na druhou/4).

To se rovná (h na druhou krát) 1 mínus 1/4,

což se rovná 3/4 z h na druhou.

A znovu...→ to se rovná A na druhou.

Už mi dochází místo, takže to napíšu až sem.

()

Odmocněte obě strany a dostanete, že A se rovná...

- odmocnina z 3/4 je to samé jako (odmocnina ze 3)/2

()

a odmocnina z h na druhou je prostě h.

Takže A - a pamatujte si, že to neoznačuje obsah (v Americe se písmeno A používá pro označení obsahu).

Tohle rozhoduje o délce strany.

Asi jsem neměl použít A.

Ale tohle se rovná (druhé odmocnině ze 3/2) krát h.

Takže tak.

Odvodili jsme, jak dlouhé jsou strany v 30-60-90 trojúhelníku ve vztahu k přeponě.

()

Takže tohle je strana naproti úhlu 60 stupňů-

Když víme, jak je dlouhá přepona, a víme, že tohle je 30-60-90 trojúhelník,

tak také víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů

je polovina přepony.

A víme, že strana naproti 60 stupňů

je (druhá odmocnina ze 3/2) krát přepona.

V dalším modulu vám ukážu, jak s touto informací, kterou si můžete (ale nemusíte) zapamatovat, pracovat.

Pravděpodobně je dobré si to zapamatovat a procvičit si to,

protože pak budete rychle počítat při standardizovaných testech.

→ Jak použít tuhle informaci,

abychom rychle vypočítali strany 30-60-90 trojúhelníku.

()

Uvidíme se u další prezentace.