Similar triangles

Привет!

Сейчас мы познакомимся с понятием

подобных треугольников.

Давайте я это запишу: «подобные треугольники».

Что значит "подобный" в повседневной жизни?

Ну, если две вещи подобные, то они как бы одинаковые,

но всё-таки не одно и то же,

т.е. они не идентичны, правильно?

Это же верно и для подобных треугольников.

Итак, подобные треугольники – это треугольники,

у которых все углы равны.

Для примера я сейчас нарисую два подобных треугольника.

Я попытаюсь сделать их почти одинаковыми,

потому что они должны выглядеть почти одинаковыми,

только разве что разных размеров.

Вот один, и второй я нарисую вот здесь.

Я сделаю его поменьше, чтобы показать вам,

что они не обязательно должны быть одного размера,

главное – одной формы.

Я представляю себе подобные треугольники как просто треугольники,

которые можно уменьшить, увеличить или повернуть,

но углы в них соответственно равны.

Т.е. у них одинаковая форма.

Вот, к примеру, эти два треугольника.

Если бы я вам сказал, что этот угол

(и так это объясняется в классе),

что этот угол и этот угол равны,

и этот угол равен этому углу.

Вот, что выясняется:

что этот угол будет равен этому углу.

Почему это так? Ну, потому что, если два угла равны,

значит третий тоже будет равен, так?

Потому что сумма всех трёх углов – это 180.

К примеру, если это х, это у, тогда третий должен быть 180-х-у, правильно?

Наверное, вам трудно рассмотреть,

я мелко написал.

Но здесь то же самое. Этот х, этот у,

тогда третий угол равен 180-х-у, правильно?

Тогда, если мы знаем,

что два угла одинаковы в этих двух треугольниках,

значит, третьи углы также будут одинаковы.

Т.е. мы можем сказать, что этот угол идентичен этому углу.

И если все углы одинаковы, тогда мы знаем,

что мы имеем дело с подобными треугольниками.

Что же полезного мы можем извлечь,

зная, что треугольники подобные?

Мы можем использовать эту информацию,

чтобы выяснить длину некоторых сторон треугольника.

Даже если стороны треугольников не равны,

соотношение соответствующих сторон будет одинаковым.

Я знаю, что вас запутал. Давайте я приведу пример.

К примеру, скажем, эта сторона равна 5. А эта сторона…

не знаю, просто выберу какое-нибудь число - 6.

И, скажем, что это сторона будет равна 7, так?

Еще скажем, что мы знаем, что эта сторона равна 2.

Мы знаем, что соотношение соответствующих сторон

одно и то же.

Так, если мы посмотрим на эти два треугольника,

они совершенно разных размеров,

но у них есть соответствующие стороны.

Например, вот это сторона соответствует этой стороне.

Откуда мы это знаем? В данном случае,

так уж получилось, что они одинаково расположены.

Но мы это знаем потому, что эти стороны

находятся напротив одинаковых углов, правильно?

Эта – напротив угла у, и эта тоже – напротив угла у.

Этот треугольник, должно быть, слишком мал,

и вам не видно, но я надеюсь, что вы понимаете,

о чём я говорю. Вот это – соответствующие стороны.

Таким же образом вот эта синяя сторона

и эта синяя сторона – соответствующие стороны.

Почему? Это не потому,

что эти стороны расположены слева вверху,

ведь мы могли бы повернуть их как угодно.

Это так потому, что они лежат напротив одинаковых углов.

Я так всегда себе представляю подобные треугольники.

Это хороший подход, особенно,

если вы начинаете заниматься тригонометрией.

Хорошо, что это нам дает?

Соотношения между соответствующими сторонами всегда равны.

Предположим, мы хотим выяснить длину этой стороны

в этом маленьком треугольнике.

Есть множество способов сделать это.

Мы могли бы взять соотношение

между этой стороной и этой стороной:

х/7 будет равен соотношению между этими сторонами,

т.е. равен 2/5.

И теперь мы можем решить эту пропорцию.

И мы можем это осуществить только потому...

у вас не получится это со случайными треугольниками,

у вас это сработает только

с подобными треугольниками.

Найдем х.

Умножим обе части на 7. Получаем: х=14/5.

Т.е. чуть меньше 3.

14/5 – это где-то 2,8. И это равно х.

Мы можем проделать то же самое,

чтобы найти эту жёлтую сторону.

Итак, если вы знаете, что два треугольника подобны,

вы знаете все стороны одного треугольника,

вы знаете одну сторону другого треугольника,

значит, вы можете найти оставшиеся стороны.

Я думаю, я вас запутала с этим,

но ладно, продолжим. Вот эта сторона, назовём её у.

И пойдём тем же путём. Мы можем сказать, что у/6=2/5.

Причем, если сторона этого треугольника

находится в знаменателе слева,

тогда сторона этого же треугольника

должна быть в знаменателе справа.

Если сторона одного треугольника

находится в числителе слева от знака равно

(речь идет о маленьком треугольнике,

чья сторона стоит в числителе),

тогда его же вторая сторона

будет в числителе справа от знака равно.

Я просто хочу убедиться,

что вы согласовываете данные.

Если вы поменяете их местами,

то это просто всё испортит.

Итак у=12/5.

Давайте используем эту информацию о подобных треугольниках,

чтобы решить некоторые задачи.

Применим те понятия геометрии,

которые мы недавно выучили.

У меня есть две параллельные линии.

Потом вот такая линия и одна вот такая линия.

И что я сказала? Я сказала, что прямые параллельны,

т.е. эта прямая параллельна этой прямой.

И я хочу узнать, если эта сторона равна 5, чему тогда...

скажем, что длина этой стороны равна 5, а длина этой

(давайте другим цветом нарисую),

длина этой стороны, скажем – 8.

Я хочу знать, чему будет равна эта сторона.

Нет, не совсем так,

давайте-ка я вам дам ещё одну сторону,

чтобы вы узнали всё об этом треугольнике.

Скажем, что эта сторона равна 6,

и я хочу узнать, чему равна эта сторона здесь.

Фиолетовая сторона.

Как это сделать?

Перед тем, как мы создадим пропорцию,

мы должны доказать себе (да и вообще доказать),

что эти треугольники подобны.

Как нам это сделать?

Давайте посмотрим, сможем ли мы выяснить,

какие углы равны каким углам.

У нас есть этот угол. Равен ли этот угол

какому-нибудь из трёх углов в этом треугольнике?

Да, конечно. Он равен этому углу,

т.к. они вертикальные, правильно?

Мы знаем, что сторона напротив –

это его соответствующая сторона,

т.е. мы знаем, что она соответствует…

мы не знаем её длину, но мы знаем,

что она соответствует этой стороне,

которая равна 8, правильно?

Ой, я забыла вам еще кое-что сказать.

Я забыла сказать, что эта сторона -

давайте я выберу нейтральный цвет -

скажем, равна 4.

Вернёмся к решению. Мы только что выяснили,

что эти два угла равны и

что эта сторона соответствует этому углу.

Итак, есть ли здесь другие углы, которые равны?

Предположим, мы знаем, чему равен этот угол.

Я обозначу его двумя чёрточками.

Есть ли в этом треугольнике угол,

который равен этому углу? Конечно!

Мы знаем, что эти прямые параллельны,

поэтому мы можем использовать

свойство внутренних накрест лежащих углов,

чтобы определить, какой из этих углов равен нашему углу.

Но я только что посмотрел на время и понял,

что нужно закругляться.

Поэтому я продолжу с решением в следующем видео.