Визуализиране на ред на Тейлър за е^х
-
0:01 - 0:06Дадена ни е функцията f(х) = е^х.
-
0:06 - 0:08За да добием представа за нея,
-
0:08 - 0:13ще скицирам грубо графиката
на f(х) = е^х. -
0:13 - 0:18Ще изглежда горе-долу така.
-
0:19 - 0:21Това е е^х
-
0:21 - 0:23Искам да намерим
приближението на -
0:23 - 0:31f(х) = е^х с помощта
на ред на Тейлър. -
0:31 - 0:33Искам да направим това
обаче не за х = 0, -
0:33 - 0:37искам да го направим за х = 3,
-
0:37 - 0:40просто една произволна стойност.
-
0:40 - 0:42Значи ще го направим за х = 3.
-
0:42 - 0:45Това е х = 3, ето тук.
-
0:45 - 0:49Това е f(3), което
е равно на е^3. -
0:49 - 0:52Това тук е е на трета степен.
-
0:52 - 0:55Когато развиваме реда
на Тейлър, -
0:55 - 0:59ако имаме полином от нулева степен,
който апроксимира функцията, -
0:59 - 1:03най-доброто, което можем да направим,
е да вземем константна функция, -
1:03 - 1:05която преминава точно през е^3.
-
1:05 - 1:10Ако правим апроксимация
от първа степен, -
1:10 - 1:12значи имаме член от първа степен,
-
1:12 - 1:15тогава това ще бъде
допирателна. -
1:15 - 1:16И като добавяме още
членове от по-висока степен, -
1:16 - 1:19можем евентуално да
постигнем крива, която -
1:19 - 1:22е все по-близка до кривата
на функцията. -
1:22 - 1:26В бъдеще ще говорим повече
как изследваме за сходимост, -
1:26 - 1:29колко добре сме направили
приближението и всичко от сорта. -
1:29 - 1:31След всичко казано дотук,
да приложим формулата, -
1:31 - 1:35която, надявам се, ти е
вече позната от предходното видео. -
1:35 - 1:38Редът на Тейлър за функцията
f(х) = е^х -
1:38 - 1:43представлява полином.
-
1:43 - 1:45Колко е f(с)?
-
1:45 - 1:46Ако х е равно на 3, тогава
-
1:46 - 1:49в този случай
стойността на нашето с е 3. -
1:49 - 1:53Ако с = 3, f(3) = е^3.
-
1:53 - 1:58Значи става е^3 плюс...
колко е производната f'(с)? -
1:58 - 2:01f'(х) е равно на е^х.
-
2:01 - 2:03Намираме производната на
е^х, която е е^х. -
2:03 - 2:06Това е едно от най-хубавите
неща относно е^х. -
2:06 - 2:08Значи това е също и f'(х).
-
2:08 - 2:12Това е равно всъщност и
на n-тата производна на f(х). -
2:12 - 2:14Мога да продължа да намирам
производните на това, -
2:14 - 2:16и ще получаваме винаги е^х.
-
2:16 - 2:18Значи f'(х) е е^х.
-
2:18 - 2:23Изчисляваме това за х = 3,
и получаваме е^3 отново, -
2:23 - 2:30по (х – 3), с е 3,
плюс втората производна. -
2:30 - 2:31Функцията отново е e^х.
-
2:31 - 2:35Изчисляваме за 3, и
получаваме е^3 върху 2!, -
2:35 - 2:40по (х – 3) на втора степен.
-
2:40 - 2:41И можем да продължим.
-
2:41 - 2:43Третата производна е
отново e^x. -
2:43 - 2:46Изчисляваме това за 3.
В този случай с е равно на 3. -
2:46 - 2:50Получаваме е^3 върху 3!
-
2:50 - 2:53по (х – 3)^3.
-
2:53 - 2:54Можем да продължим по
същия начин, но -
2:54 - 2:56смятам, че разбираш
принципа. -
2:56 - 2:59Но това, което е още
по-интересно -
2:59 - 3:01от простото развиване
на полинома, -
3:01 - 3:05е да видим, че като добавяме
още и още членове, -
3:05 - 3:08той започва да се приближава
все по-добре до е^х. -
3:08 - 3:12Нашето приближение става
все по-добро все по-далеч -
3:12 - 3:14от точката х = 3.
-
3:14 - 3:17За да видим това, аз използвах
инструмента WolframAlpha, -
3:17 - 3:20който е на сайта wolframalpha.com.
-
3:20 - 3:24Мисля, че въведох ред
на Тейлър -
3:24 - 3:27за функцията е^х за х = 3.
-
3:27 - 3:29Софтуерът разбра какво
ми трябва и ми даде -
3:29 - 3:30всичко това ето тук.
-
3:30 - 3:32И всъщност изчисли реда на Тейлър.
-
3:32 - 3:33Можеш да видиш, че
е идентичен -
3:33 - 3:38с това, което получихме тук,
е^3 плюс е^3(х –3). -
3:38 - 3:42Имаме е^3 + е^3(х – 3) + 1/2.
-
3:42 - 3:44Те всъщност са
изчислили факториела. -
3:44 - 3:46Вместо 3! са написали 6.
-
3:46 - 3:48И тук са дали много членове.
-
3:48 - 3:50Но това, което е още
по-интересно, е че те -
3:50 - 3:56са начертали всеки от тези полиноми
с все повече и повече членове. -
3:56 - 3:58В оранжево имаме е^х.
-
3:58 - 4:01Това е f(х) = е^х.
-
4:01 - 4:05После ни казват: степен
на апроксимация, -
4:05 - 4:07показана с n на брой точки.
-
4:07 - 4:10Значи степента на апроксимация,
-
4:10 - 4:14това тук е случаят, в който
имаме полином от първа степен, -
4:14 - 4:17това е буквално –
полином от първа степен -
4:17 - 4:19са тези два члена ето тук.
-
4:19 - 4:21Понеже това е нулева степен,
това е първа степен. -
4:21 - 4:25Имаме х^1 ето тук.
-
4:25 - 4:28Ако трябва да начертаем това –
ако това е нашият полином, -
4:28 - 4:30тук е кодирано с една точка.
-
4:30 - 4:34Това е тази крива,
с една точка, ето тук, -
4:34 - 4:36поставили я са точно ето тук.
-
4:36 - 4:39Виждаме, че това е просто
една допирателна права -
4:39 - 4:42за х = 3.
-
4:42 - 4:45Това тук е х = 3,
това е допирателна права. -
4:45 - 4:49Ако добавим още един член,
ще получим полином от втора степен, -
4:49 - 4:52защото добавяме х^2.
-
4:52 - 4:54Ако разкрием скобите тук, ще
получим член от втора степен, -
4:54 - 4:56и после ще имаме
друг член, съдържащ х, -
4:56 - 4:59но степента на полинома
сега е втора степен. -
4:59 - 5:00Да видим сега крива с две точки.
-
5:00 - 5:03Трябва да е ето тази.
-
5:03 - 5:06Да видим, две точки.
-
5:06 - 5:08Тук има една, две точки.
-
5:08 - 5:12Имаме две точки, идва насам.
-
5:12 - 5:14Графиката е парабола.
-
5:14 - 5:17Това е полином от втора
степен, който после идва ето така. -
5:17 - 5:21Но обърни внимание, че това е по-точно
приближение, особено около х = 3, -
5:21 - 5:23по-близко е до
графиката на функцията. -
5:23 - 5:26Тази крива следва графиката
на функцията малко по-дълго. -
5:26 - 5:31Ако добавим още един член –
ще използвам нов цвят, -
5:31 - 5:33който не съм използвал досега.
-
5:33 - 5:36Добавяме нов член и става
полином от трета степен. -
5:36 - 5:37Ако комбинираме тези,
-
5:37 - 5:40ако това е нашият полином,
който трябва да начертаем, -
5:40 - 5:42да потърсим тук
кривата с три точки. -
5:42 - 5:44Една, две, три.
-
5:44 - 5:46Това е тази крива.
-
5:46 - 5:50На полином от трета степен
съответства тази крива ето тук. -
5:50 - 5:52Забележи, че тази крива
започва да се приближава -
5:52 - 5:55към х още по-бързо от
тази на полинома от втора степен. -
5:55 - 6:01И я следва малко по-дълго.
-
6:01 - 6:03И се получава ето това.
-
6:03 - 6:07Добавяме още един член от
четвърта степен. -
6:07 - 6:10Сега имаме всичко това
плюс всичко това тук. -
6:10 - 6:11Ако това е нашият полином,
-
6:11 - 6:14сега съответстващата му
крива е ето тази. -
6:14 - 6:16Забележи, че всеки път,
когато добавяме член, -
6:16 - 6:18приближението става
все по-точно и по-точно -
6:18 - 6:22спрямо кривата e^х и в области,
по-отдалечени от х = 3. -
6:22 - 6:25И ако добавим още един член,
получаваме този полином. -
6:25 - 6:27Надявам се, че това
е достатъчно, за да се убедиш, -
6:27 - 6:29че се приближаваме все повече и повече,
колкото повече членове добавяме. -
6:29 - 6:32Така че можеш да си представиш
дяволски доброто приближение, -
6:32 - 6:38което ще получим, когато
прибавим безкраен брой членове.
- Title:
- Визуализиране на ред на Тейлър за е^х
- Description:
-
Апроксимация на e на степен х с полином на Тейлър, центриран в х = 3. Във видеото намираме първите няколко члена на такъв полином и построяваме графиката, за да видим колко близо се приближава до графиката на е на степен х. Създаден от Сал Кан.
Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/evaluating-taylor-polynomial-of-derivative?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign = APCalculusBC
Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/lagrange-error-bound-exponential-example?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
За Кан Академия: Кан Академия предлага практически упражнения, видеоуроци и лично учебно пространство, където учениците могат да учат със собствено темпо както в класната стая, така и извън нея. Покриваме математика, наука, програмиране, история, история на изкуството, икономика и други. Нашите математически мисии напътстват учениците още от детската градина чак до момента, в който им се налага да използват математически анализ. За да постигнем това, използваме модерни, адаптиращи се технологии, които намират силните и слабите страни на всеки ученик. Също така си партнираме с институции като НАСА, Музея за модерно изкуство, Калифорнийската академия на науките и Масачузетския технологичен институт, за да съумеем да предложим конкурентно специализирано съдържание.
Безплатно. За всекиго. Завинаги. #YouCanLearnAnything
#МожешДаНаучишВсичкоАбонирай се за канала Математически анализ 2 на Кан Академия:
https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
Каналът на Кан Академия на български език е:
https://www.youtube.com/user/KhanAcademyBulgarian - Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 06:38
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Visualizing Taylor Series for e^x | ||
Amara Bot edited Bulgarian subtitles for Visualizing Taylor Series for e^x |