Векторно произведение и въртящ момент

Векторното произведение и посока на въртящия момент.

Във всички задачи за въртящ момент,
които съм представял досега

в плейлиста по физика, ние само
определяхме големината на въртящия момент,

просто защото реално
само тя е от значение,

но въртящият момент е всъщност вектор

и неговата посока може да бъде намерена.

И това е защото въртящият момент
е определен като векторното произведение

на радиалното разстояние от оста на въртене

и въртящата сила, която се прилага.

Така че тези двете са вектори.

И нека си припомним какво
ти казах за векторите първия път

и след това ще ти покажа,
че това е същото нещо,

като това, което правим и тук
с векторното произведение.

С изключението, че сега заедно
с векторното произведение,

освен големината на въртящия момент,
ще получим и посоката.

Но ще видим също и че тази е посока е малко –

е просто определение на посоката
на въртящия момент.

Не знам доколко е лесно да се разбере.

Но какво ти казах преди за въртящия момент?

Е, нека кажем, че имам някакво рамо,

което може да е стрелка на часовник

или да е прикована към тази стена.

Така че да може да се върти около този обект.

И след това – нека сменим малко цветовете,

че цикламеното започна
да става малко неприятно.

Нека кажем, че на някакво
разстояние r от опорната точка –

нека да бъде 10.

Това е r и големината му е 10.

На някакво разстояние 10
от опорната точка прилагам сила F

и F ще е в жълто.

Прилагам сила F.

Нека да я начертая в права линия.

Прилагам сила F под някакъв ъгъл.

Това е силата ми F.

Тя също е вектор – има големина и посока.

Да кажем, че r е 10 метра и

нека силата, която прилагам, да е 7 нютона.

Нека го направя по-интересно.

Нека силата да е корен от 3N.

И го направих така, просто защото си мисля,

че числата ще излязат точни.

Нека кажем, че ъгълът между силата и рамото,

което се върти – нека работим
в радиани този път.

Нека е π/3 или ако искаш да си го представиш,

това е 60 градуса.

π/3 радиана е равно на тита.

И базирано на това, което
вече знаем за въртящ момент,

колко е той около опорната точка ?

Или колко въртящ момент
е приложен от тази сила

И когато учим за въртящ момент, осъзнаваме,

че всъщност единствената
сложна част на тези задачи е,

че не умножаваме цялата въртяща сила

по разстоянието от оста на въртене.

Трябва да умножим компнентата на силата,

която всъщност извършва въртенето,

или компонентата, която е препендикулярна
на въртящото се рамо,

или перпендикулярна на рамото на силата.

Как да намерим това ?

Първо, компонентата на тази сила,
която е перпендикулярна на това рамо –

мога да го начертая тук.

Нека видим – ще изглежда нещо такова.

Ето така.

Можех да го начертая там,

можех да го начертая и тук, нали ?

Това ще е компонентата,

която е перпендикулярна на въртящото се рамо.

А компонентата, която е успоредна,
ще е тази, но това не ни касае.

Това не допринася за въртенето.

Единственото, което допринася за въртенето,

е тази компонента на силата.

И каква е големината на вектора тук ?

Компонентата на вектор F,
която е перпендикулярна на това рамо.

Ако този ъгъл – нека начертая
малък триъгълник тук долу.

Ако това е корен квадратен от 3,

това е π/3 радиана или 60 градуса.

Това е прав ъгъл, това е π/3.

Знам, че трудно за четене.

Каква е дължината ето тук?

Това е триъгълник от вида 30-60-90

и знаем, че дължината тук –
има няколко начина,

по които можем да мислим за това.

Сега вече знаем тригонометрия,
знаем че това е просто

корен квадратен от 3 по синус от π/3,

или синус от 60 градуса,
който е равен на корен квадратен от 3.

Синус от π/3 или синус от 60 градуса

e корен квадратен от 3/2.

И корен квадратен от 3
по корен квадратен от 3

е просто 3, така че
това е равно на 3/2.

Големината на вектора на силата,
който е перпендикуларен –

компонентата, която е перпендикулярна
на рамото, е 3/2 нютона.

И сега може да определим
големината на въртящия момент.

Тя е 3/2 нютона по 10 метра.

Знаем големината на въртящия момент,

и ще бъда малко по-внимателен
с моето означаване сега,

за да ти припомня, че
въртящият момент е всъщност вектор,

или можеш да го разглеждате като –
някои използват термина "псевдовектор",

защото е нещо като... няма значение.

Каква е големината
на вектора на въртящия момент?

Тя е 3/2 нютона по разстоянието,

и спомни си, че тъкмо начертах този вектор тук,

за да ти покажа компонентата.

Мога просто да преместя вектора тук,

защото тук всъщност се прилага силата.

Може просто да начертаеш същия вектор тук,

защото можеш да местиш векторите.

Така, това също ще е 3/2 нютона

и може би това е малко по-ясно.

3/2 нютона по разстоянието
от опорната точка –

по 10 метра –

е равно на колко?

15 нютон метра.

Големината на въртящия момент
е 15 нютон метра.

Но всичко, което направихме сега –

и се надявам, че това ти изглежда познато.

Това сме го учили при моменти
и въртящ момент.

Всичко, което направихме сега,

беше да определим
големината на въртящия момент.

А ако искахме да знаем и посоката му?

И тук идва на помощ векторното произведение.

Какво беше определението
за произведение с кръст?

r x F е равно на големината на r

по големината на F по синус от
най-малкия ъгъл между тях

по някакъв вектор,
който е перпендикулярен и на двата.

И тук всъщност много помага –

всичките тези са скаларни величини, нали?

Те не задават посоката.

Посоката изцяло се определя
от този единичен вектор,

а единичен вектор е вектор с големина 1,

който сочи в дадена посока.

И нека видим, това произведение с кръст,
тази част от него –

частта, която ни дава големината –
току-що я изчислихме,

като използвахме каквото знаем
отпреди за въртящ момент.

Големината на нашия вектор
на силата по синус от тита,

който ни дава компонентата
на вектора на силата,

която е перпендикулярна на рамото.

И просто умножаваме това по големината на r

и получаваме големината
на вектора на въртящия момент,

която беше 15.

Можем да оставим нютон метрите засега.

15 и след това посоката е този вектор,

който ние означихме с n.

Може да го наречем нормален вектор.

И какво знаем за този вектор?

Той е перпендикулярен на r – това е r –

и е също перпендикулярен на F.

И единственият начин,
по който мога да си представя,

в нашата тримерна вселена, вектор,
който е перпендикулярен на това и това,

е ако сочи навън или навътре
от тази страница, нали така?

Именно защото тези
два вектора са в равнината,

която е определена от нашето видео.

Ако имаме вектор, който
е перпендикулярен на твоя екран,

на каквото и устройство да гледаш това видео,

той ще бъде перпендикулярен
на тези два вектора.

И как да разберем дали векторът

сочи навътре или навън от екрана?

Използваме правилото за дясната ръка, нали ?

В правилото за дясната ръка взимаме –
r е нашият показалец,

F е нашият среден пръст
и в която посока сочи нашият палец,

това е посоката на векторното произведение.

Нека го начертаем.

Нека да видя дали
ще мога да го начертая добре тук.

Така... Ако това е показалецът ми,

можеш да си представиш
ръката си върху екарана.

И така, това е показалецът ми,

който представлява r, а това е дясната ми ръка.

Запомни, че работиш само с дясната ръка.

Ако го правиш с лявата, ще е наобратно.

След това средният ми пръст
ще сочи в посоката на F,

а останалите ми пръсти –
препоръчвам ти да начертаеш това.

Ако трябваше да го чертая –
нека си нарисувам ноктите,

за да знаеш какво е това.

Това е нокътят на показалеца ми.

Това е нокътят на средния ми пръст.

И в тази ситуация къде ще е палецът ми?

Палецът ми ще сочи навън от екрана.

Иска ми се да можех –
това е нокътят на палеца ми.

Надявам се, че виждаш
смисъл вече, нали ?

Това е дланта на ръката ми.

Това е другата страна на –
и мога да продължа да чертая,

но се надявам, че виждаш логиката.

Това е показалецът ми.

Това е средният ми пръст.

Палецът ми сочи извън страницата,
което ни казва,

че въртящият момент всъщност
сочи навън от страницата.

Следователно посоката на
този единичен вектор n

ще е навън от страницата и
можем да го означим с кръг с точка.

И вече ми свършва времето, но съм готов.

Векторното произведение,
приложено при въртящ момент.

Ще се видим в следващото видео.