-
Във всички задачи за въртящ момент,
които съм представял досега
-
в плейлиста по физика, ние само
определяхме големината на въртящия момент,
-
просто защото реално
само тя е от значение,
-
но въртящият момент е всъщност вектор
-
и неговата посока може да бъде намерена.
-
И това е защото въртящият момент
е определен като векторното произведение
-
на радиалното разстояние от оста на въртене
-
и въртящата сила, която се прилага.
-
Така че тези двете са вектори.
-
И нека си припомним какво
ти казах за векторите първия път
-
и след това ще ти покажа,
че това е същото нещо,
-
като това, което правим и тук
с векторното произведение.
-
С изключението, че сега заедно
с векторното произведение,
-
освен големината на въртящия момент,
ще получим и посоката.
-
Но ще видим също и че тази е посока е малко –
-
е просто определение на посоката
на въртящия момент.
-
Не знам доколко е лесно да се разбере.
-
Но какво ти казах преди за въртящия момент?
-
Е, нека кажем, че имам някакво рамо,
-
което може да е стрелка на часовник
-
или да е прикована към тази стена.
-
Така че да може да се върти около този обект.
-
И след това – нека сменим малко цветовете,
-
че цикламеното започна
да става малко неприятно.
-
Нека кажем, че на някакво
разстояние r от опорната точка –
-
нека да бъде 10.
-
Това е r и големината му е 10.
-
На някакво разстояние 10
от опорната точка прилагам сила F
-
и F ще е в жълто.
-
Прилагам сила F.
-
Нека да я начертая в права линия.
-
Прилагам сила F под някакъв ъгъл.
-
Това е силата ми F.
-
Тя също е вектор – има големина и посока.
-
Да кажем, че r е 10 метра и
-
нека силата, която прилагам, да е 7 нютона.
-
Нека го направя по-интересно.
-
Нека силата да е корен от 3N.
-
И го направих така, просто защото си мисля,
-
че числата ще излязат точни.
-
Нека кажем, че ъгълът между силата и рамото,
-
което се върти – нека работим
в радиани този път.
-
Нека е π/3 или ако искаш да си го представиш,
-
това е 60 градуса.
-
π/3 радиана е равно на тита.
-
И базирано на това, което
вече знаем за въртящ момент,
-
колко е той около опорната точка ?
-
Или колко въртящ момент
е приложен от тази сила
-
И когато учим за въртящ момент, осъзнаваме,
-
че всъщност единствената
сложна част на тези задачи е,
-
че не умножаваме цялата въртяща сила
-
по разстоянието от оста на въртене.
-
Трябва да умножим компнентата на силата,
-
която всъщност извършва въртенето,
-
или компонентата, която е препендикулярна
на въртящото се рамо,
-
или перпендикулярна на рамото на силата.
-
Как да намерим това ?
-
Първо, компонентата на тази сила,
която е перпендикулярна на това рамо –
-
мога да го начертая тук.
-
Нека видим – ще изглежда нещо такова.
-
Ето така.
-
Можех да го начертая там,
-
можех да го начертая и тук, нали ?
-
Това ще е компонентата,
-
която е перпендикулярна на въртящото се рамо.
-
А компонентата, която е успоредна,
ще е тази, но това не ни касае.
-
Това не допринася за въртенето.
-
Единственото, което допринася за въртенето,
-
е тази компонента на силата.
-
И каква е големината на вектора тук ?
-
Компонентата на вектор F,
която е перпендикулярна на това рамо.
-
Ако този ъгъл – нека начертая
малък триъгълник тук долу.
-
Ако това е корен квадратен от 3,
-
това е π/3 радиана или 60 градуса.
-
Това е прав ъгъл, това е π/3.
-
Знам, че трудно за четене.
-
Каква е дължината ето тук?
-
Това е триъгълник от вида 30-60-90
-
и знаем, че дължината тук –
има няколко начина,
-
по които можем да мислим за това.
-
Сега вече знаем тригонометрия,
знаем че това е просто
-
корен квадратен от 3 по синус от π/3,
-
или синус от 60 градуса,
който е равен на корен квадратен от 3.
-
Синус от π/3 или синус от 60 градуса
-
e корен квадратен от 3/2.
-
И корен квадратен от 3
по корен квадратен от 3
-
е просто 3, така че
това е равно на 3/2.
-
Големината на вектора на силата,
който е перпендикуларен –
-
компонентата, която е перпендикулярна
на рамото, е 3/2 нютона.
-
И сега може да определим
големината на въртящия момент.
-
Тя е 3/2 нютона по 10 метра.
-
Знаем големината на въртящия момент,
-
и ще бъда малко по-внимателен
с моето означаване сега,
-
за да ти припомня, че
въртящият момент е всъщност вектор,
-
или можеш да го разглеждате като –
някои използват термина "псевдовектор",
-
защото е нещо като... няма значение.
-
Каква е големината
на вектора на въртящия момент?
-
Тя е 3/2 нютона по разстоянието,
-
и спомни си, че тъкмо начертах този вектор тук,
-
за да ти покажа компонентата.
-
Мога просто да преместя вектора тук,
-
защото тук всъщност се прилага силата.
-
Може просто да начертаеш същия вектор тук,
-
защото можеш да местиш векторите.
-
Така, това също ще е 3/2 нютона
-
и може би това е малко по-ясно.
-
3/2 нютона по разстоянието
от опорната точка –
-
по 10 метра –
-
е равно на колко?
-
15 нютон метра.
-
Големината на въртящия момент
е 15 нютон метра.
-
Но всичко, което направихме сега –
-
и се надявам, че това ти изглежда познато.
-
Това сме го учили при моменти
и въртящ момент.
-
Всичко, което направихме сега,
-
беше да определим
големината на въртящия момент.
-
А ако искахме да знаем и посоката му?
-
И тук идва на помощ векторното произведение.
-
Какво беше определението
за произведение с кръст?
-
r x F е равно на големината на r
-
по големината на F по синус от
най-малкия ъгъл между тях
-
по някакъв вектор,
който е перпендикулярен и на двата.
-
И тук всъщност много помага –
-
всичките тези са скаларни величини, нали?
-
Те не задават посоката.
-
Посоката изцяло се определя
от този единичен вектор,
-
а единичен вектор е вектор с големина 1,
-
който сочи в дадена посока.
-
И нека видим, това произведение с кръст,
тази част от него –
-
частта, която ни дава големината –
току-що я изчислихме,
-
като използвахме каквото знаем
отпреди за въртящ момент.
-
Големината на нашия вектор
на силата по синус от тита,
-
който ни дава компонентата
на вектора на силата,
-
която е перпендикулярна на рамото.
-
И просто умножаваме това по големината на r
-
и получаваме големината
на вектора на въртящия момент,
-
която беше 15.
-
Можем да оставим нютон метрите засега.
-
15 и след това посоката е този вектор,
-
който ние означихме с n.
-
Може да го наречем нормален вектор.
-
И какво знаем за този вектор?
-
Той е перпендикулярен на r – това е r –
-
и е също перпендикулярен на F.
-
И единственият начин,
по който мога да си представя,
-
в нашата тримерна вселена, вектор,
който е перпендикулярен на това и това,
-
е ако сочи навън или навътре
от тази страница, нали така?
-
Именно защото тези
два вектора са в равнината,
-
която е определена от нашето видео.
-
Ако имаме вектор, който
е перпендикулярен на твоя екран,
-
на каквото и устройство да гледаш това видео,
-
той ще бъде перпендикулярен
на тези два вектора.
-
И как да разберем дали векторът
-
сочи навътре или навън от екрана?
-
Използваме правилото за дясната ръка, нали ?
-
В правилото за дясната ръка взимаме –
r е нашият показалец,
-
F е нашият среден пръст
и в която посока сочи нашият палец,
-
това е посоката на векторното произведение.
-
Нека го начертаем.
-
Нека да видя дали
ще мога да го начертая добре тук.
-
Така... Ако това е показалецът ми,
-
можеш да си представиш
ръката си върху екарана.
-
И така, това е показалецът ми,
-
който представлява r, а това е дясната ми ръка.
-
Запомни, че работиш само с дясната ръка.
-
Ако го правиш с лявата, ще е наобратно.
-
След това средният ми пръст
ще сочи в посоката на F,
-
а останалите ми пръсти –
препоръчвам ти да начертаеш това.
-
Ако трябваше да го чертая –
нека си нарисувам ноктите,
-
за да знаеш какво е това.
-
Това е нокътят на показалеца ми.
-
Това е нокътят на средния ми пръст.
-
И в тази ситуация къде ще е палецът ми?
-
Палецът ми ще сочи навън от екрана.
-
Иска ми се да можех –
това е нокътят на палеца ми.
-
Надявам се, че виждаш
смисъл вече, нали ?
-
Това е дланта на ръката ми.
-
Това е другата страна на –
и мога да продължа да чертая,
-
но се надявам, че виждаш логиката.
-
Това е показалецът ми.
-
Това е средният ми пръст.
-
Палецът ми сочи извън страницата,
което ни казва,
-
че въртящият момент всъщност
сочи навън от страницата.
-
Следователно посоката на
този единичен вектор n
-
ще е навън от страницата и
можем да го означим с кръг с точка.
-
И вече ми свършва времето, но съм готов.
-
Векторното произведение,
приложено при въртящ момент.
-
Ще се видим в следващото видео.