-
Тази картина
-
отдясно е автопортрет ,
-
който Рембранд е нарисувал през 1640 г.
-
Това, което е интересно при него, е че както при други велики художници
-
като Леонардо да Винчи и Салвадор Дали,
-
и много, много, много други, Рембранд наистина
-
е обърнал внимание на едно явление, което се казва "златно сечение" (или отношение).
-
Направил съм няколко видеоклипа за него.
-
То е това наистина удивително, удивително число,
-
което по принцип се отбелязва с гръцката буква фи.
-
Ако го разпишем,
-
то е ирационално число, 1,61803,
-
което си продължава още и още нататък,
-
но има някои хубави математически свойства на фи,
-
наречено златно сечение.
-
Ако започнем с φ (фи) и добавим нещо към него...
-
или всъщност нека започнем по този начин.
-
Нека започнем с 1 и прибавим към него 1/φ.
-
Нека запиша това φ малко по-добре.
-
Добавяме към това 1/φ, което дава φ.
-
Това е нещо логично.
-
Ако умножим двете страни на това уравнение
-
по φ, получаваме това.
Ако започнем с φ,
-
и след това добавим 1, става φ^2.
-
Така че това е едно число, към което когато прибавим 1, получаваме квадрата му.
-
Всичко това са хубави елементи.
-
Може дори да се запише като периодична дроб.
-
φ може да се представи като
1 + (1 /1 + (1/1 + 1/...
-
върху, и т.н. продължаваме до безкрайност.
-
Това ни дава и φ.
-
Та да се надяваме, че този израз определя числото
-
като едно невероятно число.
-
То е такова не само математически,
-
но се вижда из цялата природа,
-
и е нещо, което художниците наистина ценят, понеже
-
вярват, че това помага при определянето на красотата на човека.
-
И виждаме, че Рембранд наистина го е било грижа за това
-
в картините му.
-
Как можем да знаем?
-
Ами правим именно това, за да анализираме малко,
-
чрез упражнението в това видео.
-
Можем да построим един триъгълник.
-
Очевидно тези триъгълници не са част от оригиналната му картина.
-
Тук ние наложихме тези триъгълници.
-
Но ако поставим основата на триъгълника точно там,
-
където е положена ръката му, и след това
-
двете страни на триъгълника
-
очертаят ръцете му и раменете му, и се срещнат точно
-
на върха на тази арка, то ще построим триъгълника ABD,
-
по начина по който сме го направили тук.
-
И сетне, ако отидем при очите му,
-
и можем да си представим, че очите на човек
-
са това, което виждаме в естественото, без значение дали гледаме някакво лице
-
или картина на лице.
-
Ако погледнем очите му тук, и ако начертаем там една права,
-
която е успоредна, ами, тя наистина свързва очите,
-
и е успоредна на BD тук - така че нека
-
наречем тази отсечка там PR -
-
ще видим, че това отношение, отношението между този по-малък
-
триъгълник и този по-голям триъгълник, включва φ.
-
Това всъщност знаем, казано ни е
-
за тази картина, и е направо изумително.
-
Отношението между дължината на отсечките CD и BC e както φ към едно.
-
Спускаме височина от върха на този по-голям триъгълник.
-
Това отношение на CD, дължината на CD
към дължината на BC е φ.
-
Така че очевидно Рембранд е помислил за това.
-
Дори знаем, че PR е успоредна на BD.
-
Всъщност сме го построили по този начин.
-
Тази отсечка ще е успоредна на онази там.
-
Следващата подсказка ни казва, че
-
Рембранд определено е помислил по въпроса.
-
Нека видим отношението на AC към AQ.
-
Така че AC е височината на по-големия триъгълник.
-
Отношението на тази отсечка към AQ, която е
-
височината на този триъгълник, това отношение е φ
-
плюс 1 към 1, или дори можем да кажем,
че това отношение е φ + 1.
-
Очевидно Рембранд доста е мислил по този въпрос.
-
Като имаме предвид всичката тази информация,
-
нека малко изследваме тук.
-
Да видим дали можем да намерим израз, който
-
е отношението между лицето на триъгълника ABD, т.е.
-
лицето на по-големия триъгълник,
-
към лицето на триъгълник APR.
-
Това е този, по-малкия триъгълник там горе.
-
Търсим отношението между лицето на
по-големия триъгълник
-
към лицето на по-малкия триъгълник,
-
и искам да видя дали можем да го направим чрез φ.
-
Ако можем да намерим някакъв израз тук,
който включва
-
само φ, или постоянни числа,
-
или да се позанимаваме някак с φ.
-
Така че те насърчавам да спреш видеото
и да се опиташ да направиш това.
-
Нека започнем стъпка по стъпка.
-
Как се намира лице на триъгълник?
-
Лицето на триъгълника е равно на 1/2 по
основата по височината.
-
Така че лицето на триъгълник ABD можем
-
да го запишем като 1/2 по основата...
-
Нашата основа е дължината на отсечката BD.
-
T.e. 1/2 по BD.
-
A каква е височината?
-
Това е дължината на отсечката АC.
-
1/2 по BD - нека изразя отсечката AC.
-
Оцветявам я по същия начин -
-
по дължината на отсечката AC.
-
Какво е лицето?
-
Това е лицето на триъгълник ABD.
-
1/2 по основата по височината.
-
А какво е лицето на триъгълника APR?
-
Ами то ще е равно на 1/2 по дължината на нашата основа, която е
-
PR, отсечката PR, нейната дължина,
-
по височината, която е отсечката AQ;
-
а дължината на отсечката AQ, нея можем
-
да я запишем така, по дължината на отсечката AQ.
-
Как можем да го опростим това?
-
Можем да разделим на 1/2.
-
Тези двете се съкращават.
-
Но какво друго знаем?
-
Дадено ни е отношението между AC и AQ.
-
Съотношението между AC и AQ.
-
Съотношението на AC към AQ тук е (φ +1)/1.
-
Или можем да кажем, че това е равно на φ.
-
Или това, че тук е равно на φ + 1.
-
Преписвам това.
-
Всъщност, нека го напиша по този начин.
-
Това ще е равно на... имаме
-
дължината на отсечката BD върху дължината на отсечката PR,
-
и тогава тази част тук можем да я препишем,
-
тя е равна на (φ +1)/1.
-
Така че ще я запиша по този начин.
-
Умножено по (φ +1)/1.
-
А какво е отношението BD към PR?
-
Така, BD към PR.
-
Отношението на основата на по-големия триъгълник към основата
-
на по-малкия триъгълник.
-
Та нека помислим малко по въпроса.
-
Това, което можем да видим, е
че по-големият триъгълник
-
и по-малкият триъгълник са
подобни триъгълници.
-
Те очевидно имат общ ъгъл А,
-
и след като PR е успоредна на BD, тогава
-
знаем, че този ъгъл съответства на този ъгъл.
-
Те са еднакви.
-
И знаем, че този ъгъл съответства
-
на този ъгъл тук.
-
Така че сега имаме три съответни ъгъла, които са
-
еднакви.
-
Този е съответен на себе си, той е
общ за двата триъгълника.
-
Този е съответен на този.
-
Този е съответен на онзи.
-
Имаме три съответни ъгъла, налице са
-
два подобни триъгълника.
-
А това, което е полезно при подобните триъгълници,
-
е отношението между съответните страни.
-
Отношенията на съответните страни
-
от подобните триъгълници ще са същите.
-
Дадено ни е едно от тези отношения.
-
Дадено ни е отношението между височината на големия триъгълник
-
и височината на малкия триъгълник.
-
AC към AQ е (φ +1)/φ.
-
Но след като това е вярно за една съответна страна
-
при подобните триъгълници, то
-
е вярно за всички съответстващи страни
на подобните триъгълници,
-
че отношението ще е (φ +1)/φ.
-
От там отношението на BD, отношението на основата на големия триъгълник
-
към основата на малкия,
-
то също ще е (φ +1)/1.
-
И това ще бъде същото отношение.
-
Нека го напиша по този начин.
-
Може и да се препише като (φ +1)/1.
-
И как опростяваме тук?
-
Имаме (φ +1)/1 по (φ +1)/1.
-
Можем просто да разделим на 1.
-
Не променяме стойността.
-
Това ще е равно на...
-
тук направо трябва едно барабани да има.
-
Това е равно на (φ +1)^2.
-
Много добре.
-
И те насърчавам да помислиш добре за това, понеже
-
вече видяхме, че (φ +1) е равно на φ^2,
-
и има всякакви странни, интересни начини, по които
-
можем да продължим с анализирането.