-
Ας μάθουμε πως πολλαπλασιάζουμε.
-
Π Ο Λ Λ Α Π Λ Α Σ Ι Α Σ Μ Ο Σ
-
Και πιστεύω πως ο καλύτερος τρόπος για να μάθει κανείς ο,τιδήποτε είναι να δεί μερικά παραδείγματα,
-
και μετά να τα αναλύσει,
-
και να προσπαθήσει έτσι να καταλάβει το νοημά τους.
-
Το πρώτο μου παράδειγμα είναι το δύο φορές το τρία.
-
Ως τώρα μάλλον θα ξέρετε τι σημαίνει δύο συν τρία.
-
Δύο συν τρία.
-
Αυτό είναι ίσον με πέντε.
-
Και αν χρειάζεστε λιγάκι επανάληψη σκέφτείτε
-
αν έχω δύο -- ξέρω 'γω -- δύο ροζ
-
αυτό το χρώμα -- κεράσια.
-
Και θέλω να τα προσθέσω σε τρία βατόμουρα.
-
Πόσα φρούτα έχω τώρα;
-
Και εσείς θα λέγατε, α! ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε.
-
Ή, παρομοίως, αν είχα τη γραμμή των αριθμών μας,
-
και μάλλον δε τη χρειάζεστε αυτή την επανάληψη, αλλά δε βλάπτει.
-
Ποτέ δε βλάπτει να ενισχύεις μία έννοια.
-
Και αν εδώ έχουμε μηδέν, ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε.
-
Αν κάθεστε δύο θέσεις δεξιά του μηδέν
-
και γενικά όταν θέλουμε να πάμε θετικά, πάμε προς τα δεξιά.
-
Και αν προσθέσετε τρία,
-
θα μετακινηθείτε τρείς θέσεις προς τα δεξιά.
-
'Οπως είπα, αν μετακινηθώ τρείς θέσεις προς τα δεξιά,
-
πού φτάνω;
-
'Ενα, δύο, τρία.
-
Φτάνω στο πέντε.
-
Έτσι καί με τις δύο μεθόδους, καταλαβαίνετε πως δύο συν τρία ίσον πέντε.
-
Τι είναι το δύο φορές το τρία λοιπόν;
-
Ένας εύκολος τρόπος να το σκεφτείτε όταν έχετε να πολλαπλασιάσετε
-
είναι ένας απλός τρόπος να κάνετε πρόσθεση ξανά και ξανά.
-
Και τι εννοώ, και είναι λίγο ζόρικο.
-
Δε θα προσθέσετε το δύο με το τρία.
-
Θα προσθέσετε...
-
και βασικά υπάρχουν δυο τρόποι να το σκεφτείτε.
-
Θα προσθέσετε το δύο στον εαυτό του, τρείς φορές.
-
Τι σημαίνει αυτό τώρα;
-
Λοιπόν, σημαίνει πως θα πείτε δύο συν δύο συν δύο.
-
Πού πήγε το τρία τώρα;
-
Πόσα δύο έχουμε εδώ λοιπόν;
-
Χμ, έχω -- αυτό είναι ένα 2, δύο 2,
-
Έχω τρία 2.
-
Μετράω τους αριθμούς εδώ
-
με τον ίδιο τρόπο που μέτρησα τα βατόμουρα εδώ πάνω.
-
Είχα ένα, δύο, τρία βατόμουρα.
-
Έχω ένα, δύο, τρία 2.
-
Οπότε αυτό μου λέει πόσα 2 θα έχω.
-
Άρα τί είναι το δύο φορές το τρία;
-
Πήρα το 2 και το πρόσθεσα στον εαυτό του τρείς φορές.
-
Έχουμε δύο συν δύο ίσον τέσσερα.
-
Τέσσερα συν δύο ίσον έξι.
-
Όμως αυτός είναι ένας απ' τους τρόπους να το σκεφτείτε.
-
Απ' την άλλη θα μπορούσαμε να είχαμε πει,
-
αντί να προσθέσουμε το 2 στον εαυτό του τρείς φορές,
-
θα μπορούσαμε να προσθέσουμε το 3 στον εαυτό του δύο φορές!
-
Και ξέρω πως ίσως να ακούγεται λιγάκι μπερδεμένο,
-
αλλά με μερικές ασκήσεις θα το καταλάβετε.
-
Λοιπόν αυτός ο πολλαπλασιασμός εδω πάνω, ας τον ξαναγράψω.
-
Δύο φορές το τρία.
-
Θα μπορούσε να γραφτεί τρεις φορές το δύο.
-
Άρα τρία συν τρία.
-
Και πάλι λέτε, πού πήγε το δύο;
-
Ξέρετε, είχα δύο φορές το τρία
-
και κάθε φορά που κάνετε πρόσθεση, βλέπετε ότι έχω δύο -- ξέρω 'γω αυτά τα --
-
είπα κεράσια, αλλά θα μπορούσαν να είναι κόκκινα μούρα ή ο,τιδήποτε.
-
Και έτσι έχω δύο, έχω τρία
-
και το 2 και το 3 δεν εξαφανίζονται ποτέ.
-
Και τα προσθέτω μαζί, έχω 5.
-
Αλλά εδώ λέμε πως 2 φορές το 3
-
είναι το ίδιο με το 3 συν 3.
-
Πού πήγε το 2;
-
Το δύο σ'αυτή την περίπτωση,
-
μου λέει πόσες φορές θα προσθέσω το τρία στον εαυτό του.
-
Αλλά το ενδιαφέρον είναι πως όπως κι αν δω το 2 φορές το 3,
-
Μπορώ να το δω σαν 2 συν 2 συν 2,
-
ή να προσθέσω το 2 στον εαυτό του τρείς φορές.
-
Επίσης μπορώ να το δώ
-
σαν να προσθέτω το 3 στον εαυτό του δύο φορές.
-
Αλλά δείτε, παίρνω την ίδια απάντηση.
-
Πόσο κάνει τρία συν τρία;
-
Και αυτό είναι ίσον με έξι.
-
Και ίσως αυτή είναι η πρώτη φορά στα μαθηματικά
-
που συναντάτε κάτι τόσο βολικό!
-
Μερικές φορές, όποιο δρόμο και να πάρετε,
-
αρκεί να είναι ο σωστός δρόμος, έχετε το ίδιο αποτέλεσμα.
-
Έτσι δυό άνθρωποι μπορούν να το φανταστούν--
-
αρκεί να το φαντάζονται σωστά,
-
δυό διαφορετικά προβλήματα, και να καταλήξουν στην ίδια απάντηση.
-
Και μάλλον θα σκέφτεστε τώρα,
-
Σαλ, πότε είναι χρήσιμος ο πολλαπλασιασμός;
-
Και εδώ είναι που είναι χρήσιμος.
-
Μερικές φορές κάνει το μέτρημα ευκολότερο.
-
Ας πούμε πως έχω ένα--
-
χμ, ας μείνουμε στην αναλογία με τα φρούτα.
-
Μια αναλογία είναι όταν χρησιμοποιείς κάτι σαν--
-
χμ, δε θα το αναλύσω αυτό πολύ.
-
Αλλά το παράδειγμά μας με τα φρούτα.
-
Ας πούμε πως έχω λεμόνια.
-
Ας ζωγραφίσω μερικά λεμόνια.
-
Θα τα ζωγραφίσω σε σειρές σε τριάδες.
-
Έτσι έχω ένα, δύο, τρία-- ε, δε θα τα μετρήσω
-
γιατί έτσι θα πω την απάντηση.
-
Ζωγραφίζω μερικά λεμόνια.
-
Λοιπόν, αν σας ρωτούσα να μου πείτε πόσα λεμόνια έχουμε εδώ.
-
Και αν το έκανα αυτό,
-
θα ξεκινούσατε να μετράτε τα λεμόνια.
-
Και δε θα σας έπαιρνε πολύ χρόνο να μου απαντήσετε, πως, α,
-
έχουμε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, εφτά, οχτώ, εννιά, δέκα, έντεκα, δώδεκα λεμόνια.
-
Και βασικά σας είπα την απάντηση.
-
Ξέρουμε λοιπόν πως έχουμε δώδεκα λεμόνια εδώ.
-
Αλλά υπάρχει ένας ευκολότερος τρόπος
-
ένας γρηγορότερος τρόπος να μετρήσετε τα λεμόνια.
-
Προσέξτε: πόσα λεμόνια έχουμε σε κάθε σειρά;
-
Μια σειρά είναι απ'τη μια άκρη μέχρι την άλλη με λεμόνια.
-
Νομίζω ξέρετε τι είναι μια σειρά.
-
Δε θέλω να σας υποτιμήσω.
-
Λοιπόν, πόσα λεμόνια έχουμε σε μια σειρά;
-
Χμ, έχουμε τρία λεμόνια σε μια σειρά.
-
Ας σας ρωτήσω τώρα αυτό.
-
Πόσες σειρές έχουμε;
-
Χμ, εδώ είναι μια σειρά, και αυτή είναι η δεύτερη σειρά,
-
και αυτή είναι η τρίτη σειρά, και αυτή είναι η τέταρτη σειρά.
-
Άρα ένας εύκολος τρόπος είναι να πούμε, έχω τρία λεμόνια σε κάθε σειρά
-
και έχω τέσσερις σειρές.
-
Άρα λέμε έχουμε τρία λεμόνια ανα σειρά.
-
Ελπίζω να μη σας μπερδεύω αλλά νομίζω θα σας αρέσει αυτό.
-
Και έχω τέσσερις σειρές.
-
Άρα έχω τέσσερις φορές τρία λεμόνια.
-
Τέσσερα επί τρία λεμόνια. (Το επί σημαίνει φορές!)
-
Και αυτό πρέπει να ισούται με τον αριθμό των λεμονιών που έχω -- δώδεκα.
-
Και για να το ταιριάξουμε με ότι είπα για την πρόσθεση,
-
ας σκεφτούμε το εξής.
-
Τέσσερεις φορές το τρία, κυριολεκτικά όταν,
-
ξέρετε, όταν λέτε τις λέξεις τέσσερις φορές το τρία,
-
Εγώ φανταζομαι το εξής.
-
Φαντάζομαι τέσσερις φορές τρία.
-
Δηλαδή τέσσερα επί τρία
-
Τρία, συν τρία , συν τρία, συν τρία.
-
Και αν το κάνουμε αυτό έχουμε:
-
Τρία συν τρία είναι έξι
-
Έξι συν τρία κάνει εννιά.
-
Εννιά συν τρία κάνει δώδεκα.
-
Και έτσι μάθαμε ως τώρα, σ' αυτό το κομμάτι του βίντεο,
-
μάθαμε πως αυτόν τον πολλαπλασιασμό
-
μπορούμε να τον δούμε
-
σαν τρείς φορές το τέσσερα.
-
Μπορείτε ν' αλλάξετε τη σειρά.
-
Και αυτή είναι μία από τις χρήσιμες
-
και ενδιαφέρουσες, βασικά, ιδιότητες του πολλαπλασιασμού.
-
Αλλά αυτό μπορεί να γραφτεί και ως τέσσερις φορές το τρία.
-
Τέσσερα, συν τέσσερα, συν τέσσερα.
-
Προσθέτετε το τέσσερα στον εαυτό του τρείς φορές.
-
Τέσσερα συν τέσσερα κάνει οχτώ.
-
Οχτώ συν τέσσερα κάνει δώδεκα.
-
Και μερικές φορές λέμε τέσσερις φορές το τρία,
-
αλλά ξέρετε, έχω γνωρίσει ανθρώπους
-
και πολλοί στην οικογένειά μου το έμαθαν με το--
-
νομίζω το λένε το Αγγλικό σύστημα.
-
Συχνά λένε τέσσερα τριάρια, ή τρία τεσσάρια.
-
Και κατά κάποιον τρόπο αυτός ο τρόπος είναι πιο διαισθητικός.
-
Δεν ακούγεται διαισθητικός την πρώτη φορά που το ακούς,
-
αλλά γράφουν αυτό το πολλαπλασιαστικό πρόβλημα,
-
ή λένε γι'αυτό το πολλαπλασιαστικό πρόβλημα.
-
λένε, τί είναι τέσσερα τριάρια;
-
Και όταν λένε τέσσερα τριάρια,
-
λένε κυριολεκτικά, τί είναι τέσσερις τριάδες;
-
Άρα αυτό είναι μία τριάδα, δύο τριάδες, τρείς τριάδες, τέσσερεις τριάδες.
-
Τί είναι τέσσερις τριάδες όταν τις προσθέσεις μεταξύ τους;
-
Είναι δώδεκα.
-
Επίσης μπορείτε να πείτε, τί είναι τρία τεσσάρια;
-
Ας το γράψω αυτό.
-
Ας το γράψω με διαφορετικό χρώμα.
-
Αυτό είναι τέσσερις τριάδες.
-
Δηλαδή κυριολεκτικά τέσσερις τριάδες.
-
Αν σας έλεγα, γράψτε τέσσερις τριάδες και προσθέστε τες,
-
σημαίνει αυτό.
-
Και αυτό είναι τέσσερις φορές το τρία, ή τέσσερα επί τρία.
-
'Η τρείς φορές το τέσσερα (τρία επί τέσσερα)
-
Και αυτό είναι -- ας το γράψω με άλλο χρώμα,
-
αυτό είναι τρείς τετράδες.
-
Και αυτό μπορεί να γραφτεί ως τρείς φορές το τέσσερα (τρία επί τέσσερα).
-
Και όλα τους ισούνται με δώδεκα.
-
Και μάλλον θα λέτε τώρα,
-
ωραία όλα αυτά, ωραίο κολπάκι Σαλ,
-
τώρα μας έμαθες,
-
αλλά σου πήρε λιγότερο χρόνο να μετρήσεις αυτά τα λεμόνια
-
από το να λύσεις αυτό το πρόβλημα.
-
Καταρχάς αυτό είναι αλήθεια τώρα που πρωτομαθαίνετε πολλαπλασιασμό.
-
Αλλά θα ανακαλύψετε πως μερικές φορές,
-
και βασικά πολλές φορές--
-
Δε θέλω να χρησιμοποιώ τη λέξη φορές τόσο σε ένα βίντεο για το πολλαπλασιασμό--
-
όταν κάθε σειρά λεμονιών,
-
αντί για τρία,
-
μπορεί να έχει εκατό λεμόνια!
-
Και μπορεί να έχουμε εκατό σειρές!
-
Θα σας έπαιρνε πολύ καιρό να μετρήσετε όλα τα λεμόνια,
-
αλλά εδώ ακριβώς είναι χρήσιμος ο πολλαπλασιασμός,
-
αν και δε θα μάθουμε τώρα πως να πολλαπλασιάζουμε εκατό επί εκατό.
-
Τώρα, ένα πράγμα θέλω να σας πω,
-
ένα κολπάκι.
-
Θυμάμαι η αδερφή μου, έτσι για να μου δείξει πόσο εξυπνότερη από μένα είναι,
-
όταν ήμουν στο νηπιαγωγείο και αυτή ήταν στη τρίτη δημοτικού,
-
Μου έλεγε, "Σαλ, πόσο κάνει τρείς φορές το ένα;"
-
Και γω έλεγα, επειδή το μυαλό μου έλεγε,
-
Α! Αυτό είναι τρία συν ένα,
-
και της απαντούσα τρία συν ένα κάνει τέσσερα.
-
Και έτσι έλεγα,
-
Α! Ξέρεις, τρεις φορές το ένα, αυτό πρέπει να κάνει τέσσερα επίσης.
-
Και μου 'λεγε αυτή "Όχι χαζούλη! Κάνει τρία!"
-
Και δε μπορούσα να το φανταστώ, πώς είναι δυνατόν;
-
Πώς είναι δυνατόν, τρείς φορές ένας άλλος αριθμός, να είναι ο ίδιος αριθμός;
-
Σκεφτείτε τί σημαίνει αυτό.
-
Μπορείτε να το δείτε σα τρεις μονάδες.
-
Και τί είναι τρεις μονάδες;
-
Είναι ένα 1, συν άλλο 1, συν άλλο 1.
-
Αυτό κάνει 3.
-
Ή μπορείτε να το δειτε σαν το 3 μία φορά.
-
Τί είναι το τρία μία φορά;
-
Είναι σχεδόν χαζούλικο το πόσο απλό είναι!
-
Είναι απλά τρία.
-
Είναι ένα 3.
-
Αυτό μπορείτε να το γράψετε σαν ένα τρία.
-
Και όπως με ο,τιδήποτε επί ένα,
-
ή ένα επί οτιδήποτε,
-
αυτό κάνει αυτό το ο,τιδήποτε!
-
Άρα, τρείς φορές το ένα κάνει τρία.
-
Ένα επί τρία κάνει τρία.
-
Και ξέρετε, θα μπορούσα να πώ, εκατό φορές το ένα
-
κάνει εκατό.
-
Θα μπορούσα να πω ότι ένα επί τριάνταεννιά
-
κάνει τριάνταεννιά.
-
Και νομίζω ξέρετε τόσο μεγάλους αριθμούς πιά.
-
Άρα αυτό είναι ενδιαφέρον.
-
Λοιπόν κάτι ακόμα ενδιαφέρον για τον πολλαπλασιασμό.
-
Όταν πολλαπλασιάζετε με το μηδέν.
-
Και θα ξεκινήσω με την αναλογία, ή το παράδειγμα, με τη πρόσθεση.
-
Τρία συν μηδέν, ελπίζω πως μάθατε πια
-
ότι κάνει τρία.
-
Αυτό γιατί προσθέτω τίποτα στο τρία.
-
Αν έχετε τρία μήλα,
-
και σας δώσω μηδέν μήλα επιπλέον,
-
ακόμα έχετε τρία μήλα.
-
Αλλά τι είναι τρία--
-
και μπορεί να παραεπιμένω στον αριθμό τρία--
-
χμ, ας τον αλλάξω λοιπόν--
-
Πόσο είναι τέσσερις φορές το μηδέν;
-
Αυτό είναι σα να λέμε μηδέν φορές το τέσσερα.
-
Δηλαδή, πόσο είναι μηδέν, συν μηδέν, συν μηδέν, συν μηδέν;
-
Ε, είναι μηδέν!
-
Έτσι; Έχω τίποτα, συν τίποτα, συν τίποτα, συν τίποτα.
-
Άρα έχω τίποτα!
-
Ένας άλλος τρόπος να το δείτε,
-
Θα μπορούσα να πω το τέσσερα μηδέν φορές.
-
Πώς γράφω τέσσερα μηδέν φορές;
-
Ε δε γράφω τίποτα, έτσι;
-
Γιατί αν γράψω κάτι,
-
αν γράψω ένα τέσσερα, τότε δεν έχω "κανένα τέσσερα".
-
Έτσι αυτό είναι σα να λέμε--
-
αυτό είναι τέσσερα--
-
ας το γράψω--
-
αυτό είναι τέσσερα μηδενικά.
-
Αλλά θα μπορούσα να γράψω μηδέν τεσσάρια.
-
Και πόσο είναι μηδέν τεσσάρια;
-
Ε, θα γράψω ένα μεγάλο κενό εδώ.
-
Να, το έγραψα!
-
Τα μηδέν τεσσάρια είναι εδω!
-
Άρα ένα μεγάλο κενό.
-
Κι αυτό είναι ακόμα ένα διασκεδαστικό πράμα.
-
Δηλαδή ο,τιδήποτε επί μηδέν κάνει μηδέν!
-
Θα μπορούσα να γράψω έναν τεράστιο αριθμό.
-
Ξέρετε, πέντε εκατομμύρια τετρακόσιες εννενηντατρείς χιλιάδες εξακόσια εννενήνταδύο
-
επί μηδέν.
-
Πόσο κάνει αυτό;
-
Αυτό κάνει μηδέν.
-
Και επί τη ευκαιρία,
-
πόσο κάνει αυτός ο αριθμός επί ένα;
-
Ε, κάνει τον ίδιο τον αριθμό ξανά.
-
Και πόσο είναι μηδέν επί δεκαεφτά;
-
Ξανά, κάνει μηδέν.
-
Τέλος πάντων, νομίζω πολύ μίλησα.
-
Θα τα πούμε στο επόμενο βίντεο!