Απλός Πολλαπλασιασμός

Εισαγωγή στον πολλαπλασιασμό

Ας μάθουμε πως πολλαπλασιάζουμε.

Π Ο Λ Λ Α Π Λ Α Σ Ι Α Σ Μ Ο Σ

Και πιστεύω πως ο καλύτερος τρόπος για να μάθει κανείς ο,τιδήποτε είναι να δεί μερικά παραδείγματα,

και μετά να τα αναλύσει,

και να προσπαθήσει έτσι να καταλάβει το νοημά τους.

Το πρώτο μου παράδειγμα είναι το δύο φορές το τρία.

Ως τώρα μάλλον θα ξέρετε τι σημαίνει δύο συν τρία.

Δύο συν τρία.

Αυτό είναι ίσον με πέντε.

Και αν χρειάζεστε λιγάκι επανάληψη σκέφτείτε

αν έχω δύο -- ξέρω 'γω -- δύο ροζ

αυτό το χρώμα -- κεράσια.

Και θέλω να τα προσθέσω σε τρία βατόμουρα.

Πόσα φρούτα έχω τώρα;

Και εσείς θα λέγατε, α! ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε.

Ή, παρομοίως, αν είχα τη γραμμή των αριθμών μας,

και μάλλον δε τη χρειάζεστε αυτή την επανάληψη, αλλά δε βλάπτει.

Ποτέ δε βλάπτει να ενισχύεις μία έννοια.

Και αν εδώ έχουμε μηδέν, ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε.

Αν κάθεστε δύο θέσεις δεξιά του μηδέν

και γενικά όταν θέλουμε να πάμε θετικά, πάμε προς τα δεξιά.

Και αν προσθέσετε τρία,

θα μετακινηθείτε τρείς θέσεις προς τα δεξιά.

'Οπως είπα, αν μετακινηθώ τρείς θέσεις προς τα δεξιά,

πού φτάνω;

'Ενα, δύο, τρία.

Φτάνω στο πέντε.

Έτσι καί με τις δύο μεθόδους, καταλαβαίνετε πως δύο συν τρία ίσον πέντε.

Τι είναι το δύο φορές το τρία λοιπόν;

Ένας εύκολος τρόπος να το σκεφτείτε όταν έχετε να πολλαπλασιάσετε

είναι ένας απλός τρόπος να κάνετε πρόσθεση ξανά και ξανά.

Και τι εννοώ, και είναι λίγο ζόρικο.

Δε θα προσθέσετε το δύο με το τρία.

Θα προσθέσετε...

και βασικά υπάρχουν δυο τρόποι να το σκεφτείτε.

Θα προσθέσετε το δύο στον εαυτό του, τρείς φορές.

Τι σημαίνει αυτό τώρα;

Λοιπόν, σημαίνει πως θα πείτε δύο συν δύο συν δύο.

Πού πήγε το τρία τώρα;

Πόσα δύο έχουμε εδώ λοιπόν;

Χμ, έχω -- αυτό είναι ένα 2, δύο 2,

Έχω τρία 2.

Μετράω τους αριθμούς εδώ

με τον ίδιο τρόπο που μέτρησα τα βατόμουρα εδώ πάνω.

Είχα ένα, δύο, τρία βατόμουρα.

Έχω ένα, δύο, τρία 2.

Οπότε αυτό μου λέει πόσα 2 θα έχω.

Άρα τί είναι το δύο φορές το τρία;

Πήρα το 2 και το πρόσθεσα στον εαυτό του τρείς φορές.

Έχουμε δύο συν δύο ίσον τέσσερα.

Τέσσερα συν δύο ίσον έξι.

Όμως αυτός είναι ένας απ' τους τρόπους να το σκεφτείτε.

Απ' την άλλη θα μπορούσαμε να είχαμε πει,

αντί να προσθέσουμε το 2 στον εαυτό του τρείς φορές,

θα μπορούσαμε να προσθέσουμε το 3 στον εαυτό του δύο φορές!

Και ξέρω πως ίσως να ακούγεται λιγάκι μπερδεμένο,

αλλά με μερικές ασκήσεις θα το καταλάβετε.

Λοιπόν αυτός ο πολλαπλασιασμός εδω πάνω, ας τον ξαναγράψω.

Δύο φορές το τρία.

Θα μπορούσε να γραφτεί τρεις φορές το δύο.

Άρα τρία συν τρία.

Και πάλι λέτε, πού πήγε το δύο;

Ξέρετε, είχα δύο φορές το τρία

και κάθε φορά που κάνετε πρόσθεση, βλέπετε ότι έχω δύο -- ξέρω 'γω αυτά τα --

είπα κεράσια, αλλά θα μπορούσαν να είναι κόκκινα μούρα ή ο,τιδήποτε.

Και έτσι έχω δύο, έχω τρία

και το 2 και το 3 δεν εξαφανίζονται ποτέ.

Και τα προσθέτω μαζί, έχω 5.

Αλλά εδώ λέμε πως 2 φορές το 3

είναι το ίδιο με το 3 συν 3.

Πού πήγε το 2;

Το δύο σ'αυτή την περίπτωση,

μου λέει πόσες φορές θα προσθέσω το τρία στον εαυτό του.

Αλλά το ενδιαφέρον είναι πως όπως κι αν δω το 2 φορές το 3,

Μπορώ να το δω σαν 2 συν 2 συν 2,

ή να προσθέσω το 2 στον εαυτό του τρείς φορές.

Επίσης μπορώ να το δώ

σαν να προσθέτω το 3 στον εαυτό του δύο φορές.

Αλλά δείτε, παίρνω την ίδια απάντηση.

Πόσο κάνει τρία συν τρία;

Και αυτό είναι ίσον με έξι.

Και ίσως αυτή είναι η πρώτη φορά στα μαθηματικά

που συναντάτε κάτι τόσο βολικό!

Μερικές φορές, όποιο δρόμο και να πάρετε,

αρκεί να είναι ο σωστός δρόμος, έχετε το ίδιο αποτέλεσμα.

Έτσι δυό άνθρωποι μπορούν να το φανταστούν--

αρκεί να το φαντάζονται σωστά,

δυό διαφορετικά προβλήματα, και να καταλήξουν στην ίδια απάντηση.

Και μάλλον θα σκέφτεστε τώρα,

Σαλ, πότε είναι χρήσιμος ο πολλαπλασιασμός;

Και εδώ είναι που είναι χρήσιμος.

Μερικές φορές κάνει το μέτρημα ευκολότερο.

Ας πούμε πως έχω ένα--

χμ, ας μείνουμε στην αναλογία με τα φρούτα.

Μια αναλογία είναι όταν χρησιμοποιείς κάτι σαν--

χμ, δε θα το αναλύσω αυτό πολύ.

Αλλά το παράδειγμά μας με τα φρούτα.

Ας πούμε πως έχω λεμόνια.

Ας ζωγραφίσω μερικά λεμόνια.

Θα τα ζωγραφίσω σε σειρές σε τριάδες.

Έτσι έχω ένα, δύο, τρία-- ε, δε θα τα μετρήσω

γιατί έτσι θα πω την απάντηση.

Ζωγραφίζω μερικά λεμόνια.

Λοιπόν, αν σας ρωτούσα να μου πείτε πόσα λεμόνια έχουμε εδώ.

Και αν το έκανα αυτό,

θα ξεκινούσατε να μετράτε τα λεμόνια.

Και δε θα σας έπαιρνε πολύ χρόνο να μου απαντήσετε, πως, α,

έχουμε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, εφτά, οχτώ, εννιά, δέκα, έντεκα, δώδεκα λεμόνια.

Και βασικά σας είπα την απάντηση.

Ξέρουμε λοιπόν πως έχουμε δώδεκα λεμόνια εδώ.

Αλλά υπάρχει ένας ευκολότερος τρόπος

ένας γρηγορότερος τρόπος να μετρήσετε τα λεμόνια.

Προσέξτε: πόσα λεμόνια έχουμε σε κάθε σειρά;

Μια σειρά είναι απ'τη μια άκρη μέχρι την άλλη με λεμόνια.

Νομίζω ξέρετε τι είναι μια σειρά.

Δε θέλω να σας υποτιμήσω.

Λοιπόν, πόσα λεμόνια έχουμε σε μια σειρά;

Χμ, έχουμε τρία λεμόνια σε μια σειρά.

Ας σας ρωτήσω τώρα αυτό.

Πόσες σειρές έχουμε;

Χμ, εδώ είναι μια σειρά, και αυτή είναι η δεύτερη σειρά,

και αυτή είναι η τρίτη σειρά, και αυτή είναι η τέταρτη σειρά.

Άρα ένας εύκολος τρόπος είναι να πούμε, έχω τρία λεμόνια σε κάθε σειρά

και έχω τέσσερις σειρές.

Άρα λέμε έχουμε τρία λεμόνια ανα σειρά.

Ελπίζω να μη σας μπερδεύω αλλά νομίζω θα σας αρέσει αυτό.

Και έχω τέσσερις σειρές.

Άρα έχω τέσσερις φορές τρία λεμόνια.

Τέσσερα επί τρία λεμόνια. (Το επί σημαίνει φορές!)

Και αυτό πρέπει να ισούται με τον αριθμό των λεμονιών που έχω -- δώδεκα.

Και για να το ταιριάξουμε με ότι είπα για την πρόσθεση,

ας σκεφτούμε το εξής.

Τέσσερεις φορές το τρία, κυριολεκτικά όταν,

ξέρετε, όταν λέτε τις λέξεις τέσσερις φορές το τρία,

Εγώ φανταζομαι το εξής.

Φαντάζομαι τέσσερις φορές τρία.

Δηλαδή τέσσερα επί τρία

Τρία, συν τρία , συν τρία, συν τρία.

Και αν το κάνουμε αυτό έχουμε:

Τρία συν τρία είναι έξι

Έξι συν τρία κάνει εννιά.

Εννιά συν τρία κάνει δώδεκα.

Και έτσι μάθαμε ως τώρα, σ' αυτό το κομμάτι του βίντεο,

μάθαμε πως αυτόν τον πολλαπλασιασμό

μπορούμε να τον δούμε

σαν τρείς φορές το τέσσερα.

Μπορείτε ν' αλλάξετε τη σειρά.

Και αυτή είναι μία από τις χρήσιμες

και ενδιαφέρουσες, βασικά, ιδιότητες του πολλαπλασιασμού.

Αλλά αυτό μπορεί να γραφτεί και ως τέσσερις φορές το τρία.

Τέσσερα, συν τέσσερα, συν τέσσερα.

Προσθέτετε το τέσσερα στον εαυτό του τρείς φορές.

Τέσσερα συν τέσσερα κάνει οχτώ.

Οχτώ συν τέσσερα κάνει δώδεκα.

Και μερικές φορές λέμε τέσσερις φορές το τρία,

αλλά ξέρετε, έχω γνωρίσει ανθρώπους

και πολλοί στην οικογένειά μου το έμαθαν με το--

νομίζω το λένε το Αγγλικό σύστημα.

Συχνά λένε τέσσερα τριάρια, ή τρία τεσσάρια.

Και κατά κάποιον τρόπο αυτός ο τρόπος είναι πιο διαισθητικός.

Δεν ακούγεται διαισθητικός την πρώτη φορά που το ακούς,

αλλά γράφουν αυτό το πολλαπλασιαστικό πρόβλημα,

ή λένε γι'αυτό το πολλαπλασιαστικό πρόβλημα.

λένε, τί είναι τέσσερα τριάρια;

Και όταν λένε τέσσερα τριάρια,

λένε κυριολεκτικά, τί είναι τέσσερις τριάδες;

Άρα αυτό είναι μία τριάδα, δύο τριάδες, τρείς τριάδες, τέσσερεις τριάδες.

Τί είναι τέσσερις τριάδες όταν τις προσθέσεις μεταξύ τους;

Είναι δώδεκα.

Επίσης μπορείτε να πείτε, τί είναι τρία τεσσάρια;

Ας το γράψω αυτό.

Ας το γράψω με διαφορετικό χρώμα.

Αυτό είναι τέσσερις τριάδες.

Δηλαδή κυριολεκτικά τέσσερις τριάδες.

Αν σας έλεγα, γράψτε τέσσερις τριάδες και προσθέστε τες,

σημαίνει αυτό.

Και αυτό είναι τέσσερις φορές το τρία, ή τέσσερα επί τρία.

'Η τρείς φορές το τέσσερα (τρία επί τέσσερα)

Και αυτό είναι -- ας το γράψω με άλλο χρώμα,

αυτό είναι τρείς τετράδες.

Και αυτό μπορεί να γραφτεί ως τρείς φορές το τέσσερα (τρία επί τέσσερα).

Και όλα τους ισούνται με δώδεκα.

Και μάλλον θα λέτε τώρα,

ωραία όλα αυτά, ωραίο κολπάκι Σαλ,

τώρα μας έμαθες,

αλλά σου πήρε λιγότερο χρόνο να μετρήσεις αυτά τα λεμόνια

από το να λύσεις αυτό το πρόβλημα.

Καταρχάς αυτό είναι αλήθεια τώρα που πρωτομαθαίνετε πολλαπλασιασμό.

Αλλά θα ανακαλύψετε πως μερικές φορές,

και βασικά πολλές φορές--

Δε θέλω να χρησιμοποιώ τη λέξη φορές τόσο σε ένα βίντεο για το πολλαπλασιασμό--

όταν κάθε σειρά λεμονιών,

αντί για τρία,

μπορεί να έχει εκατό λεμόνια!

Και μπορεί να έχουμε εκατό σειρές!

Θα σας έπαιρνε πολύ καιρό να μετρήσετε όλα τα λεμόνια,

αλλά εδώ ακριβώς είναι χρήσιμος ο πολλαπλασιασμός,

αν και δε θα μάθουμε τώρα πως να πολλαπλασιάζουμε εκατό επί εκατό.

Τώρα, ένα πράγμα θέλω να σας πω,

ένα κολπάκι.

Θυμάμαι η αδερφή μου, έτσι για να μου δείξει πόσο εξυπνότερη από μένα είναι,

όταν ήμουν στο νηπιαγωγείο και αυτή ήταν στη τρίτη δημοτικού,

Μου έλεγε, "Σαλ, πόσο κάνει τρείς φορές το ένα;"

Και γω έλεγα, επειδή το μυαλό μου έλεγε,

Α! Αυτό είναι τρία συν ένα,

και της απαντούσα τρία συν ένα κάνει τέσσερα.

Και έτσι έλεγα,

Α! Ξέρεις, τρεις φορές το ένα, αυτό πρέπει να κάνει τέσσερα επίσης.

Και μου 'λεγε αυτή "Όχι χαζούλη! Κάνει τρία!"

Και δε μπορούσα να το φανταστώ, πώς είναι δυνατόν;

Πώς είναι δυνατόν, τρείς φορές ένας άλλος αριθμός, να είναι ο ίδιος αριθμός;

Σκεφτείτε τί σημαίνει αυτό.

Μπορείτε να το δείτε σα τρεις μονάδες.

Και τί είναι τρεις μονάδες;

Είναι ένα 1, συν άλλο 1, συν άλλο 1.

Αυτό κάνει 3.

Ή μπορείτε να το δειτε σαν το 3 μία φορά.

Τί είναι το τρία μία φορά;

Είναι σχεδόν χαζούλικο το πόσο απλό είναι!

Είναι απλά τρία.

Είναι ένα 3.

Αυτό μπορείτε να το γράψετε σαν ένα τρία.

Και όπως με ο,τιδήποτε επί ένα,

ή ένα επί οτιδήποτε,

αυτό κάνει αυτό το ο,τιδήποτε!

Άρα, τρείς φορές το ένα κάνει τρία.

Ένα επί τρία κάνει τρία.

Και ξέρετε, θα μπορούσα να πώ, εκατό φορές το ένα

κάνει εκατό.

Θα μπορούσα να πω ότι ένα επί τριάνταεννιά

κάνει τριάνταεννιά.

Και νομίζω ξέρετε τόσο μεγάλους αριθμούς πιά.

Άρα αυτό είναι ενδιαφέρον.

Λοιπόν κάτι ακόμα ενδιαφέρον για τον πολλαπλασιασμό.

Όταν πολλαπλασιάζετε με το μηδέν.

Και θα ξεκινήσω με την αναλογία, ή το παράδειγμα, με τη πρόσθεση.

Τρία συν μηδέν, ελπίζω πως μάθατε πια

ότι κάνει τρία.

Αυτό γιατί προσθέτω τίποτα στο τρία.

Αν έχετε τρία μήλα,

και σας δώσω μηδέν μήλα επιπλέον,

ακόμα έχετε τρία μήλα.

Αλλά τι είναι τρία--

και μπορεί να παραεπιμένω στον αριθμό τρία--

χμ, ας τον αλλάξω λοιπόν--

Πόσο είναι τέσσερις φορές το μηδέν;

Αυτό είναι σα να λέμε μηδέν φορές το τέσσερα.

Δηλαδή, πόσο είναι μηδέν, συν μηδέν, συν μηδέν, συν μηδέν;

Ε, είναι μηδέν!

Έτσι; Έχω τίποτα, συν τίποτα, συν τίποτα, συν τίποτα.

Άρα έχω τίποτα!

Ένας άλλος τρόπος να το δείτε,

Θα μπορούσα να πω το τέσσερα μηδέν φορές.

Πώς γράφω τέσσερα μηδέν φορές;

Ε δε γράφω τίποτα, έτσι;

Γιατί αν γράψω κάτι,

αν γράψω ένα τέσσερα, τότε δεν έχω "κανένα τέσσερα".

Έτσι αυτό είναι σα να λέμε--

αυτό είναι τέσσερα--

ας το γράψω--

αυτό είναι τέσσερα μηδενικά.

Αλλά θα μπορούσα να γράψω μηδέν τεσσάρια.

Και πόσο είναι μηδέν τεσσάρια;

Ε, θα γράψω ένα μεγάλο κενό εδώ.

Να, το έγραψα!

Τα μηδέν τεσσάρια είναι εδω!

Άρα ένα μεγάλο κενό.

Κι αυτό είναι ακόμα ένα διασκεδαστικό πράμα.

Δηλαδή ο,τιδήποτε επί μηδέν κάνει μηδέν!

Θα μπορούσα να γράψω έναν τεράστιο αριθμό.

Ξέρετε, πέντε εκατομμύρια τετρακόσιες εννενηντατρείς χιλιάδες εξακόσια εννενήνταδύο

επί μηδέν.

Πόσο κάνει αυτό;

Αυτό κάνει μηδέν.

Και επί τη ευκαιρία,

πόσο κάνει αυτός ο αριθμός επί ένα;

Ε, κάνει τον ίδιο τον αριθμό ξανά.

Και πόσο είναι μηδέν επί δεκαεφτά;

Ξανά, κάνει μηδέν.

Τέλος πάντων, νομίζω πολύ μίλησα.

Θα τα πούμε στο επόμενο βίντεο!