Return to Video

Основная теорема арифметики

  • 0:04 - 0:07
    Представьте, что мы живем в доисторические времена.
  • 0:07 - 0:09
    Рассмотрим следующее:
  • 0:09 - 0:13
    Как мы можем следить за временем без часов?
  • 0:13 - 0:15
    Все часы основаны на каком-либо повторяющемся шаблоне,
  • 0:15 - 0:19
    который делит время на равные части.
  • 0:19 - 0:21
    Для нахождения этих шаблонов
  • 0:21 - 0:23
    мы обращаемся к небесам.
  • 0:23 - 0:26
    Солнце, восходящее и заходящее каждый день -- это
  • 0:26 - 0:29
    самое очевидное.
  • 0:29 - 0:31
    Однако, для того, чтобы отслеживать более продолжительные периоды времени,
  • 0:31 - 0:33
    мы обращаемся к более длинным циклам.
  • 0:33 - 0:37
    Для этого рассмотрим луну,
  • 0:37 - 0:39
    которая, похоже, постепенно растет
  • 0:39 - 0:41
    и уменьшается в течение многих дней.
  • 0:41 - 0:43
    Подсчитав количество дней
  • 0:43 - 0:46
    между полнолуниями,
  • 0:46 - 0:49
    мы получим число 29.
  • 0:49 - 0:52
    Это то, откуда взялся месяц.
  • 0:52 - 0:55
    Если мы попытаемся разделить 29 на равные части,
  • 0:55 - 0:57
    то столкнемся с проблемой -- это невозможно.
  • 0:57 - 0:59
    Единственный способ разделить 29 на равные части -- это
  • 0:59 - 1:01
    снова разбить его на отдельные единицы.
  • 1:01 - 1:04
    29 -- простое число.
  • 1:04 - 1:07
    Его можно считать неделимым.
  • 1:07 - 1:08
    Если число можно разбить
  • 1:08 - 1:10
    на равные части большие единицы,
  • 1:10 - 1:14
    то такое число называется составным.
  • 1:14 - 1:16
    Теперь, если мы любопытные, нам захочется узнать
  • 1:16 - 1:18
    сколько простых чисел существует,
  • 1:18 - 1:20
    и насколько они велики?
  • 1:20 - 1:23
    Начнем с разделения всех чисел на две категории.
  • 1:23 - 1:24
    Простые запишем слева,
  • 1:24 - 1:26
    а составные справа.
  • 1:26 - 1:29
    Сначала, кажется, что они скачут туда-сюда,
  • 1:29 - 1:32
    и никакой закономерности тут нет.
  • 1:32 - 1:34
    Вернемся к современным техникам,
  • 1:34 - 1:37
    чтобы увидеть картину целиком.
  • 1:37 - 1:41
    Весь фокус в использовании Скатерти Улама.
  • 1:41 - 1:43
    Сначала все числа записываются
  • 1:43 - 1:45
    по направлению роста спирали.
  • 1:45 - 1:48
    Затем простые числа выделяются цветом.
  • 1:48 - 1:50
    И наконец, уменьшим масштаб, чтобы увидеть 3 миллиона чисел.
  • 1:50 - 1:52
    Это и есть шаблон распределения простых чисел,
  • 1:52 - 1:53
    который повторяется и повторяется до бесконечности.
  • 1:53 - 1:56
    Невероятно, но вся структура этой закономерности
  • 1:56 - 1:58
    не раскрыта до сих пор.
  • 1:58 - 1:59
    Но мы уже близки.
  • 1:59 - 2:03
    Но отмотаем назад
  • 2:03 - 2:05
    до 300 года до нашей эры. В Древнюю Грецию.
  • 2:05 - 2:07
    Философ, известный как Эвклид Александрийский,
  • 2:07 - 2:10
    понял, что все числа
  • 2:10 - 2:13
    могут быть разделены на эти две категории.
  • 2:13 - 2:16
    Сначала он понял, что любое число
  • 2:16 - 2:17
    можно делить снова и снова
  • 2:17 - 2:21
    до тех пор, пока не доберешься до наименьших равных чисел.
  • 2:21 - 2:23
    И по определению эти наименьшие числа
  • 2:23 - 2:26
    всегда являются простыми.
  • 2:26 - 2:31
    Таким образом он знал, что все числа
  • 2:31 - 2:33
    тем или иным образом состоят из меньших простых.
  • 2:33 - 2:35
    Чтобы прояснить это, можно представить множество всех чисел,
  • 2:35 - 2:38
    отбросив простые.
  • 2:38 - 2:40
    Затем нужно выбрать составное число
  • 2:40 - 2:42
    и разбить его.
  • 2:42 - 2:46
    Всегда будут оставаться только простые числа.
  • 2:46 - 2:48
    Эвклид знал, что каждое число
  • 2:48 - 2:51
    может быть выражено через набор меньших простых чисел.
  • 2:51 - 2:52
    Это как строительные блоки.
  • 2:54 - 2:56
    Без разницы, какое число выбрано.
  • 2:56 - 2:57
    Его всегда можно представить суммой меньших простых чисел.
  • 2:57 - 3:00
    В этом самая суть открытия,
  • 3:00 - 3:02
    известного как основная теорема арифметики.
  • 3:02 - 3:06
    Таким образом:
  • 3:06 - 3:08
    Возьмем любое число, к примеру 30,
  • 3:08 - 3:11
    и найдем все простые числа,
  • 3:11 - 3:13
    которые делят его поровну.
  • 3:13 - 3:14
    Это называется разложением на множители.
  • 3:14 - 3:16
    В результате получим простые множители.
  • 3:16 - 3:21
    В нашем случае 2, 3 и 5 -- это простые множители 30-ти.
  • 3:21 - 3:23
    Эвклид понял, что можно перемножить
  • 3:23 - 3:25
    эти простые множители определенное число раз,
  • 3:25 - 3:27
    чтобы получить исходное число.
  • 3:27 - 3:29
    В нашем случае просто
  • 3:29 - 3:31
    перемножаем все множители по одному разу.
  • 3:31 - 3:34
    2 x 3 x 5 = 30
  • 3:34 - 3:36
    Хорошая аналогия -- это представить числа
  • 3:34 - 3:36
    Это особая комбинация.
  • 3:36 - 3:38
    Нет способа получить 30
  • 3:36 - 3:38
    в виде различных замков.
  • 3:38 - 3:40
    с помощью перемножения
  • 3:38 - 3:40
    Уникальным ключом для каждого из них
  • 3:40 - 3:42
    другого набора простых чисел.
  • 3:40 - 3:42
    является их разложение на простые множители.
  • 3:42 - 3:44
    Никакие два замка не откроются одинаковым ключом.
  • 3:42 - 3:44
    Таким образом каждое возможное число раскладывается,
  • 3:44 - 3:48
    причем единственным образом, на простые множители.
  • 3:44 - 3:48
    Нет двух чисел, которые раскладываются на одинаковые простые множители.
Title:
Основная теорема арифметики
Description:

Основная теорема арифметики

more » « less
Video Language:
English
Duration:
03:52

Russian subtitles

Revisions Compare revisions