Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики

Представьте, что мы живем в доисторические времена.

Рассмотрим следующее:

Как мы можем следить за временем без часов?

Все часы основаны на каком-либо повторяющемся шаблоне,

который делит время на равные части.

Для нахождения этих шаблонов

мы обращаемся к небесам.

Солнце, восходящее и заходящее каждый день -- это

самое очевидное.

Однако, для того, чтобы отслеживать более продолжительные периоды времени,

мы обращаемся к более длинным циклам.

Для этого рассмотрим луну,

которая, похоже, постепенно растет

и уменьшается в течение многих дней.

Подсчитав количество дней

между полнолуниями,

мы получим число 29.

Это то, откуда взялся месяц.

Если мы попытаемся разделить 29 на равные части,

то столкнемся с проблемой -- это невозможно.

Единственный способ разделить 29 на равные части -- это

снова разбить его на отдельные единицы.

29 -- простое число.

Его можно считать неделимым.

Если число можно разбить

на равные части большие единицы,

то такое число называется составным.

Теперь, если мы любопытные, нам захочется узнать

сколько простых чисел существует,

и насколько они велики?

Начнем с разделения всех чисел на две категории.

Простые запишем слева,

а составные справа.

Сначала, кажется, что они скачут туда-сюда,

и никакой закономерности тут нет.

Вернемся к современным техникам,

чтобы увидеть картину целиком.

Весь фокус в использовании Скатерти Улама.

Сначала все числа записываются

по направлению роста спирали.

Затем простые числа выделяются цветом.

И наконец, уменьшим масштаб, чтобы увидеть 3 миллиона чисел.

Это и есть шаблон распределения простых чисел,

который повторяется и повторяется до бесконечности.

Невероятно, но вся структура этой закономерности

не раскрыта до сих пор.

Но мы уже близки.

Но отмотаем назад

до 300 года до нашей эры. В Древнюю Грецию.

Философ, известный как Эвклид Александрийский,

понял, что все числа

могут быть разделены на эти две категории.

Сначала он понял, что любое число

можно делить снова и снова

до тех пор, пока не доберешься до наименьших равных чисел.

И по определению эти наименьшие числа

всегда являются простыми.

Таким образом он знал, что все числа

тем или иным образом состоят из меньших простых.

Чтобы прояснить это, можно представить множество всех чисел,

отбросив простые.

Затем нужно выбрать составное число

и разбить его.

Всегда будут оставаться только простые числа.

Эвклид знал, что каждое число

может быть выражено через набор меньших простых чисел.

Это как строительные блоки.

Без разницы, какое число выбрано.

Его всегда можно представить суммой меньших простых чисел.

В этом самая суть открытия,

известного как основная теорема арифметики.

Таким образом:

Возьмем любое число, к примеру 30,

и найдем все простые числа,

которые делят его поровну.

Это называется разложением на множители.

В результате получим простые множители.

В нашем случае 2, 3 и 5 -- это простые множители 30-ти.

Эвклид понял, что можно перемножить

эти простые множители определенное число раз,

чтобы получить исходное число.

В нашем случае просто

перемножаем все множители по одному разу.

2 x 3 x 5 = 30

Хорошая аналогия -- это представить числа

Это особая комбинация.

Нет способа получить 30

в виде различных замков.

с помощью перемножения

Уникальным ключом для каждого из них

другого набора простых чисел.

является их разложение на простые множители.

Никакие два замка не откроются одинаковым ключом.

Таким образом каждое возможное число раскладывается,

причем единственным образом, на простые множители.

Нет двух чисел, которые раскладываются на одинаковые простые множители.