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O Teorema Fundamental da Aritmética

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    Imaginem que vivemos na pré-história.
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    Agora pensem no seguinte:
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    Como anotaríamos a passagem
    do tempo sem um relógio?
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    Todos os relógios se baseiam
    num padrão repetitivo
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    que divide o tempo em partes iguais.
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    Para encontrar esses padrões repetitivos
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    olhamos para os céus.
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    O nascer e o pôr do Sol
    em cada dia é o mais óbvio.
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    Contudo, para anotar a passagem
    de períodos mais longos de tempo
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    temos de procurar ciclos mais longos.
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    Para isso observamos a Lua,
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    que parece crescer e diminuir
    ao longo de vários dias.
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    Quando contamos o número
    de dias entre duas luas cheias
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    notamos que são 29.
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    Foi assim que se "inventou" o mês.
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    No entanto, se tentarmos
    dividir 29 em partes iguais
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    temos um problema: não é possível.
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    A única maneira de dividir 29 em partes iguais
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    é "parti-lo" nas suas unidades unitárias.
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    29 é um número primo.
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    Pensem nele como sendo inquebrável.
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    Se um número pode ser dividido
    em partes iguais maiores que a unidade
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    chamamos-lhe número composto.
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    Nesta altura, se formos curiosos
    poderemos perguntar-nos:
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    quantos números primos há
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    e qual é o maior deles?
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    Comecemos por separar todos
    os números em duas categorias.
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    os números primos à esquerda,
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    e os números compostos à direita.
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    Ao princípio parecem
    dançar para cá e para lá.
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    Não se nota um padrão óbvio, aqui.
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    Então vamos usar uma técnica moderna
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    para vermos o quadro geral.
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    O truque é usar a espiral Ulam.
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    Primeiro ordenamos todos
    os números possíveis
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    numa espiral crescente.
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    Depois pintamos os números primos de azul.
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    Finalmente, olhámos de longe
    para vermos milhões de números.
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    Este é o padrão dos números primos,
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    que continua ininterruptamente.
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    Inacreditàvelmente,
    ainda não se conseguiu,
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    até hoje, conhecer toda a
    estrutura deste padrão.
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    Estamos a chegar a alguma coisa.
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    Então saltemos até cerca do
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    ano 300 A.C., na Grécia Antiga.
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    Um filósofo conhecido como
    Euclides de Alexandria
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    percebeu que todos os números
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    podiam ser separados
    nestas duas categorias.
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    Começou por tomar consciência
    de que qualquer número
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    pode ser dividido sucessivamente
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    até se chegar a um grupo de pequenos números.
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    E, por definição, esses pequenos números
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    são sempre números primos.
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    Ou seja: ele descobriu que todos
    os números são, de algum modo,
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    formados a partir de
    pequenos úmeros primos
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    Vamos esclarecer. Imagine um
    universo de todos os números
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    E ignore os números primos.
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    Agora escolha um número
    composto e decomponha-o
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    e vai acabar por ficar com números primos.
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    Portanto, Euclides sabia
    que qualquer número
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    podia ser expresso usando um
    grupo de pequenos números primos.
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    Pense neles como sendo tijolos.
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    Seja qual for o número que escolhamos
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    ele pode, sempre, ser construído com
    um agrupamento de pequenos números primos
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    Esta é a raiz da descoberta
    conhecida como
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    Teorema Fundamental da Aritmética.
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    Para continuar, tomemos um número,
    por exemplo, 30
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    e encontremos os números primos
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    que o constituem.
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    É o que chamamos factorização.
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    Com isto vamos encontrar os factores primos,
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    Neste caso 2, 3 e 5 são os factores primos de 30.
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    Euclides descobriu que podemos multiplicar
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    estes factores primos de uma maneira específica
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    para construir o número original
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    Neste caso basta
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    multiplicar uma vez cada um
    dos factores para obter 30:
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    2 vezes 3 vezes 5 é a factorização de 30.
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    Imaginemos que esse produto é uma
    chave especial, ou uma combinação
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    Não há outra maneira de refazer 30
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    usando o produto de qualquer
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    outro grupo de números primos.
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    Portanto, qualquer número tem uma
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    única factorização em números primos.
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    Uma boa analogia é imaginar que cada número
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    Uma boa analogia é imaginar cada número
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    é um cadeado diferente.
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    como um cadeado diferente.
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    A única chave para este cadeado
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    A unica chave para cada cadeado
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    será a sua factorização.
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    seria sua fatorização prima
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    Não há dois cadeados
    com a mesma chave
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    Nenhum cadeado divide uma chave com outro.
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    Não há dois números com
    a mesma factorização.
  • 3:44 - 3:48
    E nenhum número divide sua fatorização prima.
Title:
O Teorema Fundamental da Aritmética
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O Teorema Fundamental da Aritmética

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English
Duration:
03:52

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