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Immaginate di vivere nella preistoria.
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Ora, considerate quanto segue:
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come segnamo il tempo, senza un orologio?
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Tutti gli orologi sono basati su un qualche schema ripetitivo
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che divide il totale del tempo in segmenti uguali.
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Per trovare questi schemi ripetitivi,
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guardiamo il cielo.
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Il sole che sorge e tramonta ogni giorno
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è il più ovvio; tuttavia per tenere il conto di
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periodi più lunghi cerchiamo cicli più lunghi.
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Perciò, ci rivolgiamo alla luna che
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sembra crescere e decrescere gradualmente in uno spazio di molti giorni.
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Quando contiamo i giorni tra
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due lune piene, raggiungiamo il numero di 29.
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Questa è l'origine del mese.
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Tuttavia, se proviamo a dividere 29 in parti uguali,
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riscontriamo un problema: è impossibile.
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L'unico modo per dividere 29 in parti uguali
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è ri-spezzettarlo in singole unità.
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29 è un numero primo.
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Immaginate che sia indistruttibile.
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Se un numero più essere spezzato in parti uguali
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maggiori di 1, lo chiamiamo numero composto.
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Se siamo curiosi, possiamo chiederci:
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quanti numeri primi ci sono e
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quanto grandi possono diventare?
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Iniziamo dividendo i numeri in due categorie.
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Incolonniamo i numeri primi a sinistra e
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i composti a destra.
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All'inizio, sembrano andare avanti e indietro.
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Non c'è uno schema logico.
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Usiamo una tecnica moderna
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per vedere il quadro d'insieme.
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Il trucco è usare la spirale di Ulam.
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Primo, scriviamo tutti i numeri possibili in ordine
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crescente in una spirale dall'interno verso l'esterno.
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Poi, coloriamo di blu i numeri primi.
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Infine, zummiamo all'indietro per vedere milioni di numeri.
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E' lo schema di numeri primi che
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continua all'infinito.
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L'intera struttura dello schema
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non è stata ancora risolta.
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Siamo sulle tracce di qualcosa.
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Saltiamo in avanti, attorno al
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300 a.C. in antica Grecia.
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Un filosofo noto come Euclide
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di Alessandria capì che tutti i numeri
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potevano essere divisi in queste due categorie separate.
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Iniziò accorgendosi che qualsiasi numero
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poteva essere diviso e suddiviso fino
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a un gruppo di numeri uguali più piccoli.
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E per definizione, questi numeri più piccoli di tutti
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sono sempre numeri primi.
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Seppe così che tutti i numeri sono
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in qualche modo formati da numeri primi più piccoli.
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Immaginate un universo di
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tutti i numeri e togliete i numeri primi.
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Prendete un qualsiasi numero composto e suddividetelo:
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rimarrete sempre con dei numeri primi.
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Euclide sapeva che qualsiasi numero
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poteva essere espresso usando un gruppo di numeri primi più piccoli.
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Pensate a dei mattoni da costruzione.
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Non importa che numero scegliete
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può sempre essere costruito con una quantità di numeri primi più piccoli.
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Questo sta alla radice della scoperta
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nota come il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica.
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Così: prendete qualsiasi numero, tipo 30,
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e trovate tutti i numeri primi
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uguali in cui può dividersi.
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E' chiamata riduzione in fattori.
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Questo ci dà i fattori primi,
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in questo caso 2, 3 e 5: sono i numeri primi fattori di 30.
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Euclide si accorse che si possono moltiplicare
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questi fattori primi un numero preciso di volte
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per costruire il numero originario.
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In questo caso, moltiplicate semplicemente ciascun
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fattore una volta per fare 30.
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2 volte 3 volte 5 è la riduzione in fattori primi di 30.
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Pensatela come una conbinazione speciale.
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Non c'è altro modo di fare 30
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con un altro gruppo di
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numeri primi moltiplicati tra loro.
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Ogni numero possibile ha una
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e una sola riduzione in fattori primi.
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Una buona analogia è immaginare ciascun
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numero come un lucchetto diverso.
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L'unica combinazione per il lucchetto
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è la sua riduzione in fattori primi.
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Non ci sono due lucchetti con la stessa combinazione.
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Né due numeri con la stessa riduzione in fattori primi.
