Return to Video

המשפט היסודי של האריתמטיקה

  • 0:04 - 0:07
    דמיינו כי אנו חיים בזמן פרה-היסטורי.
  • 0:07 - 0:09
    כעת, נסו לשער:
  • 0:09 - 0:13
    איך יכולנו לנהל את זמננו בלי שעון?
  • 0:13 - 0:15
    כל השעונים מבוססים על איזושהי תבנית החוזרת על עצמה
  • 0:15 - 0:19
    המחלקת את הזמן למקטעים שווים.
  • 0:19 - 0:21
    למצוא את התבניות החוזרות
  • 0:21 - 0:23
    אנו מתבוננים לשמים.
  • 0:23 - 0:25
    הכי ברורה היא השמש הזורחת ושוקעת בסוף כל יום
  • 0:26 - 0:29
    אולם לעקוב אחר פרקי זמן ארוכים יותר
  • 0:29 - 0:31
    אנו מחפשים מחזורים ארוכים יותר.
  • 0:31 - 0:33
    לשם כך, אנו מתבוננים בירח
  • 0:33 - 0:34
    הגדל בהדרגה ואחר כך מצטמק לאורך ימים רבים.
  • 0:37 - 0:38
    כאשר אנו סופרים את מספר הימים בין מופעי ירח מלא
  • 0:39 - 0:41
    אנו מגיעים למספר 29.
  • 0:41 - 0:43
    זהו מקורו של מושג החודש.
  • 0:43 - 0:46
    אבל, אם ננסה לחלק 29 למקטעים שווים
  • 0:46 - 0:49
    ניקלע לבעיה: הדבר בלתי אפשרי.
  • 0:49 - 0:52
    הדרך היחידה לחלק 29 למקטעים שווים
  • 0:52 - 0:55
    היא לפרקו חזרה ליחידות בודדות...
  • 0:55 - 0:57
    29 הוא מספר ראשוני.
  • 0:57 - 0:59
    חישבו עליו כעל "בלתי פָּרִיק".
  • 0:59 - 1:01
    אם מספר יכול להתפרק לחלקים שווים הגדולים מ-1,
  • 1:03 - 1:05
    אנו מכנים אותו "מספר פָּרִיק".
  • 1:05 - 1:07
    אם אנו סקרנים, נוכל לתהות:
  • 1:07 - 1:08
    כמה מספרים ראשוניים קיימים,
  • 1:08 - 1:10
    ולאיזה גודל הם יכולים להגיע?
  • 1:10 - 1:14
    הבה נתחיל על ידי חלוקה של כל המספרים לשני סוגים.
  • 1:14 - 1:16
    נרשום את כל הראשוניים בצד שמאל
  • 1:16 - 1:18
    ואת הפריקים בימין.
  • 1:18 - 1:20
    תחילה נדמה שהם קופצים לסירוגין בין הטורים.
  • 1:20 - 1:23
    אין תבנית ברורה.
  • 1:23 - 1:24
    אז הבה נשתמש בשיטה מודרנית
  • 1:24 - 1:26
    לראות את התמונה הגדולה.
  • 1:26 - 1:29
    הטריק הוא להשתמש ב"ספירלת אולם" (Ulam)
  • 1:29 - 1:32
    תחילה נרשום את כל המספרים לפי סדר עולה
  • 1:32 - 1:34
    בצורת ספירלה.
  • 1:34 - 1:37
    עכשיו נצבע את כל הראשוניים בכחול.
  • 1:37 - 1:41
    ולבסוף נעשה "זום החוצה" לראות מיליוני מספרים.
  • 1:41 - 1:43
    זוהי תבנית הראשוניים
  • 1:43 - 1:45
    הממשיכה עוד ועוד לנצח.
  • 1:45 - 1:48
    באופן מדהים, המבנה המלא של תבנית זו
  • 1:48 - 1:50
    עדיין לא מפוענח עד היום.
  • 1:50 - 1:52
    אנו בדרך למשהו...
  • 1:52 - 1:53
    הבה נתקדם בזמן
  • 1:53 - 1:56
    לשנת 300 לפני הספירה ביוון העתיקה.
  • 1:56 - 1:58
    פילוסוף בשם אוקלידס מאלכסנדריה
  • 1:58 - 1:59
    הבין שאת כל המספרים
  • 1:59 - 2:03
    אפשר לחלק לשני הסוגים הללו.
  • 2:03 - 2:05
    תחילה הוא הבין שכל מספר
  • 2:05 - 2:07
    אפשר לחלק שוב ושוב
  • 2:07 - 2:11
    עד שמגיעים לקבוצה של מספרים אותם לא ניתן לחלק יותר
  • 2:11 - 2:13
    ובהגדרה, המספרים הקטנים הללו
  • 2:13 - 2:16
    הם תמיד מספרים ראשוניים.
  • 2:16 - 2:17
    אם כן, אנו יודעים שכל המספרים
  • 2:17 - 2:21
    איכשהו בנויים מראשוניים קטנים מהם.
  • 2:21 - 2:23
    להבהרה, דמיינו עולם מלא מספרים
  • 2:23 - 2:26
    (התעלמו לרגע מהראשוניים).
  • 2:26 - 2:28
    כעת קחו מספר פָּרִיק כלשהו ופרקו אותו לגורמיו
  • 2:31 - 2:33
    ותמיד תישארו עם מספרים ראשוניים.
  • 2:33 - 2:35
    אוקלידס ידע שכל מספר
  • 2:35 - 2:38
    אפשר לבטא בעזרת מספרים ראשוניים קטנים יותר.
  • 2:38 - 2:40
    נחשוב עליהם כעל אבני בניין.
  • 2:40 - 2:42
    לא משנה באיזה מספר תבחרו
  • 2:42 - 2:46
    תמיד אפשר יהיה לבנותו בעזרת ראשוניים קטנים ממנו.
  • 2:46 - 2:48
    זהו היסוד של התגלית
  • 2:48 - 2:51
    הידועה בשם "המשפט היסודי של האריתמטיקה".
  • 2:51 - 2:52
    לדוגמא בחרו במספר כלשהו, נניח 30,
  • 2:54 - 2:56
    ומצאו את כל המספרים הראשוניים
  • 2:56 - 2:57
    אליו הוא מתפרק.
  • 2:57 - 3:00
    תהליך זה ידוע בשם "פירוק לגורמים".
  • 3:00 - 3:02
    נקבל את הגורמים הראשוניים,
  • 3:02 - 3:06
    ובמקרה שלנו 2, 3 ו-5 הם הגורמים הראשוניים של 30.
  • 3:06 - 3:08
    אוקלידס הבין שאפשר להכפיל
  • 3:08 - 3:11
    גורמים ראשוניים אלה מספר מסויים של פעמים
  • 3:11 - 3:13
    כדי לבנות את המספר המקורי.
  • 3:13 - 3:14
    במקרה שלנו, פשוט
  • 3:14 - 3:16
    מכפילים כל גורם פעם אחת כדי לבנות את 30.
  • 3:16 - 3:20
    2 כפול 3 כפול 5 הוא הפירוק הראשוני של 30.
  • 3:20 - 3:23
    חישבו על זה כעל מפתח או צירוף מיוחד.
  • 3:23 - 3:25
    אין שום דרך אחרת לבנות 30
  • 3:25 - 3:27
    באמצעות קבוצה אחרת של מספרים ראשוניים
  • 3:27 - 3:29
    אותם נכפיל אחד בשני.
  • 3:29 - 3:31
    כלומר לכל מספר בעולם יש רק
  • 3:31 - 3:34
    פירוק לגורמים ראשוניים אחד ויחיד.
  • 3:34 - 3:36
    למשל, ניתן לחשוב על כל מספר
  • 3:36 - 3:38
    כעל מנעול יחידני.
  • 3:38 - 3:40
    המפתח המיוחד למנעול זה
  • 3:40 - 3:42
    יהיה הפירוק שלו לגורמים ראשוניים.
  • 3:42 - 3:44
    לאף שני מנעולים לא יהיה אותו מפתח.
  • 3:44 - 3:48
    לאף שני מספרים אין את אותו פירוק לגורמים ראשוניים.
Title:
המשפט היסודי של האריתמטיקה
Description:

המשפט היסודי של האריתמטיקה

more » « less
Video Language:
English
Duration:
03:52

Hebrew subtitles

Revisions Compare revisions