Return to Video

Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής

  • 0:04 - 0:07
    Φανταστείτε ότι ζούμε σε προϊστορικoύς
    χρόνους.
  • 0:07 - 0:09
    Τώρα, σκεφτείτε το εξής:
  • 0:09 - 0:13
    Πώς μετρούσαμε το πέρασμα του χρόνου
    χωρίς ρολόι;
  • 0:13 - 0:15
    Όλα τα ρολόγια βασίζονται σε κάποιο
    επαναλαμβανόμενο μοτίβο
  • 0:15 - 0:18
    το οποίο μοιράζει την ροή του χρόνου
    σε ίσα μέρη.
  • 0:19 - 0:21
    Για να βρούμε αυτά τα επανα-
    λαμβανόμενα μοτίβα,
  • 0:21 - 0:22
    κοιτάμε προς τον ουρανό.
  • 0:23 - 0:25
    Ο ήλιος που ανατέλει και δύει κάθε μέρα
  • 0:25 - 0:26
    είναι το προφανές μοτίβο.
  • 0:26 - 0:29
    Ωστόσο, για να μετρήσουμε το πέρασμα του χρόνου για μεγαλύτερες περιόδους
  • 0:29 - 0:31
    κοιτάμε για μεγαλύτερης διάρκειας κυκλικά φαινόμενα.
  • 0:31 - 0:33
    Γι'αυτό, κοιτάξαμε προς το φεγγάρι
  • 0:33 - 0:34
    το οποίο μοιάζει να μεγαλώνει και να μικραίνει
  • 0:34 - 0:36
    σταδιακά σε διάστημα πολλών ημερών.
  • 0:36 - 0:38
    Όταν μετράμε τις μέρες
  • 0:38 - 0:39
    ανάμεσα σε δύο πανσελήνους,
  • 0:39 - 0:41
    βρίσκουμε τον αριθμό 29.
  • 0:41 - 0:43
    Αυτός ο αριθμός είναι η προέλευση του μήνα.
  • 0:43 - 0:46
    Ωστόσο, αν προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 29 σε ίσα μέρη,
  • 0:46 - 0:49
    πέφτουμε πάνω σε ένα πρόβλημα: είναι αδύνατο.
  • 0:49 - 0:52
    Ο μόνος τρόπος να χωρίσουμε το 29 σε ίσα μέρη
  • 0:52 - 0:55
    είναι να το χωρίσουμε σε μονάδες.
  • 0:55 - 0:57
    Το 29 είναι πρώτος αριθμός.
  • 0:57 - 0:59
    Θεωρείστε τον ως αδιάσπαστο.
  • 0:59 - 1:01
    Άν ένας αριθμός μπορεί να διασπαστεί
  • 1:01 - 1:03
    σε ίσα μέρη μεγαλύτερα του ενός,
  • 1:03 - 1:05
    τότε τον λέμε σύνθετο.
  • 1:05 - 1:07
    Τώρα αν είμαστε περίεργοι, μπορεί να αναρωτηθούμε:
  • 1:07 - 1:08
    "Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν;
  • 1:08 - 1:10
    και πόσο μπορούν να αυξηθούν;"
  • 1:10 - 1:14
    Ας αρχίσουμε διαιρώντας όλους τους αριθμούς σε δύο κατηγορίες.
  • 1:14 - 1:16
    Παραθέτουμε τους πρώτους στα αριστερά
  • 1:16 - 1:18
    και τους σύνθετους στα δεξιά.
  • 1:18 - 1:20
    Αρχικά, μοιάζουν να χορεύουνε πέρα δώθε.
  • 1:20 - 1:23
    Δεν υπάρχει κάποιο προφανές μοτίβο εδώ.
  • 1:23 - 1:24
    Οπότε ας χρησιμοποιήσουμε μία σύγχρονη τεχνική
  • 1:24 - 1:26
    για να δούμε τη μεγαλύτερη εικόνα.
  • 1:26 - 1:29
    Το κόλπο είναι να χρησιμοποιήσουμε το σπιράλ του Ulam.
  • 1:29 - 1:32
    Πρώτα παραθέτουμε όλους του αριθμούς στη σειρά
  • 1:32 - 1:34
    σε αυξανόμενο σπιράλ.
  • 1:34 - 1:37
    Μετά, χρωματίζουμε όλους τους πρώτους αριθμούς με μπλε.
  • 1:37 - 1:41
    Τέλος, απομακρυνόμαστε και βλέπουμε εκατομμύρια αριθμούς.
  • 1:41 - 1:43
    Αυτό είναι το μοτίβο των πρώτων αριθμών
  • 1:43 - 1:45
    το οποίο συνεχίζεται για πάντα.
  • 1:45 - 1:48
    Είναι απίστευτο ότι η συνολική δομή αυτού του μοτίβου
  • 1:48 - 1:50
    δεν έχει λυθεί μέχρι σήμερα.
  • 1:50 - 1:52
    Υπάρχει λοιπόν κάτι ενδιαφέρον.
  • 1:52 - 1:53
    Ας μεταφερθούμε λοιπόν
  • 1:53 - 1:56
    γύρω στο 300 π.χ. στην Αρχαία Ελλάδα.
  • 1:56 - 1:58
    Ένας φιλόσοφος ονόματι Ευκλείδης ο Αλεξανδρινός
  • 1:58 - 1:59
    κατάλαβε ότι όλοι οι αριθμοί
  • 1:59 - 2:03
    μπορούσαν να χωριστούν σε αυτές τις δύο κατηγορίες.
  • 2:03 - 2:05
    Συνειδητοποίησε ότι κάθε αριθμός
  • 2:05 - 2:07
    μπορεί να χωριστεί ξανά και ξανά
  • 2:07 - 2:11
    μέχρι να φτάσουμε σε ένα σύνολο από ίσους μικρούς αριθμούς.
  • 2:11 - 2:13
    Εξ΄ορισμού, αυτοί οι μικροί αριθμοί
  • 2:13 - 2:16
    είναι πάντα πρώτοι αριθμοί.
  • 2:16 - 2:17
    Έτσι, ήξερε ότι όλοι οι αριθμοί
  • 2:17 - 2:21
    είναι κάπως φτιαγμένοι από μικρότερους πρώτους.
  • 2:21 - 2:23
    Για να είμαστε ξεκάθαροι, φανταστείτε ένα σύμπαν από όλους τους αριθμούς
  • 2:23 - 2:26
    και αγνοήστε τους πρώτους.
  • 2:26 - 2:28
    Τώρα, διαλέξτε έναν σύνθετο αριθμό,
  • 2:28 - 2:31
    χωρίστε τον σε μικρότερους,
  • 2:31 - 2:33
    και θα καταλήγετε πάντα με πρώτους αριθμούς.
  • 2:33 - 2:35
    Έτσι, ο Ευκλείδης ήξερε ότι κάθε αριθμός
  • 2:35 - 2:38
    μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας
    ένα σύνολο από μικρότερους πρώτους.
  • 2:38 - 2:40
    Σκεφτείτε τους ώς ένα σύνολο δομικών στοιχείων.
  • 2:40 - 2:42
    Ανεξάρτητα με το ποιον αριθμό θα διαλέξεις,
  • 2:42 - 2:46
    αυτός μπορεί πάντα να κατασκευαστεί
    με την προσθήκη μικρότερων πρώτων.
  • 2:46 - 2:48
    Αυτή είναι η βάση αυτής της ανακάλυψης,
  • 2:48 - 2:51
    γνωστή ώς το " Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής"
  • 2:51 - 2:52
    οπώς ακολουθεί:
  • 2:52 - 2:54
    Διαλέξτε εναν αριθμό, ας πούμε το 30,
  • 2:54 - 2:56
    και βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς
  • 2:56 - 2:57
    στους οποίους διαιρείται σε ίσα μέρη.
  • 2:57 - 3:00
    Αυτή η διαδικασία είναι γνωστή ώς παραγοντοποίηση.
  • 3:00 - 3:02
    Μας δίνει όλους τους πρώτους παράγοντες,
  • 3:02 - 3:06
    σε αυτή την περίπτωση, το 2, 3 και 5 είναι οι πρώτοι παράγοντες του 30.
  • 3:06 - 3:08
    Ο Ευκλείδης συνειδητοποίησε ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε
  • 3:08 - 3:11
    αυτούς τους πρώτους παράγοντες συγκεκριμένες φορές
  • 3:11 - 3:13
    για να βρούμε τον αρχικό αριθμό.
  • 3:13 - 3:14
    Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλά
  • 3:14 - 3:16
    να πολλαπλασιάσουμε κάθε παράγοντα μία φορά για να κατασκευάσουμε το 30.
  • 3:16 - 3:20
    2 φορές το 3 φορές το 5, είναι η παραγοντοποίηση του 30.
  • 3:20 - 3:23
    Σκεφτείτε το σαν ένα ειδικό κωδικό ή συνδυασμό.
  • 3:23 - 3:25
    Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να κατασκευάσουμε το 30
  • 3:25 - 3:27
    χρησιμοποιώντας κάποιο άλλο συνολο απο
    πρώτους αριθμούς
  • 3:27 - 3:29
    και πολλαπλασιάζοντάς τα μαζί.
  • 3:29 - 3:31
    Οπότε κάθε αριθμός έχει μία
  • 3:31 - 3:34
    και μόνο μία παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς.
  • 3:34 - 3:36
    Μία καλή αναλογία είναι να φανταστούμε κάθε αριθμό
  • 3:36 - 3:38
    σαν μία διαφορετική κλειδαριά.
  • 3:38 - 3:40
    Το κλειδί που ανοίγει αυτή την κλειδαριά
  • 3:40 - 3:42
    είναι η παραγοντοποίησή του.
  • 3:42 - 3:44
    Δεν υπάρχουν δύο κλειδαριές που να
    ανοίγουν με το ίδιο κλειδί.
  • 3:44 - 3:48
    Δεν υπάρχουν δύο αριθμοί που να έχουν
    την ίδια παραγοντοποίηση.
Title:
Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής
Description:

Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής

more » « less
Video Language:
English
Duration:
03:52

Greek subtitles

Revisions Compare revisions