Return to Video

Den fundamentale teori om aritmetik

  • 0:04 - 0:07
    Lad os forestille os, at vi levede for lang, lang tid siden.
  • 0:07 - 0:09
    Lad os prøve at tænke over,
  • 0:09 - 0:13
    hvordan vi holdt styr på tiden uden et ur.
  • 0:13 - 0:15
    Alle ure er baseret på et gentagende mønster,
  • 0:15 - 0:19
    der deler hele tiden op i lige store dele.
  • 0:19 - 0:21
    For at finde de gentagende mønstre
  • 0:21 - 0:23
    kigger vi på himlen.
  • 0:23 - 0:25
    Det er klart, at solen står op og ned hver dag,
  • 0:26 - 0:29
    men når vi skal holde styr på længere tidsrum,
  • 0:29 - 0:31
    skal vi kigge efter længere cyklusser.
  • 0:31 - 0:33
    Vi kan kigge på månen,
  • 0:33 - 0:34
    der ser ud til gradvist at vokse og skrumpe over mange dage.
  • 0:37 - 0:38
    Når vi tæller antallet af dage mellem fuldmåne,
  • 0:39 - 0:41
    finder vi ud af, at der er 29.
  • 0:41 - 0:43
    Det er sådan, man opfandt en måned.
  • 0:43 - 0:46
    Når vi skal prøve at dele 29 op i lige store dele,
  • 0:46 - 0:49
    finder vi ud af, at det er umuligt.
  • 0:49 - 0:52
    Den eneste måde, vi kan dele 29 op i lige store dele
  • 0:52 - 0:55
    er ved at splitte det op i grupper af 1.
  • 0:55 - 0:57
    29 er nemlig et primtal.
  • 0:57 - 0:59
    Vi kan tænke på det som udeleligt.
  • 0:59 - 1:01
    Hvis et tal kan blive delt op i lige store dele, der er større end 1,
  • 1:03 - 1:05
    kalder vi det et sammensat tal.
  • 1:05 - 1:07
    Hvis vi er nysgerrige, kommer vi måske til at tænke på,
  • 1:07 - 1:08
    hvor mange primtal, der er,
  • 1:08 - 1:10
    og hvor store de bliver.
  • 1:10 - 1:14
    Lad os starte med at dele alle tal ind i 2 kategorier.
  • 1:14 - 1:16
    Vi sætter primtallene til venstre
  • 1:16 - 1:18
    og de sammensatte tal til højre.
  • 1:18 - 1:20
    Til at starte med ser de ud til at være lidt her og der.
  • 1:20 - 1:23
    Der ser ikke ud til at være et mønster.
  • 1:23 - 1:24
    Lad os bruge en moderne teknik
  • 1:24 - 1:26
    til at se det fulde billede.
  • 1:26 - 1:29
    Teknikken er at bruge Ulam-spiralen.
  • 1:29 - 1:32
    Først stiller vi alle tal i rækkefølge
  • 1:32 - 1:34
    i en voksende spiral.
  • 1:34 - 1:37
    Så farver vi alle primtallene blå.
  • 1:37 - 1:41
    Til sidst formindsker vi billedet, så vi kan se millioner af tal.
  • 1:41 - 1:43
    Det her er primtallenes mønster,
  • 1:43 - 1:45
    der bliver ved og ved for evigt.
  • 1:45 - 1:48
    Utroligt nok er hele det her mønsters struktur
  • 1:48 - 1:50
    stadig ikke løst i dag.
  • 1:50 - 1:52
    Vi har fundet noget.
  • 1:52 - 1:53
    Lad os spole tiden frem
  • 1:53 - 1:56
    til omkring 300 år før vor tidsregning i det gamle Grækenland.
  • 1:56 - 1:58
    En filosof kendt som Euclid fra Alexandria
  • 1:58 - 1:59
    forstod, at alle tal
  • 1:59 - 2:03
    kunne blive delt op i de her 2 kategorier.
  • 2:03 - 2:05
    Han begyndte ved at finde ud af,
  • 2:05 - 2:07
    at alle tal kan blive divideret igen og igen,
  • 2:07 - 2:11
    indtil man når en gruppe af de mindste, lige store tal.
  • 2:11 - 2:13
    Per definition er de her små tal
  • 2:13 - 2:16
    altid primtal.
  • 2:16 - 2:17
    Han vidste altså,
  • 2:17 - 2:21
    at alle tal på en måde er bygget ud af mindre primtal.
  • 2:21 - 2:23
    For at gøre det klart kan vi forestille os et univers
  • 2:23 - 2:26
    med alle tal og ignorere primtallene.
  • 2:26 - 2:28
    Vi kan vælge et hvilket som helst sammensat tal
  • 2:31 - 2:33
    og dividere det ned, og vi vil altid stå tilbage med et primtal.
  • 2:33 - 2:35
    Euclid vidste altså, at ethvert tal kan udtrykkes
  • 2:35 - 2:38
    ved at bruge en gruppe af mindre primtal.
  • 2:38 - 2:40
    Vi kan tænke på de her som byggeklodser.
  • 2:40 - 2:42
    Ligemeget hvilket tal vi vælger,
  • 2:42 - 2:46
    kan vi altid bygge det med nogle mindre primtal.
  • 2:46 - 2:48
    Det er roden til opdagelsen,
  • 2:48 - 2:51
    vi kalder den fundamentale teori om aritmetik.
  • 2:51 - 2:52
    Vi kan vælge ethvert tal. Lad os for eksempel tage 30.
  • 2:54 - 2:56
    Nu kan vi finde alle de primtal,
  • 2:56 - 2:57
    der går op i det uden rest.
  • 2:57 - 3:00
    Det hedder faktorisering.
  • 3:00 - 3:02
    Det vil give os primtallene.
  • 3:02 - 3:06
    I det her tilfælde er 2, 3 og 5 primfaktorerne til 30.
  • 3:06 - 3:08
    Euclid fandt ud af, at man kan gange
  • 3:08 - 3:11
    primfaktorerne et vist antal gange
  • 3:11 - 3:13
    og på den måde bygge det oprindelige tal.
  • 3:13 - 3:14
    I det her tilfælde ganger vi bare
  • 3:14 - 3:16
    hver faktor med hinanden 1 gange for at bygge tallet 30.
  • 3:16 - 3:20
    2 gange 3 gange 5 er primfaktoriseringen for 30.
  • 3:20 - 3:23
    Vi kan tænke på det som en særlig nøgle eller kombination.
  • 3:23 - 3:25
    Der er ingen anden måde at bygge tallet 30 på
  • 3:25 - 3:27
    ved at bruge andre tal
  • 3:27 - 3:29
    ganget sammen.
  • 3:29 - 3:31
    Ethvert tal har altså 1,
  • 3:31 - 3:34
    og kun 1, primfaktorisering.
  • 3:34 - 3:36
    Man kan altså forestille sig,
  • 3:36 - 3:38
    at alle tal har en forskellig lås.
  • 3:38 - 3:40
    Den unikke nøgle til låsen
  • 3:40 - 3:42
    er dens primfaktorisering.
  • 3:42 - 3:44
    Der er ikke 2 låse, der har den samme nøgle.
  • 3:44 - 3:48
    Der er ikke 2 tal, der har samme primfaktorisering.
Title:
Den fundamentale teori om aritmetik
Description:

Den fundamentale teori om aritmetik

more » « less
Video Language:
English
Duration:
03:52
Orhan Klardashti edited датски език subtitles for The Fundamental Theorem of Arithmetic
Jacob Mortensen edited датски език subtitles for The Fundamental Theorem of Arithmetic
Jacob Mortensen added a translation

Danish subtitles

Incomplete

Revisions Compare revisions