Хармонични трептения част 3 (без висша математика)

Как се намират периода, честотата и амплитудата при хармоничното трептене на дадено тяло с определена маса, окачено на пружина.

Здравей отново!

Ако си със затворени очи, понеже не искаш

да гледаш висшата математика, мисля,
че вече можеш да ги отвориш.

В този клип не би трябвало да има

много висша математика.

Но само за да преговорим какво научихме
до момента – казахме,

че имаме една пружина – този път
я показвам във вертикално положение,

представи си, че няма гравитация

или че пружината е на някакво бюро,

защото не искаме да се занимаваме едновременно
с пружина И с гравитация.

Искаме да разгледаме
пружината сама по себе си.

Това може да се случи, например,
в далечния космос.

Но да не мислим за гравитацията.

Показвам пружината вертикално,

за да разберем по-добре тази графика.

Започнахме, като казахме, че имаме пружина

и тази точка х = 0 е
равновесното положение на пружината,

в случай, че въобще не съм
опънал пружината.

Но аз имам тяло с маса,
прикрепено към пружината,

и разгледахме какво става,
ако опъна пружината до т. А.

Започва да се движи с много малка скорост,

но имаме връщаща сила, която
ще връща пружината към тази позиция.

И тази сила ще ускорява масата,
ще я ускорява и ускорява,

докато стигне тук.

Тук ще имаме висока скорост,

но след това ще започне да забавя.

Ще забавя, забавя и забавя,

скоростта ще стане 0
и ще се качи обратно горе.

Ако изобразим това
като функция на времето,

ето какво се случва.

Започва да се движи бавно, ускорява

и в тази точка, в която x = 0,
скоростта е максимална.

И промяната в скоростта,

или скоростта на промяна
на позицията, е най-голяма.

Можем да видим, че наклонът тук
е много голям.

След което започваме да забавяме
отново и отново,

докато стигнем обратно
при точка A.

След което продължаваме да се движим
нагоре-надолу по този начин.

Показахме, че уравнението
за позицията на масата

като функция на времето е –
е х(t) – и използвахме

малко диференциални
уравнения, за да го докажем.

Не че препоръчвам да запаметяваш
каквото и да е,

но това е доста полезно
за запомняне уравнение.

Понеже може да се използва
за намиране на общо взето всичко,

която се отнася се за позицията
на масата във всеки един момент,

честотата на това трептене или нещо друго.

Ако знаем малко висша математика,
можем да определим дори

скоростта на обекта
във всеки един момент от време.

Което е доста хубаво.

И какво можем да направим сега?

Нека се опитаме да намерим периода

на тази трептяща система.

Знам, че сложих заглавие
"хармонично трептене"

на всички тези видеа –
това е просто хармонично трептене.

Простите хармонични трептения
са нещо, което може да се опише

чрез тригонометрична функция по този начин.

Просто трепти напред-назад, напред-назад.

И това, което извършваме,
е хармонично трептене.

И така, нека намерим
какъв е този период.

Спомни си, че казахме, че след
T секунди има връщане

към първоначалната позиция,
а след още T секунди

отново имаме връщане
към първоначалната позиция.

Нека разберем какво е това Т.

Това по същество е
периодът, нали така?

Какво представлява периодът
на дадена функция?

Това е колко време отнема
да се върнем в началната точка.

Или колко време трае
извършването на един цял цикъл.

И колко е това Т?

Нека ти задам един въпрос.

Какво са всички тези точки –
какво става ако това е

функция косинус?

Какви са всичките точки,
в които косинус е равен на 1?

Или тази функция ще е
равна на А, нали?

Понеже всеки път, когато косинусът
е равен на 1, цялата тази

функция е равна на А.

А това са тези точки.

И косинусът е равен на 1, когато...
тита... да кажем...

кога косинус от тита
е равен на 1?

Т.е. за какви ъгли
това е вярно равенство?

Това е вярно при тита равно на 0, нали?

Косинус от 0 е 1.

Косинус от 2 пи
също е едно, нали така?

Можем просто да си продължим
да обикаляме единичната окръжност.

Трябва да гледаш клипа
за единичната окръжност, ако това

не ти е ясно.

Или графичното представяне
на тригонометричните функции.

Имаме вярно равенство при ъгъл 4 пи.

Наистина, всяко кратно
на 2 пи е вярно.

Нали?

Косинусът на този ъгъл
е равен на 1.

И същото нещо е вярно.

В кои точки тази функция, х от t,
е равна на А?

x от t е равно на А всеки път, когато
този израз вътре в косинуса

когато този израз
е равен на 0, 2 пъти пи,

4 пъти пи, т.н.

Първият път, при който
се завърта от 0 до 2 пи...

от 0 до Т, това
ще бъде 2 пи, нали?

Така целият този израз ще е равен на А

в тези точки, нали?

Това е, когато тази функция
е равна на А.

Това ще се случи отново
тук някъде.

Когато този малък израз
вътре е равен на 2 пи

или на всяко кратно на
2пи число.

Т.е. можем да кажем, че х от t
е равно на А, когато квадратният корен

от k върху m, цялото по t,
е равен на 2 пи.

Или друг начин на представяне е,
чрез умножаване

на двете страни на това уравнение
по обратното на

квадратния корен от k върху m.

И получаваме, че t е равно на 2 пи,
умножено по корен квадратен-и

ще бъде обратното на това,
нали така?

От m върху k.

И ето го периода
на тази функция.

Това ще е равно
на 2 пъти пи по квадратен

корен от m върху k.

И така, ако някой ти каже:
"Имам една пружина, която

ще дръпна от...
ще я обтегна или свия малко,

и след това ще я пусна –
какъв е периодът?

Колко време ще отнеме пружината
да се върне в началното си положение?

Тя ще продължи да го прави,
тъй като нямаме триене.

Нямаме гравитация,
нямаме и съпротивление на въздуха.

Съпротивлението на въздуха също
е вид триене.

Можеш веднага – ако
запомниш тази формула,

въпреки че е важно да знаеш откъде
идва тя – ще можеш

веднага да кажеш: "Знам
дължината на периода.

Това е 2 пъти пи, умножено по m върху k."

Това показва колко време ще отнеме
на пружината да се върне –

и да завърши цикъла.

А какво да кажем за
честотата?

Ако искаме да знаем извършените цикли
на секунда, това е всъщност

реципрочното на периода,
нали така?

И ако искам да знам
честотата, тя е равна на 1 върху

периода, нали?

Периодът е в секунди
на цикъл.

Честотата е в цикли
на секунда,

а това е секунди на цикъл.

И честотата ще бъде
1 върху това.

Което е 1 върху 2 пи, умножено по
корен квадратен от k върху m.

Това е честотата.

Но аз пък винаги съм си имал проблеми
в запомнянето на това и това.

k върху m, и m върху
k, и други подобни.

Всичко, което наистина
трябва да запомниш, е следното:

Дори и по логика можем
да разберем

защо това е така.

Можеш да се върнеш
на диференциалните уравнения,

ако искаш да го докажеш
за себе си.

Защото имайки това, наистина
можем да отговорим на всеки въпрос

за положението и скоростта
на тази маса във всеки момент.

Скоростта на масата, във всеки
един момент, като се намери производната.

Или периода, или честотата
на функцията.

Стига да знаеш как се намират
периода и честотата

на тригонометричните функции.

Можеш да гледаш клиповете ми,
включително тези за тригонометрия,

за да си го припомниш.

Обърна внимание на
честотата и периода, нали?

Периодът на функцията показва
колко време изминава,

за да се завърши даден цикъл.

Честотата – това е броят на циклите
за една секунда –

Нито периодът, нито честотата
зависят от А.

И няма значение, бих
разтегнал малко,

като там, и ще отнеме
същото време за връщане

назад, и по този начин,
както бих го направил

ако разтегна много.

Ще се случи това.

Ако разтегна малко,
функцията ще изглежда

по този начин.

Да се уверим, че правилно правя това.

Не е така.

Редакция...

отначало.

Ако поработя малко,
амплитудата ще е

по-малка, но функцията
по същество ще върши

същото нещо.

Ще направи това.

И затова ще е нужно същото
време за завършване на цикъла,

само амплитудата ще е по-малка.

Ето това ми е интересно,
че ако разтегна повече,

това няма да удължи
или намали времето

за да стане цял цикълът.

Интересно.

И ако ти кажа,
че всъщност в началото

тук имам свиване, какво става?

В този случай, да кажем,
че А е равно на минус 3.

Имам константа на пружината,
която е, да кажем k,

равна на 10.

Имам маса
от 2 килограма. Веднага мога

да ти кажа какво е уравнението
за положението като

функция на времето.

Това ще е x от t, което ще
е равно на... мястото ми свършва...

x от t ще е равно...
това е основно

заместване... минус 3 пъти косинус от
10, делено на 2, нали така?

k върху m е 5.

Корен квадратен от 5t.

Знам, че е трудно за разчитане,
но схващаш идеята.

Просто заместих това тук.

Но това, което е важно
да се знае, е следното – това е,

мисля, най-важното –
и ако ми е дадена

една тригонометрична функция, идва
трудност при

намирането на периода или
честотата – въпреки че винаги

мисля за това кога този
израз ще е равен на 1?

И можем да разберем –
кога е равно на 1, или кога

е равно на 0 – и от там
можем да намерим периода.

Ако това не е става,

можеш да запомниш тази формула
за период и тази формула за честота,

но си мисля, че това може
да прахоса ценно място в ума ти.

Както и да е, ще се видим в следващия клип.