-
Еван от Норвегия ме помоли да реша
още една задача със заместване.
-
Обичам такива задачи, защото ме мотивират
-
да се подготвям малко по-добре.
-
Задачата, която ми изпрати,
(и се надявам, че произнасям правилно името му)
-
е за неопределен интеграл от синус от x
-
върху косинус от x на квадрат, dx
-
Това може да се напише и по друг начин –
той ми го изпрати в имейл,
-
така че не съм сигурен точно как си го представя,
но може да се запише
-
като синус от x върху косинус на квадрат от x.
-
Понякога се записва така.
-
При всички случаи това ми харесва малко повече.
-
Така изглежда по-малко двусмислено.
-
В общи линии знаеш как да приложиш интегриране
чрез заместване,
-
когато видиш нещо и неговата производна
е ето тук.
-
Добре.
-
Сигурно си казваш: ако този косинус от x
беше просто x или u,
-
това щеше да е много лесeн интеграл.
-
Знаем как да го направим.
-
Нека направя това отстрани.
-
Тoзи интеграл би бил лесeн.
-
1 върху x на квадрат dx.
-
Знаем как да направим това.
-
Това би била примитивната функция на x на квадрат.
-
Това е същото като примитивната функция
на х на степен минус 2, dx.
-
Знаем как на намерим
примитивната функция на нещо такова.
-
Увеличаваме степента с 1 и после умножаваме
-
по новата степен.
-
Значи, това би била минус x... извинявам се!
-
Увеличаваме степента с 1 и после ДЕЛИМ
-
на новата степен.
-
Така че сега... нека да...
-
Увеличаваме степента на x на минус втора и
-
ще получим x на минус първа.
-
И после, когато разделим това на минус 1,
ще получим този минус.
-
И после, когато разделим това на минус 1,
ще получим този минус плюс С.
-
Ако не ми вярваш, намери производната.
-
Минус 1 по минус 1,
-
това е положително.
-
И после намаляме степента с 1
-
и получаваме x на минус 2-ра степен.
-
Ако беше в този вид,
-
всичко щеше да е лесно.
-
А и виждаш закономерност тук.
-
Където това е x, тук имаме косинус и тук
-
имаме производна на косинус.
-
Това ни подсказва, че трябва да използваме
-
интегриране чрез заместване. Нека го направим.
-
И ето какво ще направим – ще положим
-
u като косинус от x.
-
Значи казваме: нека u е равно на косинус от x и нека
-
намерим производната на u по отношение на x.
-
На какво ни е равно du или dx ?
-
Каква е производната на косинус от x ?
-
Не е просто синус от x, нали ?
-
А е минус синус от x
-
И сега можем да умножим двете страни по dx и получаваме
-
du е равно на минус синус от x, dx.
-
Току-що умножих двете страни по dx.
-
И сега тук горе имаме синус от x dx.
-
Нямаме минус синус от x, dx.
-
Тук имаме синус от x, dx.
-
Бихме могли да препишем този интеграл
горе по следния начин:
-
синус от x, dx,
-
всичко това върху косинус от x на квадрат.
-
Значи, ако искаме да замеcтим с това,
тук ще имаме минус.
-
Нека умножим двете страни на това по –1
-
и ще получим минус du е равно
на синус от x dx.
-
И да видим.
-
Ще препиша първоначалната задача.
-
Сега ми свършва мястото.
-
Но нека я препиша.
-
Знаем, че u е равно на косинус от x,
значи да действаме.
-
Този интеграл става...
-
В знаменателя вместо косинус от x на квадрат
u е косинус от x.
-
Това ни е u, нали ?
-
Така го определихме.
-
Значи това е върху u на квадрат.
-
Косинус от x става u.
-
И после синус от x dx тук горе,
ще ни е равно на какво ?
-
Ами, това току-що го решихме.
-
Това е равно на минус du.
-
Синус от x dx е равно на минус du.
-
Значи можем да заменим с това, минус du.
-
И сега, разбира се, това има същия вид
като това ето тук.
-
Можем да препишем това,
това е равно на...
-
минус 1 върху u на квадрат du.
-
Просто го пиша по няколко различни начина.
-
Както ти е по-лесно да го осмислиш.
-
Това е същото като минус u на минус 2 du.
-
И сега правим същото като тук горе,
-
само че сега имаме минус отпред,
който всъщност прави
-
нещата малко по-ясни.
-
За да намерим примитивната функция,
повдигаме u на... беше на минус 2-ра степен,
-
значи сега ще е с една степен по-високо,
-
значи –2 плюс 1 става –1.
-
Значи това е u на минус първа степен
и сега трябва да разделим
-
на минус 1 и тук ще го направя много явно.
-
Минус 1.
-
Имахме и един минус тук преди, значи
-
този минус още ще си е тук.
-
И, разбира се, ще имаме плюс c.
-
Можеш да си представиш това като минус 1
или това отрицателно,
-
делено на отрицателно –
значи ще се унищожат взаимно.
-
Значи остава само u на –1 плюс c или
-
1/u + c е примитивната функция...
о, извинявам се,
-
още не сме готови.
-
Това е само примитивната функция на това.
-
И сега трябва да се заемем със заместването.
-
Какво заместихме в началото ?
-
u е равно на косинус от x.
-
Значи, ако u е равно на косинус от x,
това е равно на
-
1 върху косинус от x плюс с, което е равно
на примитивната функция
-
за първоначалната ни функция, която беше
синус от x върху косинус от х на квадрат, dx.
-
Готово!
-
Ще се видим в следващия клип.
