Πρόσθεση 2

Πρόσθεση διψήφιων αριθμών

Στο τελευταίο βίντεο

κάναμε λίγη εξάσκηση

προσθέτοντας αριθμούς που ήταν πολύ μικροί.

Για παράδειγμα, για να προσθέσουμε το τρία συν δύο,

θα μπορούσαμε να φανταστούμε ότι αν

ίσως αν είχα τρία λεμόνια - ένα, δύο, τρία.

Και αν έπρεπε να προσθέσω σε αυτά τα τρία λεμόνια,

δύο κίτρα - πώς αλλιώς λέγονται τα κίτρα;

Εντάξει, δύο πράσινα λεμόνια

ή δύο ξινά φρούτα.

Πόσα - πόσα ξινά, πικρά φρούτα θα έχω τώρα;

Έτσι, όπως μάθαμε στο προηγούμενο βίντεο,

έχουμε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε φρούτα.

Άρα, τρία συν δύο είναι ίσο με πέντε.

Και είδαμε επίσης ότι

θα βρούμε ακριβώς το ίδιο αν

προσθέσουμε το δύο συν τρία.

Και πιστεύω ότι είναι λογικό να βρίσκουμε το ίδιο νούμερο

Γιατί είναι το ίδιο πράγμα με το

αν αρχικά είχαμε δύο λεμόνια και εσείς

να βάζατε και τρία κίτρα.

Θα καταλήγαμε πάλι, να έχουμε πέντε φρούτα.

Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε ...

Ακριβώς έτσι.

Επομένως δεν έχει σημασία με ποια σειρά προσθέτετε τους αριθμούς,

και πάλι θα έχετε πέντε.

Αυτόν τον τρόπο σκέψης για τη λύση ασκήσεων πρόσθεσης τον βλέπω

σαν καταμέτρηση αντικειμένων.

Το άλλο πράγμα που είδαμε στο προηγούμενο βίντεο είναι

η γραμμή των αριθμών,

που στην ουσία είναι το ίδιο πράγμα.

Έτσι θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε μια γραμμή.

Και η γραμμή των αριθμών είναι μία λίστα όλων

των αριθμών στη σειρά.

Έχει όλους τους αριθμούς.

Και μπορείτε, βασικά, να φτάσετε σε όσο μεγάλο αριθμό χρειάζεται.

Θα μπορούσατε να φτάσετε στο ένα εκατομμύριο, δισεκατομμύριο, τρισεκατομμύριο.

Εμείς δεν θα το κάνουμε αυτό.

Δε θα είχα ούτε χώρο, ούτε χρόνο για να το κάνω σε αυτό το βίντεο

Και μπορείτε επίσης να πάτε σε όσο το δυνατόν μικρότερους αριθμούς.

Θα ξεκινήσουμε από το μηδέν, με τη σκέψη

- και σε μελλοντικά βίντεο θα δούμε, θα σας πω

σχετικά με τους αριθμούς που είναι μικρότεροι από το μηδέν.

Και ίσως θελήσετε να σκεφθείτε τι μπορεί να σημαίνει αυτό.

Αλλά ας ξεκινήσουμε από το μηδέν, και μηδέν σημαίνει τίποτα.

Αν έχω μηδέν λεμόνια, σημαίνει ότι δεν έχω καθόλου λεμόνια.

Έτσι μηδέν, ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννέα, δέκα, έντεκα -

ας πάμε πολύ ψηλά

δώδεκα.

Με αυτόν τον τρόπο μπορώ να χρησιμοποιήσω πολλές φορές τη γραμμή των αριθμών.

δεκατρία, δεκατέσσερα

, θα μπορούσα να συνεχίσω,

αλλά ίσως το δεκατέσσερα να είναι αρκετό για αυτό το βίντεο.

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τη γραμμή των αριθμών

για αυτά τα προβλήματα πρόσθεσης εδώ πάνω.

Έτσι, στο τελευταίο βίντεο, σαν μια σύντομη επανάληψη,

μπορούμε να δούμε το τρία συν δύο σαν να ξεκινάμε από το 3

και στη συνέχεια τού προσθέτουμε το δύο.

Ή προχωράμε δύο θέσεις, προς τα μεγαλύτερα, μετά το τρία.

Και για να πάμε προς τα μεγαλύτερα

ή να προσθέσουμε στη γραμμή των αριθμών,

αρκεί να προχωρήσουμε προς τα δεξιά ή να ανεβούμε κατά δύο θέσεις.

Ας προχωρήσουμε προς τα δεξιά λοιπόν, κατά δύο.

Θα το κάνω αυτό με το πορτοκαλί χρώμα.

Ας ανεβούμε κατά δύο.

Ξεκινήσαμε λοιπόν από το τρία και ανεβαίνουμε κατά ένα.

Και μετά ανεβαίνουμε για το δύο, σαν να πηδάμε,

και καταλήγουμε στο πέντε.

Που είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που πήραμε πριν.

Αν έχουμε τρία λεμόνια,

και προσθέσουμε ένα λεμόνι, θα έχουμε τέσσερα λεμόνια.

Και αν προσθέσουμε ένα ακόμη λεμόνι, θα έχουμε πέντε λεμόνια

ή κίτρα ή ξινά φρούτα.

Πείτε τα όπως θέλετε.

Και αν θέλετε να δείτε αυτή την εκδοχή

όταν αλλάξαμε τη σειρά.

Ξεκινήσαμε από το δύο

και προσθέτουμε τρία αντικείμενα σε αυτό.

Στην περίπτωση αυτή, ήταν λεμόνια ή κίτρα.

Θα προσθέσουμε λοιπόν το τρία.

Ένα, δύο, τρία.

Και ακριβώς όπως το περιμέναμε,

καταλήγουμε στο ίδιο.

Εχουμε πάλι πέντε.

Αυτό που θέλω να κάνουμε σε αυτό το βίντεο,

και ελπίζω ότι μέχρι τώρα κάναμε μια επανάληψη,

είναι να ασχοληθούμε με δυσκολότερα προβλήματα.

Θέλω να αντιμετωπίσουμε λίγο μεγαλύτερους αριθμούς.

Και στη συνέχεια στο επόμενο βίντεο -

σε αυτό το βίντεο θέλω απλά

να εξασκηθούμε

με λίγο μεγαλύτερους αριθμούς.

Και στη συνέχεια στο επόμενο βίντεο

θα προχωρήσουμε λίγο πιο βαθιά,

και θα σκεφτούμε και για το νόημα των αριθμών.

Αλλά ας κάνουμε λίγη εξάσκηση για να καταλάβουμε

Πώς λύνουμε τα προβλήματα πρόσθεσης με μεγαλύτερα νούμερα;

Ας γράψω με ένα ωραίο, χαλαρωτικό, μωβ χρώμα.

Ας πούμε ότι θα ήθελα να προσθέσω: εννέα συν τρία.

Λοιπόν, υπάρχουν κανα-δυο τρόποι για να μπορέσουμε να το βρούμε.

Θα μπορούσαμε να πούμε,

για να δούμε.

Ίσως να ζωγραφίσω αστέρια. Ένα, δύο, τρία, τέσσερα ----

τα αστέρια μου αρχίζουν να χαλάνε -

πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννέα.

Αυτά είναι εννέα αστέρια και τώρα μπορώ να προσθέσω άλλα τρία αστέρια.

Έτσι προσθέτω ένα, δύο, τρία αστέρια.

Και τώρα για να μετρήσουμε

το συνολικό αριθμό των αστεριών

Ας το κάνω με ένα διαφορετικό χρώμα

Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, εφτά, οχτώ, εννέα, δέκα, έντεκα, δώδεκα.

Τώρα έχω δώδεκα αστέρια.

Έτσι, θα λέγαμε ότι εννέα συν τρία κάνει δώδεκα,

είναι ίσο με δώδεκα.

Αν κοιτάξετε τη γραμμή των αριθμών,

αν δείτε τη γραμμή των αριθμών θα ξεκινήσουμε από το εννέα.

Ίσως έχετε εννέα αστέρια

και μπορείτε να προσθέσετε ένα, δύο, τρία αστέρια.

Και θα καταλήξουμε με δώδεκα αστέρια.

Η οποία είναι η ίδια ακριβώς απάντηση που πήραμε πριν.

Έτσι, μπορείτε να κάνετε το ίδιο όταν ξεκινάτε

να προσσθέτε μεγάλα νούμερα, αν και τώρα...

και θέλω να το παρατηρήσετε, η διαφορά τώρα είναι

ότι η απάντησή μας έχει δύο ψηφία.

Θα μιλήσουμε περισσότερο για τα ψηφία σε μελλοντικό βίντεο.

Ένα ψηφίο είναι ένας αριθμός. Σωστά;

Εδώ έχει ένα 1 και ένα 2.

Αυτό είναι το δώδεκα.

Δεν θα προχωρήσω άλλο, δεν θα ασχοληθώ με αυτό τώρα

Νομίζω ότι είστε αρκετά εξοικειωμένοι με τον αριθμό δώδεκα.

Αλλά αυτό που θέλω να κάνω τώρα είναι

τι θα συμβεί αν προσθέσετε κι άλλα;

Όταν προσθέσουμε

τέτοιους διψήφιους αριθμούς;

Για παράδειγμα, αν πρέπει να προσθέσω το είκοσι επτά συν, ας πούμε -

Δεν ξέρω - συν δεκαπέντε. (27+15)

Τώρα, αν είχατε πολύ χρόνο και

δεν σας ενδιέφερε για το πώς οι άνθρωποι θα σας κρίνουν,

θα μπορούσατε να ζωγραφίσετε είκοσι επτά κύκλους

και στη συνέχεια να ζωγραφίσετε άλλους δεκαπέντε κύκλους και μετά

να μετρήσετε τον συνολικό αριθμό των κύκλων που έχετε.

Και τελικά θα βρείτε το αποτέλεσμα.

Ή μπορείτε να σχεδιάσετε τη γραμμή των αριθμών.

Θα μπορούσατε να σχεδιάσετε τη γραμμή των αριθμών που να φτάνει μέχρι το νούμερο,

όποιο και να είναι αυτό, που κάνει το είκοσι επτά συν δεκαπέντε

Θα πρέπει να είναι πραγματικά πολύ πολύ μεγάλο

νούμερο και θα χρειαστείτε πολύ χρόνο

Γι' αυτό

θα σας δείξω ένα τρόπο

για να λύνουμε τέτοιου είδουςπροβλήματα,

στον οποίο πρέπει ουσιαστικά να ξέρετε να κάνετε πρόσθεση,

σχεδόν να το έχετε απομνημονεύσει, ή α

κόμη και αν δεν έχετε το έχετε απομνημονεύσει,

να μπορείτε να κάνετε κάτι σαν κι αυτό για

σχετικά μικρούς αριθμούς.

Και αν μπορείτε να προσθέσετε μικρούς αριθμούς

μπορείτε να λύσετε και πιο δύσκολα προβλήματα όπως αυτό.

Οπότε αυτό που θα κάνουμε, είναι το διασκεδαστικό μέρος,

Θα προσθέσουμε, και θα μιλήσω περισσότερο

για το τι σημαίνει αυτό στο μέλλον.

Κοιτάμε ξεχωριστά το κάθε ψηφίο

Και λέμε το ψηφίο σ' αυτή τη θέση, το τελευταίο στα δεξιά,

λέμε ότι είναι το ψηφίο των μονάδων

Και γιατί λέμε ότι είναι το ψηφίο των μονάδων;

Επειδή το είκοσι επτά είναι είκοσι και επτά μονάδες.

Είναι είκοσι συν επτά.

Είναι είκοσι συν επτά μονάδες.

Θα μπορούσατε να πούμε, ότι είναι είκοσι και επτά ευρώ.

Και αυτό το ψηφίο εδώ λέγεται το ψηφίο των δεκάδων

Τώρα γιατί λέγεται ψηφίο των δεκάδων;

Θέλω να πω ότι υπάρχει το δύο ακριβώς εδώ,

Αυτή η θέση ονομάζεται θέση των δεκάδων.

Έτσι, βάζοντας ένα 2 εδώ σημαίνει δύο δεκάδες.

Ο αριθμός είκοσι, που είναι δύο δεκάδες.

Εάν έχω ένα δεκάευρο και μου δώσατε άλλο ένα δεκάευρο, θα έχω

δύο δεκάευρα, και αυτό είναι είκοσι ευρώ

Αυτό δείχνει το ψηφίο των δεκάδων

Δεν θέλω να μπερδευτείτε,

θέλω απλώς να σας δείξω πώς

θα λύνουμε αυτές τις ασκήσεις.

Θα προχωρήσουμε λίγο περισσότερο σε μελλοντικό βίντεο

Θέλω απλώς να σας εξηγήσω την ιδέα.

Έτσι για να λύσουμε αυτά τα προβλήματα, ξεκινάμε κοιτώντας

τα ψηφία των μονάδων

και στη συνέχεια τα προσθέτουμε πρώτα.

Εντάξει λοιπόν, θα μου πείτε, δεν θα ανησυχούμε για

ολόκληρο αυτό το πράγμα.

Ας ασχοληθούμε μόνο με την πρόσθεση του επτά και του πέντε.

Έτσι, θα προσθέσω το επτά και πέντε.

Και αν δεν ξέρετε πόσο κάνει -

πιστεύω μπορείτε να το βρείτε

στο μυαλό σας γρήγορα -

θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε

τη γραμμή των αριθμών.

Ας δούμε τη γραμμή των αριθμών εδώ.

Έτσι, αν βρίσκομαι στο επτά,

και προσθέσω πέντε σε αυτό

ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε.

Καταλήγουμε στο δώδεκα.

Ή αν αρχίσουμε από το πέντε και προσθέσουμε επτά,

πάλι θα καταλήξουμε στο δώδεκα.

Ας το γράψουμε λοιπόν.

Γνωρίζουμε ότι επτά συν πέντε κάνει δώδεκα.

Οπότε αυτό που μένει να κάνουμε είναι να πούμε επτά συν πέντε κάνει...

και τώρα αυτό είναι ένα καινούριο πράγμα.

Ίσως σας φανεί λίγο μυστηριώδες, σαν κάτι μαγικό

για εσάς αυτή τη στιγμή.

Και σε επόμενα βίντεο θα σας εξηγήσω γιατί λειτουργεί αυτό.

Γράφουμε - θέλουμε να γράψουμε το δώδεκα.

Επτά συν πέντε κάνει δώδεκα, αλλά θα γράψουμε μόνο το δύο εδώ

και το ένα θα είναι το κρατούμενο.

Δώδεκα.

Λοιπόν, γράψαμε τα δύο εδώ

, αλλά βάλαμε το ένα εδώ πάνω, σωστά;

Και ο λόγος -

Θα σας δώσω τώρα ένα απλό λόγο γιατί το κάνουμε έτσι.

Στο μέλλον θα σας δώσω ένα καλύτερο λόγο.

Ο λόγος που το κάνουμε αυτό είναι ότι εδώ έχουμε χώρο για ένα μόνο ψηφίο,

και το δώδεκα είναι ένας διψήφιος αριθμός,

οπότε έπρεπε να βρούμε κάποια άλλη

θέση για να βάλουμε το ένα.

Αν θέλετε πραγματικά να το σκεφτείτε λίγο περισσότερο,

το δώδεκα είναι το ίδιο πράγμα

με το δέκα συν δύο, σωστά;

Το ίδιο πράγμα με το δώδεκα.

Έτσι, αν πούμε ότι επτά συν πέντε είναι το ίδιο πράγμα με το δώδεκα,

το οποίο είναι το ίδιο με δύο μονάδες, σωστά;

δύο μονάδες - δύο ευρώ, και ένα δεκάευρο.

Και ένα 10, και ένα δεκάευρο.

Έτσι βάλαμε το ένα δεκάευρω στη θέση των δεκάδων

Επόμενως στην πραγματικότητα λέμε επτά και πέντε κάνει μία δεκάδα και δύο μονάδες

Ή ένα δεκάευρω και δύο ευρώ

Αν αυτό σας μπερδεύει, απλά γράφουμε, απλά λέμε..

απλά έγραψα στη θέση των μονάδων το δύο,

και το ένα θα είναι το κρατούμενο.

Και τώρα θα κάνω ακριβώς το ίδιο και στα ψηφία που δείχνουν τις δεκάδες

Θα προσθέσω το ένα συν το δύο συν το ένα.

Έτσι, ένα συν δύο, ας το κάνουμε αυτό στη γραμμή των αριθμών.

Αυτό είναι διασκεδαστικό.

Ας δούμε λοιπόν.

Ένα συν δύο.

Ας ξεκινήσουμε - ας το κάνουμε με ένα έντονο χρώμα.

Επιτρέψτε μου να το κάνω με αυτό το πορφυρό.

Ξεκινούμε λοιπόν από το ένα.

Και θα του προσθέσουμε δύο

Ένα συν δύο.

Παίρνουμε και αυτό το ένα από το δώδεκα

Ένα συν δύο, προχωράμε προς τα μεγαλύτερα, ένα, δύο.

Και καταλήγουμε στο τρία

Τώρα έχουμε να προσθέσουμε και το άλλο ένα

Έτσι, προσθέτουμε και άλλο ένα

Θα καταλήξουμε στο τέσσερα.

Έτσι, καταλήγουμε στο σαράντα δύο.

Και αυτό ήταν αρκετά συμμαζεμένο, σωστά;

Γιατί δεν χρειάστηκε

να σχεδιάσουμε μια γραμμή αριθμών ως το σαράντα δύο.

Και δε χρειάστηκε να σχεδιάσουμε σαράντα δύο αντικείμενα.

Αρκεί που γνωρίζαμε πόσο κάνει επτά και πέντε,

καθώς και πόσο κάνει ένα συν δύο συν ένα,

και καταφέραμε να υπολογίσουμε ότι

Είκοσι επτά συν δεκαπέντε κάνει σαράντα δύο.

Ας δούμε ένα ακόμη παράδειγμα.

Μάλλον θα κάνω ένα λιγάκι πιο απλό παράδειγμα

Ας πούμε ότι έχω το εβδομήντα οκτώ συν τρία.

Θα κάνουμε ακριβώς τα ίδια, όπως πριν.

Αρχικά θα κοιτάξουμε μόνο τα ψηφία που δείχνουν τις μονάδες.

Έτσι βλέπουμε: οκτώ συν τρία.

Πόσο κάνει οκτώ συν τρία;

Ελπίζω ότι, τώρα πια,

μπορείτε να το βρείτε με το μυαλό σας.

Αλλά ας δούμε πώς σκέφτομαι.

Οκτώ συν ένα κάνει εννέα.

Οκτώ συν δύο κάνει δέκα.

Οκτώ συν τρία θα κάνει έντεκα.

Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε τη γραμμή των αριθμών, εάν σας διευκολύνει

να το δείτε καλύτερα

Έτσι οκτώ συν τρία κάνει έντεκα.

Άρα να τι έχουμε τελικά εδώ, οκτώ συν τρία κάνει έντεκα.

Βάλτε αυτό το 1 εδώ

, και το άλλο 1 θα είναι το κρατούμενο

Διότι έντεκα είναι μία δεκάδα,

ένα δεκάευρο συν ένα ευρώ

Μας κάνει έντεκα.

Και τώρα προσθέτουμε τα ψηφία που δείχνουν τις δεκάδες.

Ένα δεκάευρο και επτά δεκάευρα μας κάνουν οκτώ δεκάευρα

Έπομένως, εβδομήντα οκτώ συν τρία κάνει ογδόντα ένα.

Και τώρα θέλω να σας δείξω κάτι ακόμη.

Δεν χρειάζεται πάντα να έχουμε κρατούμενα, όπως εδώ.

Μόνον εάν η απάντηση σε μία από αυτές τις θέσεις έχει περισσότερα

από ένα ψηφία.

Το έντεκα είναι ένας διψήφιος αριθμός.

Έτσι, για παράδειγμα, αν έχω το πενήντα έξι συν δύο.

Εδώ θα μπορούσα απλώς, να πω έξι συν δύο κάνει οκτώ, έτσι;

Ας ελπίσουμε ότι κάναμε καλή εξάσκηση σε αυτές τις προσθέσεις

Έτσι, έξι συν δύο κάνει οκτώ.

Και τώρα, δεν έχω τίποτα να προσθέσω αυτό το πέντε, επομένως

κατεβάζω το πέντε εδώ κάτω.

Έτσι, πενήντα έξι συν δύο κάνει πενήντα οκτώ.

Έτσι απλά.

Στην πραγματικότητα, σε αυτό το παράδειγμα θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε

την γραμμή των αριθμών

Δεν θα ήταν καθόλου δύσκολο

Αν λοιπόν, χρησιμοποιούσατε τη γραμμή των αριθμών, σαν αυτή εδώ,

θα γνωρίζατε ότι το μηδέν θα ήταν σε κάποιο σημείο πολύ μακριά, προς τα αριστερά

Αλλά ας πούμε ότι εδώ έχω το πενήντα, όχι, εδώ θα ήταν

το σαράντα εννέα, θα μπορούσα να συνεχίσω προς τα αριστερά, ο,

αλλά εδώ θα ήταν το πενήντα ένα, το πενήντα δύ

βασικά ας ξεκινήσω από μεγαλύτερο αριθμό από το πενήντα

γιατί δεν θα μου φτάσει ο χώρος.

Ας ξεκινήσω ίσως, με το πενήντα πέντε, πενήντα έξι, πενήντα επτά, πενήντα οκτώ, πενήντα εννέα...

και θα μπορούσα να συνεχίσω και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Αν ξεκινήσουμε όμως από το πενήντα έξι εδώ, και προσθέσουμε δύο,

Ανεβαίνουμε ένα, δύο.

Καταλήγουμε στο πενήντα οκτώ.

Έτσι απλά μπορούμε να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα.

Θα τα ξαναπούμε στο επόμενο βίντεο.