-
Смятам, че доста добре познаваш
умножението на матрица с вектор,
-
и сега в това видео искам
да ти покажа, че
-
произведението на матрица
с вектор е еквивалентно
-
на преобразувание.
-
То всъщност представлява
линейно преобразувание.
-
Да кажем, че имаме матрицата А,
и да кажем, че нейните елементи са,
-
или нейните стълбове са v1...
вектор-стълб v2
-
и така нататък чак до vn.
-
Тази матрица има n стълба.
-
Да кажем, че има m редове.
-
Това е матрица m по n.
-
Ще дефинирам някакво
преобразувание.
-
Нека това преобразувание
да е от Rn в Rm.
-
Това тук е множеството
на първообразите.
-
Мога да взема произволен вектор
от Rn и той ще се изобрази
-
в някакъв вектор в Rm.
-
И ще дефинирам моето
преобразувание
-
като Т от х, х е някакъв
вектор в Rn, равно на А –
-
това е това А, матрицата А.
-
Ще го запиша с този цвят
ето тук.
-
Това трябва да е удебелено.
-
Понякога забравям за
удебеляването.
-
Голямо удебелено А
по вектор х.
-
Може би веднага ти прави впечатление,
че това преобразувание изглежда
-
като много странен роднина на това
как дефинирахме преобразуванията
-
или функциите до сега.
-
Първото нещо, с което
трябва да свикнем, е
-
че това е просто едно
преобразувание.
-
Какво правим?
-
Взимаме нещо от Rn
и после
-
какво представлява произведението
на матрицата А с вектор х?
-
Ако запиша матрицата А ето така,
ако това е х, като х1, х2,
-
ще имаме n елементи,
защото сме в Rn.
-
Това може да се преработи като
х1 по v1, плюс х2 по v2,
-
и така нататък до xn по vn.
-
Това ще е сборът на
всички тези вектор-стълбове.
-
Всеки от тези вектор-стълбове
v1, v2 до vn –
-
на кое множество принадлежат те?
-
Това е матрица m по n, така че
ще имаме m...
-
матрицата има m реда,
или всеки от тези вектор-стълбове
-
ще съдържа m елемента.
-
Значи всички тези
принадлежат на множеството Rm.
-
Ако взема едно линейно
преобразувание на всички тези,
-
просто ще получа друг
член на множеството Rm.
-
Този вектор тук ще бъде
член на множеството Rm,
-
друг вектор.
-
Ясно е, че като умножавам
моя вектор х по А, аз го изобразявам.
-
Създавам образ от Rn –
ще избера друг цвят –
-
във Rm.
-
Казвам това в най-общия смисъл.
Може би n е 3, може m да е 5.
-
Кой знае?
-
Това се отнася за общия случай.
Така че това е
-
един конкретен пример,
конкретен член на множеството Rn,
-
това е този вектор, който
нашето преобразувание или функция
-
ще изобразят като този
вектор ето тук.
-
И този вектор ще принадлежи
на Rm,
-
като можем да го наречем А по х.
-
Или можем да кажем, че
А по х е равно на b, можем
-
да го наречем вектор b.
-
Това е резултатът на
нашето преобразувание.
-
Това съответства на нашето
определение или терминология
-
за функция или за
преобразуванието като изображение
-
на едно множество в друго.
-
Това може все още
да не те удовлетворява, защото
-
всичко, което сме виждали
досега, изглеждаше ето така.
-
Ако имаме преобразувание,
можем да го запишем като
-
преобразуванието от –
бих написал х1, х2 до хn
-
е равно на...
-
Тук бих записал m елемента,
разделени с точка и запетайка.
-
Каква е връзката на това
с това тук?
-
За да я видим, ще взема
един конкретен пример.
-
Нека да имаме матрицата –
-
ще използвам друга буква.
-
Нека да имаме матрицата В,
-
която е много елементарна
матрица.
-
Това е 2, –1, 3 и 4.
-
Ще дефинирам някакво
преобразувание.
-
Ще дефинирам преобразуванието Т.
-
То е от R2 в R2.
-
Дефинирам Т.
-
Т на някакъв вектор х
е равно на тази матрица В,
-
по този вектор х.
-
На какво е равно това?
-
Матрицата е ето тук.
-
Ще пиша с виолетово.
-
2, –1, 3 и 4, по вектор х,
-
[х1; х2].
-
На какво е равно това?
-
Това е равно на друг вектор.
-
Това е равно на вектор
в множеството от образите R2, където
-
първият елемент е 2 по х1.
-
Просто прилагам определението
за умножение на вектор и матрица.
-
2 по х1, плюс –1 по х2,
или минус х2.
-
Това е този ред по вектора.
-
После вторият ред по
този коефициент.
-
Получаваме 3 по х1,
-
плюс 4 по х2.
-
Това изглежда по-познато.
-
Мога да преработя това
преобразувание.
-
Мога да преработя преобразуванието
като Т от [х1; х2],
-
е равно на 2 по х1, минус х2,...
ще слеза малко надолу,
-
запетая, 3 по х1, плюс 4 по х2.
-
Надявам се, че си съгласен/а
с това умножение по матрица,
-
това не е някаква нова, екзотична
форма на преобразувание.
-
Това е просто различен
начин.
-
Това твърдение тук е
просто друг начин за записване
-
на същото това преобразувание
ето тук.
-
Следващият въпрос, който може
да зададеш, като аз вече казах това
-
в началото на видеото, е
-
умножението с матрица винаги
ли ще е линейно преобразувание?
-
Кои бяха двете условия, за да бъде
линейно преобразувание?
-
Знаем, че преобразуванието
на сбора на два вектора,
-
вектор а плюс вектор b, трябва
да е равно на
-
сбора от техните
преобразувани версии.
-
Преобразуваният вектор а
плюс преобразуваният вектор b.
-
Другото условие е
преобразуванието на
-
мащабирана версия на вектор а
да е равно на мащабираната версия
-
на преобразуванието.
-
Това са двете условия за
линейно преобразувание.
-
Да видим дали тук умножението
по матрица може да се приложи.
-
Аз съм споменавал това
преди, и даже тогава казах,
-
че трябва да го докажеш.
-
Аз допуснах, че вече го знаеш,
но ще го докажа тук,
-
защото ми омръзна
да ти повтарям, че
-
трябва да го докажеш.
-
Трябва да го направя
поне веднъж аз.
-
Да видим, умножение
на вектор с матрица.
-
Ако умножим матрицата А
по някакъв вектор х, знаем...
-
ще го запиша по следния начин:
-
Знаем, че това е еквивалентно на...
-
казах матрицата...
-
Нека това е матрица m по n.
-
Можем да запишем всяка
матрица просто като
-
редица от вектор-стълбове.
-
Значи тази матрица
ще има n вектор-стълба.
-
Нека те да са v1, v2 и така
нататък до vn вектор-стълбове.
-
Всеки от тези вектор-стълбове
ще има m компонента.
-
По х1, х2 и така нататък
до xn.
-
Виждали сме такова умножение
и преди.
-
Съгласно определението за
умножение на матрица с вектор
-
това е равно на х1 по v1.
-
Това по това.
-
Този скалар по този вектор,
плюс х2 по v2, и така нататък,
-
до плюс xn по vn.
-
Това е съгласно определението
за умножение на матрица с вектор.
-
И това ще е равно на...
направих го в началото на видеото.
-
И полученият вектор
ще принадлежи на Rm.
-
Той ще има m на брой
компоненти.
-
Какво се случва, ако взема някаква
матрица А, която е m по n,
-
и я умножа по сбора
на вектор а плюс вектор b?
-
Мога да преработя това като
това ето тук.
-
Значи матрицата А по...
-
Сборът на вектор а и вектор b,
първият компонент ще бъде (а1 + b1).
-
Вторият компонент е (а2 + b2)
и така чак до (аn + bn).
-
Това е същото нещо като това.
-
Това не означава А от (а + b).
-
Това означава матрицата А
по вектор (а + b).
-
Може би тук трябва
да сложа знак за умножение точка.
-
Умножавам матрицата
по вектора.
-
Трябва да внимавам с
начина на записване.
-
Това е умножение на
матрица с вектор.
-
Не е някакъв нов вид
скаларно произведение на матрицата.
-
Това е равно на
-
това произведение ето тук.
-
И въз основа на това, което
ти казах тук горе, което
-
сме виждали много, много пъти,
това е същото като
-
(а1 + b1) по първия вектор-стълб на А,
-
това е този вектор ето тук.
-
Това А е същото като това А.
-
Значи по v1.
-
Плюс (а2 + b2) по v2,
и така до плюс (аn + bn) по vn.
-
Всеки член хi тук
се замества с
-
член (аi + bi).
-
Значи всяко х1 тук
се замества с (а1 + b1).
-
Това е еквивалентно на това.
-
Тъй като знаем, че произведението
на вектор и скалар
-
се характеризира с
дистрибутивното свойство,
-
можем да кажем, че това
е равно на а1 по v1.
-
Ще запиша всички
членове а1.
-
а1 по v1, плюс b1 по v1,
плюс а2 по v2,
-
плюс b2 по v2,
и така нататък
-
до плюс an по vn
плюс bn по vn.
-
И ако просто обединим еднаквите
членове отново,
-
ако просто групираме всички
членове, съдържащи а,
-
тогава получаваме а1 плюс...
извинявам се.
-
а1 плюс – ще го напиша
по следния начин: а1 по v1
-
плюс а2 по v2, и така нататък,
чако до an по vn.
-
Взех всички членове,
които съдържат а.
-
Сега ще съберем всички
членове, които съдържат b.
-
Ще използвам този цвят
за членовете, съдържащи b.
-
Всички членове, съдържащи b.
-
Значи плюс b1 по v1,
плюс b2 по v2,
-
и така до bn по vn.
-
Това е ето това тук.
-
Това е еквивалентно на
това твърдение ето тук.
-
Просто разместих всичко, което,
разбира се, е еквивалентно
-
на това твърдение ето тук.
-
И на какво е равно това?
-
Това е равно на моя вектор...
тези стълбове са, спомни си,
-
това са стълбовете на
матрицата главно А.
-
Значи това е равно на
матрицата А по а1, а2,
-
и така до аn, което
е нашият вектор а.
-
На какво е равно това?
-
Това е равно на сбора
на тези v-та.
-
Това са стълбовете за А,
така че това е равно на
-
матрицата А по вектор b.
-
b1, b2, и така до bn.
-
Това е вектор b.
-
Току-що показахме, че ако
събера двата вектора а и b,
-
и после умножа сбора по
матрицата А, това е напълно
-
еквивалентно на това да умножа
двата вектора по матрицата А
-
първо и после да събера
получените произведения.
-
Значи удовлетворяваме –
това е за произволна матрица m по n.
-
Удовлетворено е
първото условие ето тук.
-
А какво да кажем
за второто условие?
-
То е даже още по-лесно
за разбиране.
-
с по а1 – ще го напиша
по следния начин.
-
Вектор а по – извинявам се.
-
Матрицата главна буква А по
вектор малка буква а –
-
ще го направя по следния
начин, защото искам –
-
по вектор с по малко а.
-
Значи първо умножавам
вектора по скалара.
-
Това е равно на – мога да напиша
моята главна буква А за матрицата.
-
Вече съм означил
вектор-стълбовете.
-
Това е v1, v2, чак до vn.
-
Това е матрицата А.
-
После – как изглежда
с по вектор а?
-
с по вектор а е просто
да умножим числото
-
по всички компоненти на вектор а.
-
Значи това е равно на
с по а1, с по а2, до с по аn.
-
На какво е равно това?
-
Знаем това, виждали сме го
много пъти досега.
-
Това е равно на –
ще го напиша малко по-ниско.
-
Това е равно на с по а1, по
този вектор-стълб, по v1.
-
Плюс с по а2, по v2,
-
и така до с по an, по вектор vn.
-
Ако изнесем това с
извън скоби, отново,
-
произведението на вектор
и скалар притежава
-
дистрибутивното свойство.
-
Мисля, че правих видео
за това, но
-
то е много лесно за доказване.
-
Значи това е равно на
с по... ще работя с един цвят –
-
а1 по v1, плюс a2 по v2,
-
плюс и така нататък,
до an по vn.
-
И на какво е равно това?
-
Това е просто нашата матрица А
по нашия вектор,
-
матрицата с главна буква А.
-
Може би прекалено много
използвам буквата а.
-
Матрицата главно А
по вектора малко а.
-
Като вектора малко а е просто
това нещо ето тук, а1, а2 и така нататък.
-
Това тук горе е същото
като това тук.
-
Така че ти показах, че
ако взема матрицата и я умножа
-
по някакъв вектор, който първо
беше умножен по скалар,
-
това е еквивалентно на това
първо да умножа матрицата
-
по вектора, а след това
да умножа полученото по скалар.
-
Показах ти, че матрицата, умножена по
произведение на вектор със скалар
-
или произведението на матрица с вектор
удовлетворява условието
-
за линейна трансформация
и това условие.
-
Така че главният извод ето тук
е за произведението на матрица с вектор.
-
Това е важен извод.
-
Произведението на матрица
с вектор
-
винаги е линейно
преобразувание.
-
И това е нещо
като странична забележка.
-
В следващото видео ще покажа,
че всяко линейно преобразувание –
-
това е много важно –
-
може да се представи като
произведение на матрица с –
-
всяко преобразувание на
всеки вектор може да е еквивалентно,
-
може да се представи като
произведение на този вектор с матрица.
-
Това има много важни следствия
и, като странична забележка,
-
свързва това с
ежедневния живот.
-
Може би имаш Xbox, Sony Playstation
или други такива
-
3D графични програми,
чрез които тичаш наоколо
-
и стреляш по разни неща.
-
Начинът, по който софтуерът
управлява тези програми,
-
където можеш да виждаш
нещата от всички ъгли,
-
например имаш куб, а после
ако го завъртиш малко,
-
кубът започва да изглежда ето така,
той се върти,
-
движиш го нагоре и надолу,
-
това са все матрични
преобразувания.
-
Ще се занимаем с всичко
това в повече подробности.
-
Всичко това са преобразувания
на вектори или на позиции
-
на вектори, което
ще разгледаме по-подробно.
-
Всичко това наистина е
просто матрично умножение.
-
Всички неща, които правиш
в твоите страхотни 3D игри
-
на твоя Xbox или на твоя
Playstation, те са просто
-
матрични умножения.
-
Ще ти докажа това в следващото
видео.
-
Така че, когато имаш тези
графични карти или
-
тези графични машини, те просто –
досещаш се – отдалечаваме се
-
от теорията.
-
Но всички тези графични
процесори се базират
-
на умножения на матрици.
-
Ако имам някакъв
процесор, тогава трябва
-
да напиша софтуер
как се умножават матрици.
-
Ако правя Xbox или
нещо подобно, 99% от работата
-
е просто да въртя
тези абстрактни обекти
-
и да ги показвам по различни
трансформирани начини, затова
-
трябва да имам специален
хардуерен чип, който прави това,
-
който е създаден така, че
да умножава матрици.
-
Ето това всъщност представляват
графичните процесори или машини.