Решен пример: интервал на сходимост

Интервалът на сходимост на р-степенните редове е интервалът на входните стойности, за които редът е сходим. За да го определим, използваме различни техники. Виж как се прави в това видео.

Упражнявай се самостоятелно на този урок в Кан Академия: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/e/find-interval-of-convergence?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/integrating-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/power-series-radius-interval-convergence?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.

Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnything

Абонирай се за канала на Кан Академия Математически анализ: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Дадена ни е безкрайна сума

и целта на това видео е
да опитаме да намерим

интервала на сходимост
на този ред.

Това е друг начин да попитаме
за кои стойности на х,

в кой интервал от стойности на х

този безкраен ред е сходящ.

Препоръчвам ти
да спреш видеото на пауза

и да опиташ да го решиш
самостоятелно.

Когато разгледаш този ред,

той не попада точно в групата

на геометричните редове или
редовете с алтернативно редуващи се знаци.

Когато видя нещо такова,

се сещам за критерия на Даламбер
(за частното),

защото той е много общ.

За да приложим критерия
на Даламбер,

трябва да намерим границата,
когато n клони към безкрайност,

границата на (n + 1)-вия член,

разделен на n-тия член,

границата на абсолютната
стойност на това.

Ако това частно е
по-малко от 1,

тогава редът е сходящ.

За стойностите на х, за които
това е по-голямо от 1,

това е разходящо.

За стойностите на х,
за които това е равно на 1,

тогава не можем да
направим заключение

и трябва да използваме
други критерии,

за да определим дали
е сходящ или разходящ редът.

Сега да видим това
и да го изчислим.

Границата, когато
n клони към безкрайност,

границата на абсолютната
стойност на a_(n +1)

равно на х на степен (n + 1)...

Ще използвам различни цветове,
за да следим какво се случва.

Това ето тук ще бъде
х на степен (n +1)

върху (n + 1)

по 5 на степен (n + 1).

Ще разделим това на
n-тия член.

Това просто става

х^n върху n по 5 на степен n.

Ще вземем абсолютната
стойност на цялото това нещо.

Хайде да го опростим,
ще го направя тук долу.

Това е равно на

х^(n + 1) върху
(n + 1) по 5^(n + 1)

по реципрочното на това.

Това става n по 5^n,

върху х^n.

Можем да опростим това.

Това ще е равно на,

да видим, делим числителя
и знаменателя на х^n,

остава само х.

После делим числителя
и знаменателя на 5^n.

Това тук ще бъде 1,
това е 1,

и това тук става,

5^(n + 1) делено на 5^n
е просто 5.

И какво остана?

Остана х по n върху...

разкриваме скобите
и умножаваме по 5,

5n плюс 1.

О, трябва да внимавам тук.

Пак ще умножа по 5.

5n + 5,

пет по n, пет по едно.

5n плюс едно,

5n плюс 5.

Добре, сега
ще преработя това.

Това ще е равно на границата
от абсолютната стойност на това нещо

при n клони към безкрайност,

границата от абсолютната стойност
на това нещо.

И за да си помогнем
с тази граница,

ще го преработя ето така.

Ще разделя и числителя,
и знаменателя на n.

Не променям стойността,
умножавам и числителя, и знаменателя.

Деля ги на едно и също нещо.

Деля числителя и знаменателя на n,

получавам х върху (5 + 5/n).

Когато разделим числителя
и знаменателя на n,

тук е очевидно какво се случва,
когато n приближава безкрайност.

Когато n клони към безкрайност,
х не се променя,

5 не се променя,

5/n клони към нула.

Значи тази граница е равна
на х/5.

Това е много ясно,
много очевидно.

Сега можем
да разсъждаваме отново...

всъщност ще го напиша.

Това ще е равно на абсолютната
стойност на х/5.

Сега можем да помислим
при какви условия

абсолютната стойност на х/5
ще бъде по-малко от 1

и определено ще имаме сходимост.

При какви условия ще имаме

по-голямо от 1 и
категорично имаме разходимост?

После при какви условия
не можем да направим заключение?

Да дивим кога знаем,
че е сходящо.

Абсолютната стойност
на х/5 е по-малко от 1.

Това е ситуация на сходимост.

Това е същото, като да кажем, че

–1 е по-малко от х/5,

което е по-малко от 1.

Умножаваме всички страни
по 5.

Това става –5
е по-малко от х,

което е по-малко от 5.

Когато това е вярно,

определено това ще бъде
част от интервала на сходимост.

Знаем, че ако х отговаря
на тези условия,

тогава редът ще бъде сходящ.

Но това не е всичко.

Трябва да видим случая, когато
не можем да направим заключение.

Да разгледаме сценария,
когато абсолютната стойност на х/5

абсолютната стойност на х/5
е равна на 1.

Друг начин да разглеждаме това,

това означава, че х/5
е равно на 1

или х/5 е равно на –1.

Това означава, че х = 5

или х = –5.

Това са двата случая, в които
не можем да направим заключение

с критерия на Даламбер.

Да ги разгледаме отделно,

като разгледаме реда
и просто заместим х = 5

и х = –5.

В първия случай –

ще взема нов цвят,
ще използвам червено.

Значи за първия случай х = 5,

да се върнем при реда.

Редът ще бъде сумата

за n от 1 до безкрайност,

сумата от (5^n)/n по 5^n.

Това е равно на сумата

за n от 1 до безкрайност,

сумата от 1/n.

Това е хармоничен ред.

Това е хармоничен ред,
за който р е равно на 1.

И ние знаем, че той е разходящ.

Знаем за хармоничните редове,
с които сме работили в други клипове,

че те определено са разходящи.

Значи това е разходящо.

Можем да проверим и с
критерия за сходимост на степенни редове.

Ако р за степенния ред е единица,

тогава редът е разходящ.

Сега да помислим,

5 определено не принадлежи

на интервала на сходимост.

Сега да разгледаме х = –5.

Когато х = –5...

ще взема друг цвят.

Когато х = –5,

тогава това ще е равно

на сумата за n = 1
до безкрайност,

сумата от –5^n.

Сега ще представя това като...

ще го представя като (–5)^n

върху n по 5^n.

Това е равно на сумата

за n от 1 до безкрайност...

Можем да напишем това
като (–1)^n по 5...

по 5^n, върху n по 5^n.

И сега това нещо,

това е хармоничен ред с
алтернативно сменящи се знаци.

И тук можем да използваме,

може би вече знаеш,
че е сходящ,

или може да използваш критерия
за ред с алтернативно сменящи се знаци,

т.нар. критерий на Лайбниц,

може да е по-ясно, ако
го напишем ето така.

Това е ред с алтернативно
сменящи се знаци.

При използване на критерия
на Лайбниц,

ако видим, че това
намалява монотонно,

и че границата е равна на нула,
когато n клони към безкрайност,

значи това е сходящо.

Хармоничният ред с алтернативно
сменящи се знаци е сходящ.

Щом това е сходящо,

това тук можем да разглеждаме
като граница.

Можем да включим тази стойност
в интервала на сходимост.

Значи х не трябва да бъде

строго по-голямо от –5,

трябва да е по-голямо или
равно на –5,

но трябва да е по-малко от 5.

Това е действителният
интервал на сходимост.